關于評價特征去除所導致的工程分析錯誤的規(guī)范理論SankaraHariGopalakrishnan，KrishnanSuresh機械工程系，威斯康辛大學，麥迪遜分校，2006年9月30日摘要：幾何分析是著名的計算機輔助設計/計算機輔助工藝簡化“小或無關特征”在CAD模型中的程序，如有限元分析。然而，幾何分析不可避免地會產生分析錯誤，在目前的理論框架實在不容易量化。本文中，我們對快速計算處理這些幾何分析錯誤提供了嚴謹?shù)睦碚?。尤其，我們集中力量解決地方的特點，被簡化的任意形狀和大小的區(qū)域。提出的理論采用伴隨矩陣制定邊值問題抵達嚴格界限幾何分析性分析錯誤。該理論通過數(shù)值例子說明。關鍵詞:幾何分析；工程分析；誤差估計；計算機輔助設計/計算機輔助教學1.介紹機械零件通常包含了許多幾何特征。不過，在工程分析中并不是所有的特征都是至關重要的。以前的分析中無關特征往往被忽略，從而提高自動化及運算速度。舉例來說，考慮一個剎車轉子，如圖1(a)。轉子包含50多個不同的特征，但所有這些特征并不是都是相關的。就拿一個幾何化的剎車轉子的熱量分析來說，如圖1(b)。有限元分析的全功能的模型如圖1(a)，需要超過150,000度的自由度，幾何模型圖1(b)項要求小于25，000個自由度，從而導致非常緩慢的運算速度。圖1(a)剎車轉子圖1(b)其幾何分析版本除了提高速度，通常還能增加自動化水平，這比較容易實現(xiàn)自動化的有限元網格幾何分析組成。內存要求也跟著降低，而且條件數(shù)離散系統(tǒng)將得以改善；后者起著重要作用迭代線性系統(tǒng)。但是，幾何分析還不是很普及。不穩(wěn)定性到底是“小而局部化”還是“大而擴展化”，這取決于各種因素。例如，對于一個熱問題，想刪除其中的一個特征，不穩(wěn)定性是一個局部問題:(1)凈熱通量邊界的特點是零。(2)特征簡化時沒有新的熱源產生；4對上述規(guī)則則例外。展示這些物理特征被稱為自我平衡。結果，同樣存在結構上的問題。從幾何分析角度看，如果特征遠離該區(qū)域，則這種自我平衡的特征可以忽略。但是，如果功能接近該區(qū)域我們必須謹慎，。從另一個角度看，非自我平衡的特征應值得重視。這些特征的簡化理論上可以在系統(tǒng)任意位置被施用,但是會在系統(tǒng)分析上構成重大的挑戰(zhàn)。目前，尚無任何系統(tǒng)性的程序去估算幾何分析對上述兩個案例的潛在影響。這就必須依靠工程判斷和經驗。在這篇文章中，我們制定了理論估計幾何分析影響工程分析自動化的方式。任意形狀和大小的形體如何被簡化是本文重點要解決的地方。伴隨矩陣和單調分析這兩個數(shù)學概念被合并成一個統(tǒng)一的理論來解決雙方的自我平衡和非自我平衡的特點。數(shù)值例子涉及二階scalar偏微分方程，以證實他的理論。本文還包含以下內容。第二節(jié)中，我們就幾何分析總結以往的工作。在第三節(jié)中，我們解決幾何分析引起的錯誤分析，并討論了擬議的方法。第四部分從數(shù)值試驗提供結果。第五部分討論如何加快設計開發(fā)進度。2.前期工作幾何分析過程可分為三個階段:識別:哪些特征應該被簡化；簡化：如何在一個自動化和幾何一致的方式中簡化特征；分析:簡化的結果。第一個階段的相關文獻已經很多。例如，企業(yè)的規(guī)模和相對位置這個特點，經常被用來作為度量鑒定。此外，也有人提議以有意義的力學判據(jù)確定這種特征。自動化幾何分析過程，事實上，已成熟到一個商業(yè)化幾何分析的地步。但我們注意到，這些商業(yè)軟件包僅提供一個純粹的幾何解決。因為沒有保證隨后進行的分析錯誤，所以必須十分小心使用。另外，固有的幾何問題依然存在，并且還在研究當中。本文的重點是放在第三階段，即快速幾何分析。建立一個有系統(tǒng)的方法，通過幾何分析引起的誤差是可以計算出來的。再分析的目的是迅速估計改良系統(tǒng)的反應。其中最著名的再分析理論是著名的謝爾曼-Morrison和woodbury公式。對于兩種有著相似的網狀結構和剛度矩陣設計，再分析這種技術特別有效。然而，過程幾何分析在網狀結構的剛度矩陣會導致一個戲劇性的變化，這與再分析技術不太相關。3.擬議的方法3.1問題闡述我們把注意力放在這個文件中的工程問題，標量二階偏微分方程式(pde):.).(fauuc許多工程技術問題，如熱，流體靜磁等問題，可能簡化為上述公式。作為一個說明性例子，考慮散熱問題的二維模塊如圖2所示。圖2二維熱座裝配熱量q從一個線圈置于下方位置列為coil。半導體裝置位于device。這兩個地方都屬于，有相同的材料屬性，其余將在后面討論。特別令人感興趣的是數(shù)量，加權溫度Tdevice內device(見圖2)。一個時段，認定為slot縮進如圖2，會受到抑制，其對Tdevice將予以研究。邊界的時段稱為slot其余的界線將稱為。邊界溫度假定為零。兩種可能的邊界條件slot被認為是:(a)固定熱源，即(-kt)n=q，(b)有一定溫度，即T=Tslot。兩種情況會導致兩種不同幾何分析引起的誤差的結果。設T(x，y)是未知的溫度場和K導熱。然后，散熱問題可以通過泊松方程式表示:)1()().)(00).(slctslctslctcoilcoilTTboronqhkaonTinininQTkBCPDE)2(),(),(devicedycTyxHTComputedevice其中H(x，y)是一些加權內核?，F(xiàn)在考慮的問題是幾何分析簡化的插槽是簡化之前分析，如圖3所示。圖3defeatured二維熱傳導裝配模塊現(xiàn)在有一個不同的邊值問題，不同領域t(x，y):)3(on0t0inQ).(-kBCPDEcoilslotcoilint)4(),(),(devidedevicedyxtyxHtCompute觀察到的插槽的邊界條件為t(x，y)已經消失了，因為槽已經不存在了（關鍵性變化）!解決的問題是:設定tdevice和t(x，y)的值，估計Tdevice。這是一個較難的問題，是我們尚未解決的。在這篇文章中，我們將從上限和下限分析Tdevice。這些方向是明確被俘引理3、4和3、6。至于其余的這一節(jié)，我們將發(fā)展基本概念和理論，建立這兩個引理。值得注意的是，只要它不重疊，定位槽與相關的裝置或熱源沒有任何限制。上下界的Tdevice將取決于它們的相對位置。3.2伴隨矩陣方法我們需要的第一個概念是，伴隨矩陣公式表達法。應用伴隨矩陣論點的微分積分方程，包括其應用的控制理論，形狀優(yōu)化，拓撲優(yōu)化等。我們對這一概念歸納如下。相關的問題都可以定義為一個伴隨矩陣的問題，控制伴隨矩陣t_(x，y)，必須符合下列公式計算23:ontininHtkdeviceslotdevice0)5(0).(*伴隨場t_(x，y)基本上是一個預定量，即加權裝置溫度控制的應用熱源?？梢杂^察到，伴隨問題的解決是復雜的原始問題；控制方程是相同的；這些問題就是所謂的自身伴隨矩陣。大部分工程技術問題的實際利益，是自身伴隨矩陣，就很容易計算伴隨矩陣。另一方面，在幾何分析問題中，伴隨矩陣發(fā)揮著關鍵作用。表現(xiàn)為以下引理綜述:引理3.1已知和未知裝置溫度的區(qū)別，即(Tdevice-tdevice)可以歸納為以下的邊界積分比幾何分析插槽:slotslotdntktTdntTkttTdevicedevice).)().(*在上述引理中有兩點值得注意:1、積分只牽涉到邊界slot；這是令人鼓舞的。或許，處理剛剛過去的被簡化信息特點可以計算誤差。2、右側牽涉到的未知區(qū)域T(x，y)的全功能的問題。特別是第一周期涉及的差異，在正常的梯度，即涉及-k(T-t)n；這是一個已知數(shù)量邊界條件-ktn所指定的時段，未知狄里克萊條件作出規(guī)定-ktn可以評估。在另一方面，在第二個周期內涉及的差異，在這兩個領域，即T管；因為t可以評價，這是一個已知數(shù)量邊界條件T指定的時段。因此。引理3.2、差額(tdevice-tdevice)不等式dntTkdtdtTntktTanddtTdntkdntTkttTslotslotslotdevicedeviceslotslotslotdevicedevice22*22*).()()().()()().().()(然而，伴隨矩陣技術不能完全消除未知區(qū)域T(x，y)。為了消除T(x，y)我們把重點轉向單調分析。3.3單調性分析單調性分析是由數(shù)學家在19世紀和20世紀前建立的各種邊值問題。例如，一個單調定