1 走進(jìn) 圖形世界 考 點(diǎn)圖解 技法透析 1幾何圖形包括平面圖形和立體圖形（幾何體） (1)平面圖形：在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線的幾條線段按首尾順次相接所組成的封閉圖形叫平面圖形，圓是由一條曲線圍成的封閉圖形平面圖形的特征是：組成圖形的線都在同一個(gè)平面內(nèi) (2)立體圖形：根據(jù)幾何體各自的特征，對立體圖形可作如下分類：立體圖形分為柱體（圓柱 ，棱柱 )，錐體（圓錐 ，棱錐 )，球體（球 ，橢球 )， 2 臺體（圓臺 ，棱臺 ) 2幾何體的三視圖 一個(gè)物體在三個(gè)投影面（正面、側(cè)面、水平面） 內(nèi)同時(shí)進(jìn)行投影，得到不同的圖形，便有三視圖： (1)主視圖：是在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體得到的視圖； (2)左視圖：是在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體得到的視圖； (3)俯視圖：是在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體得到的視圖 常見的幾何體從不同方向看它所得到的平面圖形如下表： 實(shí)際上，要正確畫出一個(gè)幾何體的從不同方向看它得到的平面圖形，必須注意以下三點(diǎn)： (1)正確的視圖方向：從不同的方向看一個(gè)幾何體，視線要與幾何體保持水平，而垂直于幾何體的面，這樣才能保證看圖 的準(zhǔn)確性和真實(shí)性，此時(shí)看到的面就是這一方向看到的幾何體的平面圖形 (2)合理的想象方法：在保證正確的視圖方向的情況下，可以看成是幾何體被壓縮成紙片后的圖形或者是視線投射下的陰影 (3)觀察者所處的位置不同，其視圖的結(jié)果也不一樣 3常見立體圖形的平面展開圖 立體圖形是由面包圍而成，沿著它的一些棱適當(dāng)剪開就可以展開成平面圖形，一些常見立體圖形的平面展開圖如下： (1)關(guān)于正方體的展開圖， 一個(gè)正方體展開成平面圖形，究竟有幾種可能的圖形呢？ 下面我們運(yùn)用分類的數(shù)學(xué)思 想，運(yùn)用簡單的“枚舉法”，將正方體展開成平面圖形的可能情況一一列舉出來： 四個(gè)正方形連成一行的有六種情況，如圖所示； 3 三個(gè)正方體連成一行的有四種情況，如圖所示一； 兩個(gè)正方形連成一行有一種情況，如圖所示（ 11） 綜上所述，正方體一共有 11 種展開圖 (2)關(guān)于長方體的展開圖，類似于正方體的展開圖，如下圖所示： (3)關(guān)于棱柱的展開圖 三棱柱的展開圖： 四棱柱的展開圖： (4)關(guān)于圓柱的平面展開圖 4 (5)關(guān)于圓錐的平面展開圖 (6)關(guān)于棱錐的平面展開圖 (7)球不能展開成平面圖形 4點(diǎn) 、 線 、 面 、 體 現(xiàn)實(shí)生活中的圖形都是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的，面有平面，曲面；線有直線，曲線；面與面相交構(gòu)成線，線與線相交構(gòu)成點(diǎn)，點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體，常見的一些面動(dòng)成體的實(shí)例如下： 名題精講 考 點(diǎn) 1 立體圖形的識別分類 例 1 如圖所示，將下列幾何體分類，并說明理由 5 【切題技巧】 將幾何體分類，要根據(jù)幾何體各自的特征來分類按幾何體的表面是平面，還是曲面來劃分；按幾何體展開之后，能否展開成平面圖形來劃分； 按幾何體是柱體，錐體、球體還是臺體來劃分： 【規(guī)范解答】 (1)若按幾何體的表面是平面，還是曲面劃分，則、為一類，這些圖形的所有表面都是平面，、為一類，這些圖形的表面至少有一個(gè)是曲面； (2)若按幾何體是柱體，錐體、球體、臺體分類，則、為一類是柱體，、為一類，是錐體，為球體； (3)若按將幾何展開之后能否展成平面圖形來分類則、為一類，它們的展開圖都可以是平面圖形，是另一類，球體不能展開成平面圖形 【借題 發(fā)揮】 將幾何體分類，分類方法不唯一分類是數(shù)學(xué)中一種很重要的思想方法在分類時(shí)，應(yīng)注意按同一標(biāo)準(zhǔn)做到不重復(fù)，不遺漏，分類標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同 【同類拓展】 根據(jù)下列各圖回答問題： (1)請說出中幾何體的名稱，并簡要敘述它們的一些特征 (2)將中的幾何體分類 考 點(diǎn) 2 立體圖形的三視圖 例 2 由若干個(gè)（大于 8 個(gè)）大小相同的正方體組成一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的左視圖不可能是圖中的 ( ) 【切題技巧】 6 【規(guī)范解答】 【借題發(fā)揮】 俯視圖是想象的基礎(chǔ)，主視圖是數(shù)量化的依據(jù)，因此在解此類題中，要根據(jù)幾何體與三視圖之間的聯(lián)系，想像出這個(gè)幾何體的形狀和結(jié)構(gòu)當(dāng)然，為了熟悉并驗(yàn)證，我們還可以親手動(dòng)手用實(shí)物擺一擺這個(gè)幾何體，從而得出正確的結(jié)論 【同類拓展】 2如圖所示是由小正方體擺成的幾何體從正面，左面，上面看它得到的平面圖形，試問這個(gè)幾何體可能由幾個(gè)小正方體組成，大致形狀是怎樣的？ 例 3 將圖中左邊的正方體盒子展開成為一個(gè)“十”字形平面圖形，右邊的四個(gè)圖形中，( )是左邊盒子展開后得到的 【切題技巧】 觀察左邊的正方體盒子，我們發(fā)現(xiàn)“”與“ O”所在的三個(gè)面兩兩相交，而 A、 B 中的兩個(gè)“”均在折疊后所形成的正方體的對面上， C 中的“ O”與其中一個(gè)“”也在折疊后所形成的正方體相對的兩個(gè)面上，只有 D 中的圖形能折成原正方體的形狀 【規(guī)范解答】 D 【借題發(fā)揮】 觀察幾何圖形的特征，應(yīng)充分發(fā)揮空間想象能力因此在學(xué)習(xí)立體圖形的展開與折疊時(shí)要注意： (1)看一個(gè)平面圖是不是一個(gè)幾何的展開圖可以逆向思維方法，就是看這個(gè)平面圖形它能不能折成一個(gè)幾何體； (2)學(xué)習(xí)展開與折疊時(shí)，一 方面要熟悉棱柱，圓柱和圓錐的展開圖的形狀，另一方面要從多角度，全方位去聯(lián)想，培養(yǎng)空間的觀念，同時(shí)還要充分利用實(shí)物模型來驗(yàn)證自己的想象 【同類拓展】 3把正方體的表面沿某棱剪開展成一個(gè)平面圖形（如圖），請根據(jù)各面上的圖案判斷這個(gè)正方體是 ( ) 考 點(diǎn) 3 空間想象與動(dòng)手操作 例 4 用橡皮泥做一個(gè)棱長為 4正方體 (1)如圖 (1)，在頂面中心位置處從上到下打一個(gè)邊長為 1正方體通孔，打孔后的橡皮泥的表面積為 _ 7 (2)如果在第 (1)題打孔后 ，再在正面中心位置處 (按圖 (2)中的虛線）從前到后打一個(gè)邊長為 1正方體通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面積為 _ (3)如果把第 (2)題中從前到后所打的正方形通孑 L 擴(kuò)大成一個(gè)長 1長方形通孔，能不能使所得橡皮泥的表面積為 130果能，請求出 x；如果不能，請說明理由 【切題技巧】 對于 (1)小題，原正方體表面積，新增加了 4 個(gè)長為 4為 1時(shí)也減少了 2 個(gè)長為 1為 1表面積；對于 (2)小題，在 (1)小題的結(jié)論上又增加了 8 個(gè)長為 為 1面積，同時(shí)也減少了 4 個(gè)長為 1為 1于 (3)小題，打孔有兩種方案可以通過一一列舉，計(jì)算、比較來求 x 的值 【規(guī)范解答】 【借題發(fā)揮】 本題求解時(shí)，如何尋求列式計(jì)算，找出新增與減少的表面積，顯得很抽象，因此需要我們充分發(fā)揮空間想象力，如能做出實(shí)物模型，問題就會(huì)迎刃而解了，因而在解有關(guān)截一個(gè)幾何體的問題的方法可按如下步驟進(jìn)行： (1)閱讀題意弄清楚用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體的方向或角度； (2)想象出截面可能的形狀； (3)動(dòng)手操作做出實(shí)物模型；(4)將實(shí)際結(jié)論與想象結(jié)論對比，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念，達(dá)到不實(shí)際動(dòng)手操作也能快速準(zhǔn)確地將截面形狀想象出來的能力； (5)畫出截面圖形，準(zhǔn)確算出結(jié)果 【同類拓展】 4 (1)圖 (1)是正方體木塊，把它切去一塊，可得到形如圖 (2)、 (3)、 (4)、(5)的木塊我們知道，圖 (1)中正方體木塊有 8 個(gè)頂點(diǎn)， 12 條棱， 6 個(gè)面，請你將圖 (2)、 (3)、(4)、 (5)中木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填入表中： 8 (2)觀察此表，請你歸納上述圖 (2)、 (3)、 (4)、 (5)中各種木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的 數(shù)量關(guān)系是 _； (3)圖 (6)是用虛線畫出的正方體木塊，請你想象一種與圖 (2) (5)不同的切法，把切去一塊后得到的那一塊的每條棱都改畫成實(shí)線，則該木塊的頂點(diǎn)數(shù)為 _，棱數(shù)為_，面數(shù)為 _ 參考答案 1 (1)是圓柱，特征如：兩上底面是等圓的幾何體；是圓錐，特征如：像錐體，且底面是圓；是長方體，特征如：其側(cè)面均為長方形；是圓臺，特征如：兩個(gè)底面是不等圓的幾何體；是三棱柱，特征如：底面是三角形，側(cè)面為長方形；是球，特征如：是圓的實(shí)體，它不