X節(jié)函數(shù)及其表示備考方向要明了考什么怎么考1了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射的概念2在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ㄈ鐖D象法、列表法、解析法表示函數(shù)3了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用1考查方式多為選擇題或填空題2函數(shù)的表示方法是高考的?？純?nèi)容，特別是圖象法與解析式更是高考的?？?，如X年新課標全國T10等3分段函數(shù)是高考的重點也是熱點，常以求解函數(shù)值，由函數(shù)值求自變量以及與不等式相關(guān)的問題為主，如X年XT3等歸納知識整合1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，BA，B是兩個非空數(shù)集A，B是兩個非空集合對應關(guān)系FAB按照某種確定的對應關(guān)系F，對于集合A中的任意一個數(shù)X，在集合B中有唯按某一個確定的對應關(guān)系F，對于集合A中的任意一個元素X在集合B中都有一確定的數(shù)FX和它對應唯一確定的元素Y與之對應名稱FAB為從集合A到集合B的一個函數(shù)對應FAB為從集合A到集合B的一個映射記法YFX，XA對應FAB是一個映射探究1函數(shù)和映射的區(qū)別與聯(lián)系是什么提示二者的區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的兩個集合必須是非空數(shù)集，二者的聯(lián)系是函數(shù)是特殊的映射2函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)YFX，XA中，X叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與X的值相對應的Y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合FX|XA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集2函數(shù)的三要素定義域、值域和對應關(guān)系3相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)探究2若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，它們是否是同一個函數(shù)提示不一定如函數(shù)YX與YX1，其定義域與值域完全相同，但不是同一個函數(shù)；再如YSINX與YCOSX，其定義域都為R，值域都為1,1，顯然不是同一個函數(shù)因為定義域和對應關(guān)系完全相同的兩個函數(shù)的值域也相同，所以定義域和對應關(guān)系完全相同的兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)4函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有解析法、列表法和圖象法5分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)自測牛刀小試1教材習題改編給出下列五個命題，正確的有函數(shù)是定義域到值域的對應關(guān)系；函數(shù)FX；X41XFX5，因這個函數(shù)的值不隨X的變化而變化，所以FT21也等于5；Y2XXN的圖象是一條直線；FX1與GXX0表示同一個函數(shù)A1個B2個C3個D4個解析選B由函數(shù)的定義知正確；錯誤；由ERROR得定義域為，所以不是函數(shù)；因為函數(shù)FX5為常數(shù)函數(shù)，所以FT215，故正確；因為XN，所以函數(shù)Y2XXN的圖象是一些離散的點，故錯誤；由于函數(shù)FX1的定義域為R，函數(shù)GXX0的定義域為X|X0，故錯誤綜上分析，可知正確的個數(shù)是22教材習題改編以下給出的對應是從集合A到B的映射的有集合AP|P是數(shù)軸上的點，集合BR，對應關(guān)系F數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應集合AP|P是平面直角坐標系中的點，集合BX，Y|XR，YR，對應關(guān)系F平面直角坐標系中的點與它的坐標對應；集合AX|X是三角形，集合BX|X是圓，對應關(guān)系F每一個三角形都對應它的內(nèi)切圓；集合AX|X是新華中學的班級，集合BX|X是新華中學的學生，對應關(guān)系F每一個班級都對應班里的學生A1個B2個C3個D4個解析選C由于新華中學的每一個班級里的學生都不止一個，即一個班級對應的學生不止一個，所以不是從集合A到集合B的映射3XX高考若函數(shù)FXERROR則FF10ALG101B2C1D0解析選BF10LG101，故FF10F1X124教材習題改編已知函數(shù)FX，則FF4_；若FA2，則A_X2X6_解析FX，F(xiàn)43X2X64246FF4F3323619FA2，即2，A2A6解得A14答案14195教材習題改編AX|X是銳角，B0,1，從A到B的映射是“求余弦”，與A中元素60相對應的B中的元素是_；與B中元素相對應的A中的元素是_32解析COS60，與A中元素60相對應的B中的元素是1212又COS30，與B中元素相對應的A中的元素是303232答案3012函數(shù)與映射的概念例1有以下判斷1FX與GXERROR表示同一個函數(shù)|X|X2函數(shù)YFX的圖象與直線X1的交點最多有1個3FXX22X1與GTT22T1是同一函數(shù)4若FX|X1|X|，則F0F12其中正確判斷的序號是_自主解答對于1，函數(shù)FX的定義域為X|XR且X0，而函數(shù)GXERROR的定義域是R，所以|X|X二者不是同一函數(shù)；對于2，若X1不是YFX定義域內(nèi)的值，則直線X1與YFX的圖象沒有交點，若X1是YFX定義域內(nèi)的值，由函數(shù)的定義可知，直線X1與YFX的圖象只有一個交點，即YFX的圖象與直線X1最多有一個交點；對于3，F(xiàn)X與GT的定義域、值域和對應關(guān)系均相同，所以FX與GT表示同一函數(shù)；對于4，由于F012|121|12|，所以FF01F12綜上可知，正確的判斷是23答案231判斷兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系的方法要檢驗兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系，只需檢驗1定義域和對應關(guān)系是否給出；2根據(jù)給出的對應關(guān)系，自變量X在其定義域中的每一個值，是否都能找到唯一的函數(shù)值Y與之對應2判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)的方法判斷兩個函數(shù)是否相同，要先看定義域是否一致，若定義域一致，再看對應法則是否一致，由此即可判斷11以下給出的同組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)為什么F1Y；F2Y1F1YERRORXXF2XX11X2X2Y123F1Y2X；F2如圖所示解不同函數(shù)F1X的定義域為XR|X0，F(xiàn)2X的定義域為R同一函數(shù)X與Y的對應關(guān)系完全相同且定義域相同，它們是同一函數(shù)的不同表示方式同一函數(shù)理由同2已知映射FAB其中ABR，對應關(guān)系FXYX22X，對于實數(shù)KB，在集合A中不存在元素與之對應，則K的取值范圍是AK1BK1CK1時滿足題意求函數(shù)的解析式例21已知FX1X24X1，求FX的解析式2已知FX是一次函數(shù)，且滿足3FX1FX2X9求FX自主解答1法一換元法設X1T，則XT1，F(xiàn)TT124T11，即FTT22T2所求函數(shù)為FXX22X2法二配湊法FX1X24X1X122X12，所求函數(shù)為FXX22X22待定系數(shù)法由題意，設函數(shù)為FXAXBA0，3FX1FX2X9，3AX13BAXB2X9，即2AX3A2B2X9由恒等式性質(zhì)，得ERROR解得A1，B3所求函數(shù)解析式為FXX3若將本例1中“FX1X24X1”改為“FLGX”，如何求解2X1解令1T，X0，2XT1且X2T1FTLG，即FXLGX12T12X1求函數(shù)解析式的常用方法1配湊法由已知條件FGXFX，可將FX改寫成關(guān)于GX的表達式，然后以X替代GX，便得FX的表達式；2待定系數(shù)法若已知函數(shù)的類型如一次函數(shù)、二次函數(shù)可用待定系數(shù)法；3換元法已知復合函數(shù)FGX的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；4解方程組法已知關(guān)于FX與F或FX的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一1X個等式組成方程組，通過解方程求出FX2給出下列兩個條件1F1X2；XX2FX為二次函數(shù)且F03，F(xiàn)X2FX4X2試分別求出FX的解析式解1令T1，XT1，XT12則FTT122T1T21，F(xiàn)XX21X12設FXAX2BXC，又F0C3FXAX2BX3，F(xiàn)X2FXAX22BX23AX2BX34AX4A2B4X2ERROR解得ERRORFXX2X3分段函數(shù)求值例3已知函數(shù)FXERROR則F2LOG23的值為AB124112CD1613解析2LOG234，F(xiàn)2LOG23F3LOG233LOG23LOG231218121813124答案A解決分段函數(shù)求值問題的方法1求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應根據(jù)所給自變量的大小選擇相應段的解析式求解，有時每段交替使用求值2若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值是否符合相應段的自變量的取值范圍，做到分段函數(shù)分段解決3已知函數(shù)FXERROR若FF04A，則實數(shù)A等于AB1245C2D9解析選CXFA，則實數(shù)A的取值范圍是A1,00,1B，11，C1,01，D，10,1解析選C當A0時，F(xiàn)AFA，LOG2ALOGALOG211AA，得A11A當AFA，LOGALOG2ALOG12121AA4，則X的取值范圍是_解析當X4得2X4，即X4得X24，所以X2或X2綜上，X的取值范圍是X2答案，22，一、選擇題本大題共6小題，每小題5分，共30分1下列各組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是AY與Y5X5X2BYLNEX與YELNXCY與YX3X1X3X1DYX0與Y1X0解析選DYX，Y|X|，故Y與Y不表示相等函數(shù)；B、C選項中的兩函數(shù)定義域5X5X25X5X2不同；D選項中的兩函數(shù)是同一個函數(shù)2設A0,1,2,4，B，則下列對應關(guān)系能構(gòu)成A到B的映射的是12，0，1，2，6，8AFXX31BFXX12CFX2X1DFX2X解析選C對于A，由于集合A中X0時，X311B，即A中元素0在集合B中沒有元素與之對應，所以選項A不符合；同理可知B、D兩選項均不能構(gòu)成A到B的映射，C符合3已知函數(shù)FXERROR則FF10AB1214C1D14解析選A依題意可知F10LG101，F(xiàn)1212124X杭州模擬設函數(shù)FXERROR若FAF12，則AA3B3C1D1解析選DFAF12，且F11，1FA1，當A0時，F(xiàn)A1，A1；A當A1時，F(xiàn)FX滿足1X1X二、填空題7已知FX2，則函數(shù)F3_X1X1X2解析FX222，X1X1X2X1XFXX22F3322X答案X8若FABFAFB且F11，則_F2F1F3F2F2012F2011解析令B1，F(xiàn)11，F(xiàn)A1FA20XF2F1F3F2F2012F2011答案20X9已知函數(shù)FXERROR則滿足不等式F1X2F2X的X的取值范圍是_解析畫出FXERROR的圖象，如圖由圖象可知，若F1X2F2X，則ERROR即ERROR得X1，12答案1，12三、解答題本大題共3小題，每小題X分，共36分10已知FXX21，GXERROR1求FG2和GF2的值；2求FGX和GFX的解析式解1由已知，G21，F(xiàn)23，因此FG2F10，GF2G322當X0時，GXX1，故FGXX121X22X；當X1或X0，故GFXFX1X22；當12X5解1設二次函數(shù)FXAX2BXCA0F01，C1把FX的表達式代入FX1FX2X，有AX12BX11AX2BX12X2AXAB2XA1，B1FXX2X12由X2X12X5，即X23X40，解得X4或X4或X0，對應關(guān)系F對P中三角形求面積與集合Q中元素對應解析對于1，集合P中元素0在集合Q中沒有對應元素，故1不是函數(shù)；對于3集合P不是數(shù)集，故3不是函數(shù)；2正確答案23試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)1Y，Y；X2X2X242YX，Y；3T33Y|X|，Y2X解Y的定義域為X|X2，X2X2Y的定義域為X|X2或X2，X24它們不是同一函數(shù)2它們的定義域相同，且YT，3T3YX與Y是同一函數(shù)3T33Y|X|的定義域為R，Y2的定義域為X|X0，X它們不是同一函數(shù)4已知FXERROR且FA3，求A的值解當A1時，F(xiàn)AA2，由A23，得A1，與A1相矛盾，應舍去當10的圖象與零點的關(guān)系000二次函數(shù)YAX2BXCA0的圖象與X軸的交點X1,0，X2,0X1,0無交點零點個數(shù)兩個一個零個3二分法的定義對于在區(qū)間A，B上連續(xù)不斷且FAFB0，F(xiàn)3200950，所以方程EXX20的一個根所在的區(qū)間為1,24若函數(shù)FXX2AXB的兩個零點是2和3，則函數(shù)GXBX2AX1的零點是_解析函數(shù)FXX2AXB的兩個零點為2和3，ERROR即A5，B6GXBX2AX16X25X1，令GX0，得X或1213答案，12135函數(shù)FX3AX12A在區(qū)間1,1上存在零點，則實數(shù)A的取值范圍是_解析FX3AX12A在區(qū)間1,1上有零點，且FX為一次函數(shù)，F(xiàn)1F1或A或A0，函數(shù)FX在R上單調(diào)遞增對于A項，F(xiàn)1E1145E10，A不正確，同理可驗證B、D不正確對于C項，F(xiàn)1E14E30，F(xiàn)1F20，F(xiàn)3434412E43E10，因此函數(shù)FXEX4X3的零點不在區(qū)間上；12121234，12對于B，注意到F0，F(xiàn)E43E20，即函數(shù)FX在0，1X2X2上單調(diào)遞增由F2LN210，知X02，E，2EGX0X02答案2判斷函數(shù)零點個數(shù)例21XX高考函數(shù)FXXX的零點個數(shù)為1212A0B1C2D32函數(shù)FXERROR的零點個數(shù)為A0B1C2D3自主解答1因為YX在X0，上單調(diào)遞增，YX在XR上單調(diào)遞減，所以FXXX在X121212120，上單調(diào)遞增，又F010，所以FXX1212X在定義域內(nèi)有唯一零點122當X0時，函數(shù)有零點X；當X0時，作出函數(shù)14YLNX，YX22X的圖象，觀察圖象可知兩個函數(shù)的圖象如圖有2個交點，即當X0時函數(shù)FX有2個零點故函數(shù)FX的零點的個數(shù)為3答案1B2D判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法1解方程法令FX0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；2零點存在性定理法利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間A，B上是連續(xù)不斷的曲線，且FAFB0，即X1時，F(xiàn)X1LNX，令FX0得XE1；當X10，即X1時，F(xiàn)X0LN10；當X10E2X1若YGXM有零點，求M的取值范圍；2確定M的取值范圍，使得GXFX0有兩個相異實根解1法一GXX22E，E2XE2等號成立的條件是XE，GX的值域是2E，因而只需M2E，則YGXM就有零點法二作出GXXX0的大致圖象如圖E2X可知若使YGXM有零點，則只需M2E2若GXFX0有兩個相異的實根，即GX與FX的圖象有兩個不同的交點，作出GXXX0的大致圖象E2XFXX22EXM1XE2M1E2其圖象的對稱軸為XE，開口向下，最大值為M1E2故當M1E22E，即ME22E1時，GX與FX有兩個交點，即GXFX0有兩個相異實根M的取值范圍是E22E1，1個口訣用二分法求函數(shù)零點的方法用二分法求零點近似值的口訣為定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看同號去，異號算，零點落在異號間周而復始怎么辦精確度上來判斷3種方法判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法判斷函數(shù)YFX在某個區(qū)間上是否存在零點，常用以下方法1解方程當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上；2利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷；3通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與X軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷4個結(jié)論有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論1若連續(xù)不斷的函數(shù)FX在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則FX至多有一個零點2連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號3連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號4函數(shù)零點的存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件數(shù)學思想利用數(shù)形結(jié)合思想解決與方程的根有關(guān)的問題在解決與方程的根或函數(shù)零點有關(guān)的問題時，如果按照傳統(tǒng)方法很難奏效時，常通過數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點的坐標問題來解決典例XX高考對于實數(shù)A和B，定義運算“”ABERROR設FX2X1X1，且關(guān)于X的方程FXMMR恰有三個互不相等的實數(shù)根X1，X2，X3，則X1X2X3的取值范圍是_解析由定義可知，F(xiàn)X2X1X1ERROR即FXERROR作出函數(shù)FX的圖象，如圖所示，關(guān)于X的方程FXM恰有三個互不相等的實根X1，X2，X3，即函數(shù)FX的圖象與直線YM有三個不同的交點，則00時，X2XM，即X2XM0，X2X31，01時，由FX1LOG2X0，解得X，又因12為X1，所以此時方程無解綜上函數(shù)FX的零點只有02X湖北高考函數(shù)FXXCOSX2在區(qū)間0,4上的零點個數(shù)為A4B5C6D7解析選CX0,4，X20,16X20，都是FX的零點，此時X有6個值232527292FX的零點個數(shù)為63函數(shù)FXEXX2的零點所在的一個區(qū)間是A2，1B1,0C0,1D1,2解析選C因為函數(shù)FX的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，又F2E240，F(xiàn)2E20，所以F0F1FX0，又X015是函數(shù)FX的零點，因此FX00，所以FX10，即此時FX1的值恒為正值，選A6X洛陽模擬若函數(shù)YFXXR滿足FX2FX，且X1,1時，F(xiàn)X|X|，函數(shù)GXERROR則函數(shù)HXFXGX在區(qū)間5,5上的零點的個數(shù)為A10B9C8D7解析選B由FX2FX可知，函數(shù)FX是周期為2的周期函數(shù)在同一直角坐標系中畫出函數(shù)FX與函數(shù)GX的圖象，如圖所示結(jié)合圖象可知，函數(shù)HX在5,5上有9個零點注意函數(shù)GX在X0處無定義二、填空題本大題共3小題，每小題5分，共15分7定義在R上的奇函數(shù)FX滿足當X0時，F(xiàn)X20XXLOG20XX，則在R上，函數(shù)FX零點的個數(shù)為_解析函數(shù)FX為R上的奇函數(shù)，因此F00，當X0時，F(xiàn)X20XXLOG20XX在區(qū)間內(nèi)存在一個零點，又FX為增函數(shù)，因此在0，內(nèi)有且僅有一個零點根據(jù)0，12012對稱性可知函數(shù)在，0內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點的個數(shù)為3答案38已知函數(shù)FXX2X，GXXLNX，HXX1的零點分別為X1，X2，X3，則X1，X2，X3的大小關(guān)系是_X解析令X2X0，得2XX，令XLNX0，得LNXX在同一坐標系內(nèi)畫出Y2X，YLNX，YX，如圖X11所以X10，A8989所以若存在實數(shù)A滿足條件，則只需F1F30即可，即F1F313A2A199A6A141A5A10所以A或A115檢驗當F10時，A1所以FXX2X令FX0，即X2X0得X0或X1方程在1,3上有兩根，不合題意，故A1當F30時，A，15此時FXX2X，13565令FX0，即X2X0，13565解得X或X325方程在1,3上有兩根，不合題意，故A15綜上所述，A的取值范圍為1，15X若函數(shù)FX|4XX2|A有4個零點，求實數(shù)A的取值范圍解若FX|4XX2|A有4個零點，即|4XX2|A0有四個根，即|4XX2|A有四個根令GX|4XX2|，HXA則作出GX的圖象，由圖象可知要使|4XX2|A有四個根，則需GX的圖象與HX的圖象有四個交點，0LOG2210F3LOG2530且A1，B0對數(shù)函數(shù)模型FXBLOGAXCA，B，C為常數(shù)，A0且A1，B0冪函數(shù)模型FXAXNBA，B，N為常數(shù)，A0，N02三種函數(shù)模型性質(zhì)比較YAXA1YLOGAXA1YXNN0在0，上的單調(diào)性單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨X值增大，圖象與Y軸接近平行隨X值增大，圖象與X軸接近平行隨N值變化而不同探究1直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的增長特點是什么提示直線上升勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長先快后慢，其增長速度緩慢2你認為解答數(shù)學應用題的關(guān)鍵是什么提示解答數(shù)學應用題的關(guān)鍵有兩點一是認真讀題，縝密審題，將實際問題中的自然語言轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學語言；二是要合理選取變量，設定變量后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學模型自測牛刀小試1教材習題改編在養(yǎng)分充足的情況下，細菌的數(shù)量會以指數(shù)函數(shù)的方式增加假設細菌A的數(shù)量每2個小時可以增加為原來的2倍；細菌B的數(shù)量每5個小時可以增加為原來的4倍現(xiàn)在若養(yǎng)分充足，且一開始兩種細菌的數(shù)量相等，要使細菌A的數(shù)量是B的數(shù)量的兩倍，需要的時間為A5HB10HC15HD30H解析選B假設一開始兩種細菌數(shù)量均為M，則依題意經(jīng)過X小時后，細菌A的數(shù)量是FXM2，細菌X2B的數(shù)量是GXM4，令M22M4，解得X10X5X2X52教材習題改編在某種新型材料的研制中，X人員獲得了下列一組X數(shù)據(jù)現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是X1953003945106XY097159198235261AY2XBYLOG2XCYX21DY261COSX12解析選B通過檢驗可知，YLOG2X較為接近3據(jù)調(diào)查，蘋果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中變速車存車費是每輛一次03元，普通車存車費是每輛一次02元，若普通車存車數(shù)為X輛次，存車費總收入為Y元，則Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系是AY01X8000X4000BY01X12000X4000CY01X8000X4000DY01X12000X4000解析選DY02X4000X0301X12004教材習題改編某種儲蓄按復利計算利息，若本金為A元，每期利率為R，存期是X，本利和本金加利息為Y元，則本利和Y隨存期X變化的函數(shù)關(guān)系式是_解析因為儲蓄按復利計算，所以本利和Y隨存期X變化的函數(shù)關(guān)系式是YA1RX，XN答案YA1RX，XN5某種商品進價為每件100元，按進價增加25出售，后因庫存積壓降價，按九折出售，每件還獲利_元解析九折出售時價格為10012590X25元，此時每件還獲利X25100X5元答案X5利用函數(shù)刻畫實際問題例1如圖下面的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止用下面對應的圖象表示該容器中水面的高度H和時間T之間的關(guān)系，其中不正確的有A1個B2個C3個D4個自主解答將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度H和時間T之間的關(guān)系可以從高度隨時間的變化率上反映出來，圖應該是勻速的，故下面的圖象不正確，中的變化率應該是越來越慢的，正確；中的變化規(guī)律是先快后慢再快，正確；中的變化規(guī)律是先慢后快再慢，也正確，故只有是錯誤的答案A用函數(shù)圖象刻畫實際問題的解題思路將實際問題中兩個變量間變化的規(guī)律如增長的快慢、最大、最小等與函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、最值等、圖象增加、減少的緩急等相吻合即可1一水池有兩個進水口，一個出水口，每個水口的進、出水速度如圖甲、乙所示某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示給出以下3個論斷0點到3點只進水不出水；3點到4點不進水只出水；4點到6點不進水不出水，則一定正確的是ABCD解析選A由甲、乙兩圖知，進水速度是出水速度的，所以0點到3點不出水，3點到4點也可能一個進12水口進水，一個出水口出水，但總蓄水量降低，4點到6點也可能兩個進水口進水，一個出水口出水，一定正確的是利用已知函數(shù)模型解決實際問題例2XX高考如圖，建立平面直角坐標系XOY，X軸在地平面上，Y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程YKX1K2X2K0表示的120曲線上，其中K與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標1求炮的最大射程；2設在X象限有一飛行物忽略其大小，其飛行高度為32千米，試問它的橫坐標A不超過多少時，炮彈可以擊中它請說明理由自主解答1令Y0，得KX1K2X20，由實際意義和題設條件知X0，K0，120故X10，當且僅當K1時取等號20K1K220K1K202所以炮的最大射程為10千米2因為A0，所以炮彈可擊中目標存在K0，使32KA1K2A2成立120關(guān)于K的方程A2K220AKA2640有正根判別式20A24A2A2640A6所以當A不超過6千米時，可擊中目標利用已知函數(shù)模型解決實際問題的步驟若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型，或可確定其函數(shù)模型的圖象，求解時先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù)的值，再用求得的函數(shù)解析式解決實際問題2某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P元與時間T天的函數(shù)關(guān)系式是PERROR且該商品的日銷售量Q件與時間T天的函數(shù)關(guān)系式是QT400900，知YMAX1X5，即在第25天日銷售額最大，為1X5元構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題例3某特許專營店銷售西安世界園藝博覽會紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需向世博會管理處交特許經(jīng)營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少1元則增加銷售400枚，而每增加1元則減少銷售100枚，現(xiàn)設每枚紀念章的銷售價格為X元1寫出該特許專營店一年內(nèi)銷售這種紀念章所獲得的利潤Y元與每枚紀念章的銷售價格X的函數(shù)關(guān)系式并寫出這個函數(shù)的定義域；2當每枚紀念章銷售價格X為多少元時，該特許專營店一年內(nèi)利潤Y元最大，并求出這個最大值自主解答1依題意YERRORYERROR此函數(shù)的定義域為0,402YERROR若0X20，則當X16時，YMAX32400元若204時，Y4183X1835X4204X48當乙的用水量超過4噸，即3X4時，Y241833X45X424X96所以YERROR2由于YFX在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，當X時，YF3千元設該容器的建造費用為Y千元1寫出Y關(guān)于R的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；2求該容器的建造費用最小時的R快速規(guī)范審題第1問1審條件，挖解題信息觀察條件中間為圓柱形，左右兩端均為半球形的容器，球的半徑為R，圓柱的母線為L，以及容器的體積R2L可根據(jù)體積公式建立關(guān)系式4R33803S球4R2，利用表面積公式，可求球及圓柱的表面積S圓柱2RL2審結(jié)論，明確解題方向觀察所求結(jié)論求Y關(guān)于R的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域求總造價Y，應求出球形部分及圓柱形部分各自的造價球形部分的造價為4R2C，圓柱型部分的造價為2RL33建聯(lián)系，找解題突破口總造價Y球形部分的造價圓柱型部分的造價，即Y4R2C2RL3由R2L解得L，故可得建造應消掉L，只保留R4R33803803R24R3費用Y8R24CR203，所以C20當R30時，R20C2320C2令M，則M0320C2所以YRMR2RMM27分8C2R2易忽視條件L2R，從而誤認為R0，導致定義域錯誤易忽視導數(shù)為零的點與定義域的關(guān)系，即忽視對C的取值的討論而造成解題錯誤當0時，92當RM時，Y0；當R0，M時，Y0，所以RM是函數(shù)Y的極小值點，也是最小值點9分當M2，即3時，建造9292費最小時R12分320C2答題模板速成解決函數(shù)實際應用問題的一般步驟第一步審清題意弄清題意，理順條件和結(jié)論，找到關(guān)鍵量，明確數(shù)量關(guān)系第二步找數(shù)量關(guān)系把問題中所包含的關(guān)系可先用文字語言描述關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系，這是問題解決的一把鑰匙第三步建數(shù)學模型將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，建立相應的數(shù)學模型第四步解數(shù)學問題利用所學數(shù)學知識解決轉(zhuǎn)化后的數(shù)學問題，得到相應的數(shù)學結(jié)論第五步返本還原將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題本身所具有的意義如本題應還原建造費用最小時R的值第六步反思回顧查看關(guān)鍵點、易錯點，如本題函數(shù)關(guān)系式，定義域，分易忽視將問題“返本還原”，即沒將函數(shù)的最小值還原為建造費用最小而草率收兵類討論等一、選擇題本大題共6小題，每小題5分，共30分1如圖是張大爺晨練時所走的離家距離Y與行走時間X之間的函數(shù)關(guān)系圖，若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是解析選C由于中間一段時間，張大爺離家的距離不變，故應選C2某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤單位萬元分別為L1506X015X2和L22X，其中X為銷售量單位輛若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為A45606萬元B456萬元C4556萬元D4551萬元解析選B設該公司在甲地銷售X輛，則在乙地銷售15X輛，利潤為LX506X015X2215X015X2306X30015201530，由于X為整數(shù)，所以當X10時，X153151532225LX取最大值L10456，即能獲得的最大利潤為456萬元3某地2011年底人口為500萬，人均住房面積為6M2，如果該城市人口平均每年增長率為1問為使2021年底該城市人均住房面積增加到7M2，平均每年新增住房面積至少為1011011046A90萬M2B87萬M2C85萬M2D80萬M2解析選B由題意866萬M287萬M2500111075006104某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定價20元，羽毛球每個定價5元，該店制定了兩種優(yōu)惠方法買一副球拍贈送一個羽毛球；按總價的92付款現(xiàn)某人計劃購買4副球拍和30個羽毛球，兩種方法中，更省錢的一種是A不能確定B同樣省錢C省錢D省錢解析選D方法用款為42026580130210元方法用款為420305922116元因為210500時，F(xiàn)X005500500212X，120000025X100051400故FXERROR2當0500時，F(xiàn)X12XFX2，那么就說函數(shù)FX在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是逐漸上升的自左向右看圖象是逐漸下降的2如果函數(shù)YFX在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)YFX在區(qū)間D具有嚴格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做YFX的單調(diào)區(qū)間探究1函數(shù)Y的單調(diào)遞減區(qū)間為，00，這種表示法對嗎1X提示首先函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一個函數(shù)有多個單調(diào)區(qū)間應分別寫，分開表示，不能用并集符號“”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)2函數(shù)FX在區(qū)間A，B上單調(diào)遞增與函數(shù)FX的單調(diào)遞增區(qū)間為A，B含義相同嗎提示含義不同F(xiàn)X在區(qū)間A，B上單調(diào)遞增并不能排除FX在其他區(qū)間上單調(diào)遞增，而FX的單調(diào)遞增區(qū)間為A，B意味著FX在其他區(qū)間上不可能單調(diào)遞增2函數(shù)的最值前提設函數(shù)YFX的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件對于任意XI，都有FXM；存在X0I，使得FX0M對于任意XI，都有FXM；存在X0I，使得FX0M結(jié)論M為最大值M為最小值探究3函數(shù)的單調(diào)性、最大小值反映在其圖象上有什么特征提示函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上是上升或下降的，而最大小值反映在圖象上為其最高低點的縱坐標的值自測牛刀小試1教材習題改編函數(shù)FX，X2,6，則下列說法正確的有2X1函數(shù)FX為減函數(shù)；函數(shù)FX為增函數(shù)；函數(shù)FX的最大值為2；函數(shù)FX的最小值為25ABCD解析選B易知函數(shù)FX在X2,6上為減函數(shù)，故FXMINF6，F(xiàn)XMAXF222X1252函數(shù)Y2K1XB在，上是減函數(shù)，則AKBKDK1，即|X|0X211若2F1F1，求A的值；2證明當A1時，函數(shù)FX在區(qū)間0，上為單調(diào)減函數(shù)自主解答1由2F1F1，可得22AA，得A22232證明任取X1，X20，且X10，F(xiàn)X在0，上單調(diào)遞減判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的兩種方法1利用定義的基本步驟是取值作差商變形確定符號得出結(jié)論2利用導數(shù)的基本步驟是求導函數(shù)確定符號得出結(jié)論1討論函數(shù)FXA0的單調(diào)性AXX21解由X210，得X1，即定義域為，11,11，當X1,1時，設10，X1X210，X1X10212又A0，F(xiàn)X1FX20，函數(shù)FX在1,1上為減函數(shù)設10，X10，212X2X10，X1X210FX1FX20，即FX1FX2FX在1，上為減函數(shù)又函數(shù)FX是奇函數(shù)，F(xiàn)X在，1上是減函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1YX22|X|3；2YLOG2X21自主解答1依題意，可得當X0時，YX22X3X124；當X0，在1，上為增函數(shù)且0當X，1時，YLOG2X21為減函數(shù)，當X1，時，YLOG2X21為增函數(shù)1求函數(shù)單調(diào)區(qū)間應注意的問題函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集或真子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須首先確定函數(shù)的定義域，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的運算應該在函數(shù)的定義域內(nèi)進行2求復合函數(shù)YFGX的單調(diào)區(qū)間的步驟1確定定義域；2將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)YFU，UGX；3分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；4若這兩個函數(shù)同增或同減，則YFGX為增函數(shù)；若一增一減，則YFGX為減函數(shù)，即“同增異減”2求函數(shù)Y的單調(diào)區(qū)間X2X6解令UX2X6，Y可以看作有Y與UX2X6的復合函數(shù)X2X6U由UX2X60，得X3或X2UX2X6在，3上是減函數(shù)，在2，上是增函數(shù)，而Y在0，上是增函數(shù)UY的單調(diào)減區(qū)間為，3，單調(diào)增區(qū)間為2，X2X6由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍例3已知函數(shù)FXA0在2，上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)A的取值范圍X2AX自主解答在區(qū)間2，上任取X1，X2，且X14A4，又A0，A的取值范圍為0,4若將“FXA0”改為“FX”，如何求解X2AXX5XA2解FX1X5XA2A3XA2FX在2，上為增函數(shù)，302A，解得即A0，故實數(shù)A的取值范圍為，0利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的方法及注意點利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，解題思路為視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參需注意若函數(shù)在區(qū)間A，B上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的3已知FXXA，若A0且FX在1，內(nèi)單調(diào)遞減，求A的取值范圍XXA解任設10，X2X10，要使FX1FX20，只需X1AX2A0恒成立A1綜上所述，A的取值范圍是0,1函數(shù)的最值與應用例42013昆明模擬已知函數(shù)FX，X1，X22XAX1當A時，求函數(shù)FX的最小值；122若對任意X1，F(xiàn)X0恒成立，試求實數(shù)A的取值范圍自主解答1當A時，F(xiàn)XX2，在1，上為增函數(shù)，F(xiàn)XMINF11212X722FXX2，X1，AX當A0時，F(xiàn)X在1，內(nèi)為增函數(shù)最小值為F1A3要使FX0在X1，上恒成立，只需A30，即A3，所以30，A3所以01時，F(xiàn)X在1，A上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，所以FX在1，上的最小值是F22AAA，220，顯然成立綜上所述，F(xiàn)X在1，上恒大于零時，A的取值范圍是3，A1求函數(shù)最值的常用方法1單調(diào)性法先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；2圖象法先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值；3基本不等式法先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；4導數(shù)法先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值；5換元法對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值2恒成立問題的解法1MFX恒成立MFXMAX；2M0X1X2FX1FX20FX在A，B上是增函數(shù)；FX1FX2X1X220CFX10，F(xiàn)X20，F(xiàn)X20解析選B函數(shù)FXLOG2X在1，上為增函數(shù)，且F20當X11,2時，F(xiàn)X1F20，即FX103若FXX22AX與GX在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則A的取值范圍是AX1A1,00,1B1,00,1C0,1D0,1解析選D函數(shù)FXX22AX在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，A1又函數(shù)GX在區(qū)間1,2上也是減函數(shù)，AX1A0A的取值范圍是0,142013濰坊模擬已知函數(shù)FX的圖象向左平移1個單位后關(guān)于Y軸對稱，當X2X11時，F(xiàn)X2FX1X2X1ABBCBACACBDBAC解析選D根據(jù)已知可得函數(shù)FX的圖象關(guān)于直線X1對稱，且在1，上是減函數(shù)AFF，所以BAC12525若函數(shù)FXLOGA2X2XA0且A1在區(qū)間內(nèi)恒有FX0，則FX的單調(diào)遞增區(qū)0，12間為AB，1414，C0，D，12解析選D令GX2X2X0，得X0或X0恒成立，故00，則函數(shù)FX在A，B上有A最小值FAB最大值FBC最小值FBD最大值FAB2解析選CFX是定義在R上的函數(shù)，且FXYFXFY，F(xiàn)00，令YX，則有FXFXF00FXFXFX是R上的奇函數(shù)設X10FX在R上是減函數(shù)FX在A，B有最小值FB二、填空題本大題共3小題，每小題5分，共15分7函數(shù)FXXLOG2X2在區(qū)間1,1上的最大值為_13解析由于YX在R上遞減，YLOG2X2在1,1上遞增，所以FX在1,1上單調(diào)13遞減，故FX在1，1上的最大值為F13答案382013東城模擬函數(shù)FX的定義域為A，若X1，X2A且FX1FX2時總有X1X2，則稱FX為單函數(shù)例如函數(shù)FX2X1XR是單函數(shù)給出下列命題函數(shù)FXX2XR是單函數(shù)；指數(shù)函數(shù)FX2XXR是單函數(shù)；若FX為單函數(shù)，X1，X2A且X1X2，則FX1FX2；在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)其中真命題是_寫出所有真命題的編號解析根據(jù)單函數(shù)的定義，函數(shù)是單函數(shù)等價于這個函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)的，故命題是真命題，是假命題；根據(jù)一個命題與其逆否命題等價可知，命題是真命題答案9已知函數(shù)FXERRORA是常數(shù)且A0對于下列命題函數(shù)FX的最小值是1；函數(shù)FX在R上是單調(diào)函數(shù)；若FX0在上恒成立，則A的取值范圍是A1；12，對任意的X10在上恒成立，則2A10，A1，故正確；由圖象可知12，12在，0上對任意的X10，X01A1X1求證FX在0，上是單調(diào)遞增函數(shù)；2若FX在上的值域是，求A的值12，212，2解1證明設X2X10，則X2X10，X1X20，F(xiàn)X2FX11A1X21A1X10，1X11X2X2X1X1X2FX2FX1FX在0，上是單調(diào)遞增的2FX在上的值域是，又FX在上單調(diào)遞增，12，212，212，2F，F(xiàn)22易得A12122511已知函數(shù)FX對任意的A，BR恒有FABFAFB1，并且當X0時，F(xiàn)X11求證FX是R上的增函數(shù)；2若F45，解不等式F3M2M20，F(xiàn)X2X11FX2FX1FX2X110，即FX2FX1FX是R上的增函數(shù)2令AB2，得F4F2F212F21，F(xiàn)23而F3M2M20成立FAFBAB1判斷FX在1,1上的單調(diào)性，并證明它；2解不等式F0，X1X20，則X2所以函數(shù)YLOGX23X2的定義域為，12，1又UX23X2的對稱軸X，且開口向上32所以UX23X2在，1上是單調(diào)減函數(shù)，在2，上是單調(diào)增函數(shù)而YLOGU在0，上是單調(diào)減函數(shù)，12故YLOGX23X2的單調(diào)減區(qū)間為2，單調(diào)增區(qū)間為，112討論函數(shù)FXM00，MX1X2X22X12即FX2FX1，故函數(shù)FX在區(qū)間，2上是增函數(shù)同理可得函數(shù)FX在區(qū)間2，上也是增函數(shù)綜上，函數(shù)FX在，2，2，上為增函數(shù)3已知函數(shù)FX對于任意X，YR，總有FXFYFXY，且當X0時，F(xiàn)XX2，則X1X20，F(xiàn)X1FX2FX1FX2FX1X2，又X0時，F(xiàn)X0，F(xiàn)X1X2X2，則FX1FX2FX1X2X2FX2FX1X2FX2FX2FX1X2又X0時，F(xiàn)X0，F(xiàn)X1X20，右移A個單位A0，上移B個單位B1，伸為原來的A倍00對稱，那么其圖象如何變換才能使它變?yōu)槠婧瘮?shù)其解析