35典型例題分析例1、繃緊的肥皂薄膜有兩個平行的邊界，線AB將薄膜分隔成兩部分如圖351。為了演示液體的表面張力現(xiàn)象，刺破左邊的膜，線AB受到表面張力作用被拉緊，試求此時線的張力。兩平行邊之間的距離為D，線AB的長度為LLD/2，肥皂液的表面張力系數(shù)為。解刺破左邊的膜以后，線會在右邊膜的作用下形狀相應發(fā)生變化兩側都有膜時，線的形狀不確定，不難推測，在LD/2的情況下，線會形成長度為2/1DLX的兩條直線段和半徑為D/2的半圓，如圖352所示。線在C、D兩處的拉力及各處都垂直于該弧線的表面張力的共同作用下處于平衡狀態(tài)，顯然IFT2式中為在弧線上任取一小段所受的表面張力，IF指各小段所受表面張力的合力，如圖352所示，在弧線上取對稱的兩小段，長度均為R，與X軸的夾角均為方，顯然RF21而這兩個力的合力必定沿X軸方向，他們垂直X軸方向分力的合力為零，這樣COS21RFX所以AB薄膜D圖351ABTTCD圖352DRRFI24COS2因此DT說明對本題要注意薄膜有上下兩層表面層，都會受到表面張力的作用。例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈圓餅形狀側面向外凸出，過圓盤軸線的豎直截面如圖353所示。為了計算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180計算，已知水銀密度31063MKG，水銀的表面張力系數(shù)MNA490。當圓餅的半徑很大時，試估算厚度H的數(shù)值大約是多少取一位有效數(shù)字分析取圓餅側面處寬度為X，高為H的面元S，圖353所示。由于重力而產生的水銀對S側壓力F，由F作用使圓餅外凸。但是在水銀與空氣接觸的表面層中，由于表面張力的作用使水銀表面有收縮到盡可能小的趨勢。上下兩層表面張力的合力的水平分量必與F反向，且大小相等。S兩側表面張力43,F可認為等值反向的。解XGHSP21FFF21COSXGHXA21HCOS由于090,有MH3310410HF1F2F3HX4F圖353例3、在連通器的兩端吹出兩個相同的球形肥皂泡A和B后，如圖354，關閉活栓K，活栓A和B則依舊打開，兩泡內的空氣經管相通，兩泡相對平衡。1若A泡和B泡的形狀小于半球，試證明A泡和B泡之間的平衡是穩(wěn)定的。若A泡和B泡的形狀大于半球，試證明A泡和B泡之間的平衡是不穩(wěn)定的。2若A泡和B泡的形狀大于半球，設兩管口的半徑均為CMR021，A泡和B泡的半徑均為CMR502。試問當A泡和B泡分別變化成何種形狀時，兩泡能再次達到平衡，設空氣因壓縮或膨脹所引起的密度變化可以忽略。分析開始時，A泡B泡均小于半球，泡半徑應大于管半徑。若因擾動使A泡縮小，則泡半徑增大，表面張力應減小，A泡內壓強變小，這時B泡內氣體過來補充，使A泡恢復擾動前的形狀，重新達到平衡。對于A泡因擾動稍增大，或B泡因擾動稍增大或縮小的情形可作同樣分析。若A、B泡形狀相同，均大于半球。因擾動使A泡縮小，則泡半徑變小，表面張力相應增加，A泡內壓強變大，使氣體從A泡到B泡，A泡縮小和B泡增大后，擾動將持續(xù)發(fā)展?？傊?，當A泡和B泡的形狀大于半球時，其間的平衡是不穩(wěn)定的。值得注意的是，當A泡縮小到半球形狀時，即當12R時，A泡半徑最小。若再收縮使形狀小于半球時，A泡半徑再度增大，根據(jù)上面的分析，A泡內的壓強將再度下降。當A泡小于半球，B泡大于半球，而兩者的半徑相同時，兩泡內的壓強再次相同，這又是一個新的平衡狀態(tài)。KBAKR1R1RH0V圖354圖355解1見上面的分析。2新的平衡狀態(tài)為A泡小于半球，B泡大于半球，兩者半徑均為R，圖355，有0324VR2120,RRHH且解得R304CM例4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形柵格，即“蜂窩結構”如圖156A所示，平面上原子間距為102M，若石墨的密度為37KG，求兩層平面間的距離。碳原子量為12解顯然應根據(jù)晶格模型進行研究，把晶格平面適當平移，使上下層原子正好對齊，這時原子系統(tǒng)可看成如圖356B那樣，每個原子屬于6個不同晶胞，因此一個晶胞中12/62個原子，31M石墨中的原子數(shù)是296231104/1070N個。晶胞數(shù)是上述原子數(shù)的一半，故一個晶胞的體積是32928561075MV晶胞的底面積是013ASH說明在晶格模型的計算中，初學者往往把晶胞所包含的原子數(shù)搞錯，誤認為石墨晶胞包含了12個原子。這里的關鍵是要分析其中每一個原子是哪幾個晶胞所共有，那么每個晶胞僅只能算其1/N個原子。AAHB圖356例5、用圓柱形的杯子做“覆杯”實驗，杯子的半徑為R，高度為H，假定開始時杯內水未裝滿，蓋上不發(fā)生形變的硬板后翻轉放手，由于水的重力作用，硬板將略下降，在杯口和平板間形成凹的薄水層，如圖357所示。假定水對玻璃和平板都是完全浸潤的，水的表面張力系數(shù)為，紙板重為MG，大氣壓為0P，水的密度為，則為了保證“覆杯”實驗成功，裝水時，杯內所留的空氣體積不得超過多少解如圖358表示板與杯口間水層的大致形狀為求清晰，圖中比例已被夸大。其中虛線表示整體輪廓，實線則劃出其一小片分析其受力，圖359則是俯視平面圖。設內凹的薄水層深度為D，由于完全浸潤，它就等于凹面的直徑，所取出的水液面寬度為L，則它受力如下F附著層水對凹面的表面張力，有上杯沿下硬板兩個，其大小為L，方向垂直于L水平向外。F和劃出部分相連的凹面其他部分的水對該液面的作用力，方向沿圓周切線方向，大小為2DF，兩力合力大小為RLFFFSINF液面內外壓力差，其方向水平指向圓心，大小為LDPF0其中0P為大氣壓，P為內部水壓強。DLFFFFOFRF2L圖357圖358圖359在受力平衡的條件下應有LRLDLP20得D240如果以硬板為研究對象，受力如圖3510，平衡時有MGPS0即20RP是水內部的壓強，它應等于杯內氣體壓強加上由水重所引起的壓強，若杯內氣體壓強為，原來裝水后空氣層厚度為H，則HHGP進行覆杯實驗后，硬紙板是蓋住杯口的，這時杯內氣體壓強就等于大氣壓即01P，體積RV21，“覆杯”放手后，由于硬紙板受重力作用，板下移距離D即前述水層厚度，使杯內氣體體積變?yōu)?DHRV，壓強就變?yōu)镻，由玻意耳定律得DHP0把代入可求得板重為MG時，水層最大厚度24RMGD由式可得02022DGHRMPHDHGHRM2022MGSP0圖3510將式代入即可得到極限情況下杯內原來的空氣柱厚度，因式子過繁，就不將D值代入了。說明當杯子倒轉放手后，如果杯內裝滿水而無空氣，則大氣對平板的向上壓力將遠大于杯內水及平板重，因此平板緊壓杯口，但如果原來杯內有空氣，其壓強等于大氣壓，翻轉杯子并放開