第一章函數(shù)與極限一、無(wú)窮小的應(yīng)用111當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小,則實(shí)數(shù)_0；AXXFLN1A209設(shè)時(shí),與是同階無(wú)窮小,則_3_；0TAEXN307設(shè)，則當(dāng)時(shí)（B）572F0XA與是等價(jià)無(wú)窮小量B與是同階但非等價(jià)無(wú)窮小量FXFC是比高階的無(wú)窮小量D是比低階的無(wú)窮小量X4（10）當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小,則實(shí)數(shù)_0；AXXFLN1A二、求極限、特殊極限、連續(xù)性113設(shè)數(shù)列滿足，且。證明存在，并求出此極限NX10X1SIN1,2XLIMNX211求極限2LIM22NN306極限（D）451LI3XXABCD不存在22408設(shè)，求SINANLIMNA解222LIMLLI1NNN5（10）求極限1LI222N解31122222NLIM2NLI2NN211LI222N6（10）求極限ELIXX解，221ELIMXXXX1LNLIMP2XX1LNLIM2TTT1LNLIM20201LNIMTT21LI0TT3212ELIEX708求極限0COSLI1XX解原式22LNCOS2000LNCOS1LIMCOSLIM1IL10XXXXXXE三、間斷點(diǎn)的判斷及類型109已知，指出函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型1|2XF為間斷點(diǎn)2分1230,XX2200LIM1,LIM1,XXFF221010LI,LI,XXFF3分21010LI,LI,XXXFF從而為第一類跳躍間斷點(diǎn)，為第一類可去間斷點(diǎn)，為第二類無(wú)窮型間斷點(diǎn)12131分208設(shè)，則的間斷點(diǎn)為，它是第二類間斷點(diǎn)2LIM1NXFXF0X306設(shè)有無(wú)窮間斷點(diǎn)，有可去間斷點(diǎn)，求的值3BFXA121X,AB解由，得01LI0XF,0B因存在，故1LIMXF113LILIM120XXXBFB從而2B第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)定義和幾何意義113設(shè)，則812F2201LIMXFF212設(shè)是否可導(dǎo)如果可導(dǎo),求出SIN,0,0GXFFXGX其中在處連續(xù)問(wèn)在處0G311設(shè)在可導(dǎo)，則F0023LIHFH5F410已知有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求極限FX1FF0SIN1LMXF解原式00SIN0SINLMLLNLN0XXFFXFFFF507求曲線在拐點(diǎn)處的切線方程XYE解，1XXE12XXXYEE令，由于時(shí)，時(shí)，為拐點(diǎn)0,2Y020,故要求的切線為22,4YEXYEX二、簡(jiǎn)單函數(shù)或復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)或求微分113已知，求32SINXYDYX211設(shè)，則31ILDX1SINCO23310設(shè)，則XY26Y76409若，則13208FXF208509設(shè)，則（D）2,DXGHDFHXABCD2GXG2G607設(shè)，則XEYY1LNE708設(shè)可微，且，則FU2SI3FXDY6SIN3SICO3FXFXD三、隱函數(shù)方程113方程確定了隱函數(shù)，則1YXEYXDY1YEX211由方程確定了隱函數(shù)，求的二階導(dǎo)數(shù)TANYXXY310由方程確定了隱函數(shù)，求微分02YDY5分LNLNLN20YXXDEEDYXDY即1分L20,1LYYYX409設(shè)函數(shù)由方程確定，求X,0YXDY解對(duì)方程兩邊求導(dǎo)書(shū)LN,LNLYX兩邊求導(dǎo)書(shū)，得L1L1L,XY四、參數(shù)方程113設(shè)由參數(shù)方程確定，求YX2LN1ARCTXYDYX212設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定,求SI1OT2310求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)23LNTYX2DYX3分123TDXY43分T562509設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，求曲線向下凸的的取值范圍YX329XTYYX解222339,39TTDYTYXDX曲線下凸要求，即0210,1,3TTT因此對(duì)于，由于在端點(diǎn)連續(xù)，可取的取值范圍為3,1,54XTX0,54608設(shè)參數(shù)方程，求220LN1TXUYD2YX解，221TDYXT222124DYDTTTXX707設(shè)確定了是的函數(shù)，求22LNSI1SINXTTYYX2DYX解222COSICOSCOSIN1N,SINIII1TTTYDXTDYTDTXT22SISINS1IYDTTTDDXXXT五、分段函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性112設(shè)函數(shù)，討論在點(diǎn)處的連續(xù)性21ARCTN,00,XXFFX0211設(shè)函數(shù)，討論在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性1,E0,XFFX310設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，求的值1,ELN12XAFXB,AB10FF從而3分212100LIMNLIE,LN0,BXXXAA1010LILIXXFFF1010LILIBXXXFFEF由可導(dǎo)知2分,FFF409設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若X0,0XFA（1）確定，使在內(nèi)連續(xù)；AF,（2）求FX解（1）連續(xù)則必有00LIMLI0XXAFF2當(dāng)時(shí)0X2F而2000LIMLILIMXXXFFF01LI2X所以2,010,XXF508確定常數(shù)的值，使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo),AB,0ARCSINXEBF0X解，00LIMLIRXXFF00LIMLI1XXFFEB，1EB由在處連續(xù)知FX,1,1FFFB000LIMLILIMXXXFEBEF000ARCSINLILILIXXXFFAF由在處可導(dǎo)知F,1FF607設(shè)，討論及在處的連續(xù)性21,0XEFFXF0X解因?yàn)?，故在處的連續(xù)200LIMLIXXEFFF222000011LILIMLILIMXXXXXXFFEEF當(dāng)時(shí)，21XEF220004,LILILI0XXXXXEFF故在處連續(xù)FX0707本題10分設(shè)在連續(xù)、可導(dǎo)且單調(diào)增，F(xiàn)X,ABFX0,XAB000,FXF證明在內(nèi)也單調(diào)增X,AB解因，故在處連續(xù)0LIMXFX002XFF記在與之間000,GXFFFXFFXX0當(dāng)0,XG從而在內(nèi)。AX又在處連續(xù)，故在單調(diào)增，0X0,A當(dāng)0,XFFG從而在內(nèi)。BX又在處連續(xù)，故在單調(diào)增，X00,XB綜上述，在內(nèi)也單調(diào)增,A六、高階導(dǎo)數(shù)113設(shè)，求2SINCOFXX2013Y第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、洛必達(dá)法則113求極限201LIMSINXX212求極限20TALIX311求極限21ELIXX409已知，試確定常數(shù)和的值0LNARCT2LIM0CXXNC用羅比達(dá)法則2分3分,3CN507計(jì)算極限SINCOS30LXXE解原式SINCOSINSI0332001COSINCOSINCOS1LMLMLM33XXXXXXE二、極值111設(shè)，則在點(diǎn)處取極小值XFEFNX1N1EN211指出數(shù)列中最大的數(shù)，并說(shuō)明理由N解設(shè)，XF12/LN1XXF故。20E當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減2,XFFX,0,XFFEX又，因此中最大的數(shù)就是中最大的數(shù)，32E32N32所以中最大的數(shù)是2N307在曲線上求一點(diǎn)，使它到點(diǎn)的距離為最小21YXM5,0P解設(shè)2220,51MUXX2346DX求得唯一解，又12210DX故在唯一駐點(diǎn)處取得極小值也是最小值U1X相應(yīng)地，故所求點(diǎn)為21Y1,2三、拐點(diǎn)、漸近線112曲線的漸近線方程為_(kāi)1LN,0YXEX211曲線的拐點(diǎn)為（1，0）L310若曲線的拐點(diǎn)為（1,3），則常數(shù)，；23BXAYA23B9410曲線的漸近線方程為；1E1,0XY四、羅爾定理，拉格朗日中值定理111寫(xiě)出拉格朗日中值定理，并給出證明210設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，試證XF1,00D10XF1D1XF（1）存在，使得；,4F（2）若在上可導(dǎo)，則存在，使得XF1,4F（1），由積分第一中值定理的，存在XFD210XFD210，使得，故存在，使得3,412100FFF1,04F分（2）由積分中值定理，存在，使得由拉格朗日中值定理，,C0D10CFXF則存在，使得，由（1）知1,0F4F2分309當(dāng)時(shí)，證明2XY222COSTANCOSCOSYXYXYXX證在區(qū)間上函數(shù)滿足LAGERANGE定理的條件，從而存在使得,TANF,222TANSEC,OSCOSYXYXYXY從而22COTANC另證當(dāng)時(shí)，由積分種植定理與單調(diào)性有0XY從而得證222211TAN,COSCOSCOSXYXYDTXYXY五、泰勒中值定理113寫(xiě)出帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階麥克勞林公式XFEN212帶有皮亞諾型余項(xiàng)的N階麥克勞林公式為SIN311設(shè)函數(shù)在上三階可導(dǎo)，且和在有界試證和在XF,XFF,XFF有界,410在處帶有皮亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式為XFLN10N1132132NXOXX509設(shè)在上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，證明在上至少存在一點(diǎn)使得F,A0A0F,A3AFFXD證令，則由已知，在上三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在處作二階泰勒展開(kāi)，有0XFFTFX,A0X2323006FFXXX從而（由介值定理）123333AFFFXDFAAAF另證由已知在處作一階泰勒展開(kāi)，有0X20FFXFFX由最值定理有，由對(duì)稱區(qū)間積分性質(zhì)MFXM233AAFXDFXD由估值公式332222AAAMXDFXDX從而，由介值定理使232AMFXM,A232AFFXD因此3AFFXD第四章不定積分一、直接積分、湊微分法1、13計(jì)算1COSDX2、10求2IN解SETASECTANSECXXX原式3、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則（答案）F21DF12FXC4、求（答案）1DXELNXXEC5、求（答案）TAN1COS1COSLX二、第二類換元法1、（12）計(jì)算321DX2、計(jì)算不定積分2X解令SIN,ARCSINCOSXTTXDT則，則原式2I12IN2SINCOO421STTTTDTC2ARCINXC三、分部積分法1、（12）計(jì)算SILTAXD2、11設(shè)，求2N,11FXFXD解122L,LN,1ARCT12DCXFXXX因?yàn)樵谶B續(xù)，所以F1243、（答案）LN1XDLNLLNXXC4、計(jì)算不定積分（答案）12LNXD21LN2XXC5、已知的一個(gè)原函數(shù)為，求（答案）FX2XEFDXE6、09計(jì)算3SEC解原式23TANSECTATNSECTANSECSXDXXXXDX111SECALS22D四、換元法與分部積分法結(jié)合1、（13）計(jì)算2ARCTN1XD2、求（答案）XE41ARCTN1XXEEC3、求（答案）LN1DX2LN2LX4、（答案）ARCT211ARCTXC第五章定積分及其應(yīng)用一、基本性質(zhì)1、1322014XD2、12212SINX3、093分24D24、093分已知的一個(gè)原函數(shù)為，則FXLNXFX15、08曲線的弧長(zhǎng)等于21LN14YE24E二、應(yīng)用定積分定義計(jì)算極限1、13求極限222LIM1NNN2、12求極限2221LI44NNN3、10求極限1LIN解原式111200LIMLNL2NNNDX4、0944LI222N解原式22211LI1NNNDX10246三、定積分的換元法分部積分法1、13設(shè)在連續(xù)，且。證明FX,0FXFX0FXD2、13計(jì)算LN201XED3、12在下列兩個(gè)積分,中確定哪個(gè)積分值大,并說(shuō)明理由220COS,COSXXDED4、（12）1LNEXD5、11（答案）321X236、1061ARCTN1DX解令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)XU2U1X0U16X3U原式3322200ARCTND1ARCTND30663U7、09計(jì)算32140XD解令，則。當(dāng)時(shí)取，當(dāng)時(shí)取，2SINTCOST0XT1X2T原式22324001131I2TDTTD8、設(shè)，求（答案）,1,0XFE201FXLN1E四、廣義積分1、13判別廣義積分的斂散性1LNEEXD2、12設(shè)0,SIAXA求3、11設(shè)，求（答案）S0SXNNIED1NS4、1021EX解原式1121DLIMLIARCTNELIMARCTNE4BXBXBBE5、09計(jì)算21X解原式2222111LIMARCTNBBXXDDX221LIMARCTNARCTN4BB五、變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用1、13設(shè)，且，則FX310XFTDX7F122、1220_XDT3、12已知2SIN200CO,YXTDYETX求4、10求極限（答案）2ARLIM1X245、10已知函數(shù)連續(xù)，求FTXFTXGD02XG解UXGD02XXFF006、09設(shè)，求1LN,XTFD1FFX解對(duì)，作換元，則。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，1LXTFTU2DTUT1TXU從而2111LNLNLNXXXTUFD因此221111LLLLLNXXXXTTTFXFDT另解令2LNL,0XXGFXFGG從而21LNFXFX7、08證明方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根201XTD,1證明設(shè)201XTFD則連續(xù)且可導(dǎo)220011ARCTN100XXTFDTXX，且連續(xù)可導(dǎo)3221ARCTNARCTN,FFX，232422310,11XFXX從而在上單調(diào)增，故當(dāng)時(shí)，故而在上單調(diào)增，因此在F0,0,XFFF0,FX上若有零點(diǎn)則必為惟一的一個(gè)零點(diǎn),1又1,1ARCTN1081004FF由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，在上確有零點(diǎn)FX,因此在上確有惟一零點(diǎn)，也即方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根FX,1201XTD,1六、極坐標(biāo)直角坐標(biāo)求面積1、13求雙扭線在圓內(nèi)部的圖形的面積2COSRA22AXY2、11求心形線所圍成的圖形的面積（答案）123A3、10求和圍成圖形的公共部分的面積SIN2R2COSR解602I1DS461D2314、07設(shè)由在第一象限圍成的圖形為，其面積為又曲線將分為左COS,0YXD0SSIN0YAXD右兩部分，其面積分別為，求的值使12,D12,SA12S解10COS33SXD設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則0001SIN,TAX022100COSINICO1XASAXDA從而即為所求2225,1,331A七、求體積1、13求由和所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積1,LN3XYE0YX2、（12）求由所圍成的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積2和3、11求擺線的一拱與X軸所圍成的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)所得旋SI,1COSXATYAT02T2YA轉(zhuǎn)體的體積解2220AVXD32308COS1CS7ATTAA4、10求由曲線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積2,EXYXY解21DFV5、09設(shè)直線與曲線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的面積為（1）01YAX2YX1S1X2S試確定常數(shù)的值，使達(dá)到最小，并求出最小值；（2）求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞X軸