“希望杯”全國數(shù)學(xué)競賽（第123屆）初一年級/七年級第一/二試題目錄1希望杯第一屆（1990年）初中一年級第一試試題0030052希望杯第一屆（1990年）初中一年級第二試試題0100123希望杯第二屆（1991年）初中一年級第一試試題0170204希望杯第二屆（1991年）初中一年級第二試試題0230265希望杯第三屆（1992年）初中一年級第一試試題0310326希望杯第三屆（1992年）初中一年級第二試試題0370407希望杯第四屆（1993年）初中一年級第一試試題0470508希望杯第四屆（1993年）初中一年級第二試試題0550589希望杯第五屆（1994年）初中一年級第一試試題06306610希望杯第五屆（1994年）初中一年級第二試試題07007311希望杯第六屆（1995年）初中一年級第一試試題07708012希望杯第六屆（1995年）初中一年級第二試試題08408713希望杯第七屆（1996年）初中一年級第一試試題09509814希望杯第七屆（1996年）初中一年級第二試試題10210515希望杯第八屆（1997年）初中一年級第一試試題11011316希望杯第八屆（1997年）初中一年級第二試試題11712017希望杯第九屆（1998年）初中一年級第一試試題12612918希望杯第九屆（1998年）初中一年級第二試試題13513819希望杯第十屆（1999年）初中一年級第二試試題14414720希望杯第十屆（1999年）初中一年級第一試試題14815121希望杯第十一屆（2000年）初中一年級第一試試題15816122希望杯第十一屆（2000年）初中一年級第二試試題16616923希望杯第十二屆（2001年）初中一年級第一試試題17017424希望杯第十二屆（2001年）初中一年級第二試試題17517825希望杯第十三屆（2002年）初中一年級第一試試題18118426希望杯第十三屆（2001年）初中一年級第二試試題18518927希望杯第十四屆（2003年）初中一年級第一試試題19219628希望杯第十四屆（2003年）初中一年級第二試試題19720029希望杯第十五屆（2004年）初中一年級第一試試題20320730希望杯第十五屆（2004年）初中一年級第二試試題20821131希望杯第十六屆（2005年）初中一年級第一試試題21321832希望杯第十六屆（2005年）初中一年級第二試試題21922533希望杯第十七屆（2006年）初中一年級第一試試題22823334希望杯第十七屆（2006年）初中一年級第二試試題23423835希望杯第十八屆（2007年）初中一年級第一試試題24224626希望杯第十八屆（2007年）初中一年級第二試試題24825137希望杯第十九屆（2008年）初中一年級第一試試題25225638希望杯第十九屆（2008年）初中一年級第二試試題25726239希望杯第二十屆（2009年）初中一年級第一試試題26326620希望杯第二十屆（2009年）初中一年級第二試試題26727121希望杯第二十一屆（2010年）初中一年級第一試試題27427622希望杯第二十二屆（2011年）初中一年級第二試試題28528823希望杯第二十三屆（2012年）初中一年級第二試試題288301希望杯第一屆（1990年）初中一年級第1試試題一、選擇題（每題1分，共10分）1如果A，B都代表有理數(shù)，并且AB0，那么AA，B都是0BA，B之一是0CA，B互為相反數(shù)DA，B互為倒數(shù)2下面的說法中正確的是A單項式與單項式的和是單項式B單項式與單項式的和是多項式C多項式與多項式的和是多項式D整式與整式的和是整式3下面說法中不正確的是A有最小的自然數(shù)B沒有最小的正有理數(shù)C沒有最大的負整數(shù)D沒有最大的非負數(shù)4如果A，B代表有理數(shù)，并且AB的值大于AB的值，那么AA，B同號BA，B異號CA0DB05大于并且不是自然數(shù)的整數(shù)有A2個B3個C4個D無數(shù)個6有四種說法甲正數(shù)的平方不一定大于它本身；乙正數(shù)的立方不一定大于它本身；丙負數(shù)的平方不一定大于它本身；丁負數(shù)的立方不一定大于它本身這四種說法中，不正確的說法的個數(shù)是A0個B1個C2個D3個7A代表有理數(shù)，那么，A和A的大小關(guān)系是AA大于ABA小于ACA大于A或A小于ADA不一定大于A8在解方程的過程中，為了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的兩邊A乘以同一個數(shù)B乘以同一個整式C加上同一個代數(shù)式D都加上19杯子中有大半杯水，第二天較第一天減少了10，第三天又較第二天增加了10，那么，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量相比的結(jié)果是A一樣多B多了C少了D多少都可能10輪船往返于一條河的兩碼頭之間，如果船本身在靜水中的速度是固定的，那么，當(dāng)這條河的水流速度增大時，船往返一次所用的時間將A增多B減少C不變D增多、減少都有可能二、填空題（每題1分，共10分）1_2151602538742198919902198919892_3_4816324關(guān)于X的方程的解是_1X51234567849995000_6當(dāng)X時,代數(shù)式3X35X26X1X32X2X22X33X21的值是4_7當(dāng)A02，B004時，代數(shù)式的值是27110634ABAAB_8含鹽30的鹽水有60千克，放在秤上蒸發(fā)，當(dāng)鹽水變?yōu)楹}40時，秤得鹽水的重是_克9制造一批零件,按計劃18天可以完成它的如果工作4天后,工作效率提高了,那么1315完成這批零件的一半，一共需要_天10現(xiàn)在4點5分，再過_分鐘，分針和時針第一次重合答案與提示一、選擇題1C2D3C4D5C6B7D8D9C10A提示1令A(yù)2，B2，滿足220，由此2X2，2X2，X3都是單項式兩個單項式X3，X2之和為X3X2是多項式，排除A兩個單項式X2，2X2之和為3X2是單項式，排除B兩個多項式X3X2與X3X2之和為2X3是個單項式，排除C，因此選D31是最小的自然數(shù)，A正確可以找到正所以C“沒有最大的負整數(shù)”的說法不正確寫出擴大自然數(shù)列，0，1，2，3，N，易知無最大非負數(shù)，D正確所以不正確的說法應(yīng)選C5在數(shù)軸上容易看出在右邊0的左邊（包括0在內(nèi)）的整數(shù)只有3，2，1，0共4個選C6由121，131可知甲、乙兩種說法是正確的由131，可知丁也是正確的說法而負數(shù)的平方均為正數(shù)，即負數(shù)的平方一定大于它本身，所以“負數(shù)平方不一定大于它本身”的說法不正確即丙不正確在甲、乙、丙、丁四個說法中，只有丙1個說法不正確所以選B7令A(yù)0，馬上可以排除A、B、C，應(yīng)選D8對方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等于0的數(shù)所以排除A我們考察方程X20，易知其根為X2若該方程兩邊同乘以一個整式X1，得X1X20，其根為X1及X2，不與原方程同解，排除B若在方程X20兩邊加上同一個代數(shù)式去了原方程X2的根所以應(yīng)排除C事實上方程兩邊同時加上一個常數(shù)，新方程與原方程同解，對D，這里所加常數(shù)為1，因此選D9設(shè)杯中原有水量為A，依題意可得，第二天杯中水量為A11009A；第三天杯中水量為09A1100911A；第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，選C10設(shè)兩碼頭之間距離為S，船在靜水中速度為A，水速為V0，則往返一次所用時間為設(shè)河水速度增大后為V，VV0則往返一次所用時間為由于VV00，AV0AV0，AVAV所以AV0AVAV0AVT0T0，即T0T因此河水速增大所用時間將增多，選A二、填空題提示21989199021989198921989199019891989198919901989198919891990198919891397839793由于2122124128121612121221241281216122122124128121612412412812161281281216121612161232121XX28,22XX28解得；X4512345678499950001234567849995000250063X35X26X1X32X2X22X33X215X27注意到當(dāng)A02，B004時，A2B0220040，BA0160040201608食鹽30的鹽水60千克中含鹽6030（千克）設(shè)蒸發(fā)變成含鹽為40的水重X克，即0001X千克，此時，60300001X40解得X45000（克）10在4時整，時針與分針針夾角為120即希望杯第一屆（1990年）初中一年級第2試試題一、選擇題（每題1分，共5分）以下每個題目里給出的A，B，C，D四個結(jié)論中有且僅有一個是正確的請你在括號填上你認為是正確的那個結(jié)論的英文字母代號1某工廠去年的生產(chǎn)總值比前年增長A，則前年比去年少的百分數(shù)是AAB1ACD10A0A2甲杯中盛有2M毫升紅墨水，乙杯中盛有M毫升藍墨水，從甲杯倒出A毫升到乙杯里,0AM，攪勻后，又從乙杯倒出A毫升到甲杯里，則這時A甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少B甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多C甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同D甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定3已知數(shù)X100,則AX是完全平方數(shù)BX50是完全平方數(shù)CX25是完全平方數(shù)DX50是完全平方數(shù)4觀察圖1中的數(shù)軸用字母A，B，C依次表示點A，B，C對應(yīng)的數(shù),則的大小關(guān)系是,ABCD1AB1C1AB11方程的根是5237XA27B28C29D3012當(dāng)X,Y2時,代數(shù)式的值是142XYA6B2C2D613在4，1，25，001與15這五個數(shù)中，最大的數(shù)與絕對值最大的那個數(shù)的乘積是A225B015C00001D114不等式的解集是124816XXAX16BX16CX1DX1615濃度為P的鹽水M公斤與濃度為Q的鹽水N公斤混合后的溶液濃度是ABCD2PQPNQMPNQPNQ二、填空題（每題1分，共15分）1計算11111_2計算326_163計算_34求值1991|3|31|_5計算_112603426N為正整數(shù)，1990N1991的末四位數(shù)字由千位、百位、十位、個位、依次排列組成的四位數(shù)是8009則N的最小值等于_7計算_19198計算19891990199119921993_59在25,35,中,最大的那個數(shù)是_5125310不超過172的最大整數(shù)是_11解方程01,_314XX12求值_51313一個質(zhì)數(shù)是兩位數(shù)，它的個位數(shù)字與十位數(shù)字的差是7，則這個質(zhì)數(shù)是_14一個數(shù)的相反數(shù)的負倒數(shù)是,則這個數(shù)是_1915如圖11，A，B，C，D，E，F(xiàn)均為有理數(shù)圖中各行，各列、兩條對角線上三個數(shù)之和都相等,則_CDEF答案與提示一、選擇題1C2B3B4C5C6B7B8B9C10B11D12A13B14A15D提示1整數(shù)無最小數(shù)，排除A；正數(shù)無最小數(shù)，排除B；有理數(shù)無最小數(shù)，排除D1是最小自然數(shù)選C有|2|3|，排除C；若23有2232，排除D；事實上，AB必有AB選B3若A0，700排除A；707排除C|0|7排除D，事實上因為70，必有7A0AA選B4把圖形補成一個大矩形，則陰影部分面積等于ABACBDABABADCBDABABADCBDADCBD選C5運算結(jié)果對負數(shù)來說絕對值越小其值越大。63141675944314165594431416759445594423141662832選B為32第四個數(shù)數(shù)326111215選B新方程X44X與原方程同解選C134，1，25，001與15中最大的數(shù)是001，絕對值最大的數(shù)是15，00115015選B15設(shè)混合溶液濃度為X，則MPNQMNX二、填空題提示11111121141991|3|31|199128201961990N的末四位數(shù)字應(yīng)為19918009的末四位數(shù)字即為0000，即1990N末位至少要4個0，所以N的最小值為41993199110172289，不超過289的最大整數(shù)為2去分母得42X110X132X1128X410X16X3128X10X6X3124113十位數(shù)比個位數(shù)大7的兩位數(shù)有70，81，92，個位數(shù)比十位數(shù)大7的兩位數(shù)有18，29，其中只有29是質(zhì)數(shù)BD71379，所以各行各列兩條對角線上三個數(shù)之和等于9易求得A4，E1，C5，F(xiàn)0希望杯第二屆（1991年）初中一年級第2試試題一、選擇題（每題1分，共10分）1設(shè)A，B為正整數(shù)（AB）P是A，B的最大公約數(shù)，Q是A，B的最小公倍數(shù)則P，Q，A，B的大小關(guān)系是APQABBQABPCQPABDPABQ2一個分數(shù)的分子與分母都是正整數(shù)，且分子比分母小1,若分子和分母都減去1,則所得分數(shù)為小于的正數(shù),則滿足上述條件的分數(shù)共有67A5個B6個C7個D8個3下列四個等式0,AB0,A20,A2B20中，可以斷定A必等于0的式子共有ABA3個B2個C1個D0個4A為有理數(shù)下列說法中正確的是AA12的值是正數(shù)BA21的值是正數(shù)CA12的值是負數(shù)DA21的值小于15如果1B的解為X則ABAA、都正確B、正確，、不正確C、不正確，、正確D、都不正確9若ABC1,則的值是11ABCBCAA1B0C1D210有一份選擇題試卷共六道小題其得分標(biāo)準(zhǔn)是一道小題答對得8分，答錯得0分，不答得2分某同學(xué)共得了20分，則他A至多答對一道小題B至少答對三道小題C至少有三道小題沒答D答錯兩道小題二、填空題（每題1分，共10分）1絕對值大于13并且小于159的所有整數(shù)的乘積等于_2單項式與是同類項,則M_2134MXYZ90172MXYZ3化簡_29084現(xiàn)在弟弟的年齡是哥哥年齡的,而9年前弟弟的年齡只是哥哥的,則哥哥現(xiàn)在1215的年趟齡是_5某同學(xué)上學(xué)時步行，放學(xué)回家乘車往返全程共用了15小時，若他上學(xué)、下學(xué)都乘車則只需05小時若他上學(xué)、下學(xué)都步行，則往返全程要用_小時6四個連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)之和是,則這四個正整數(shù)兩兩乘積之和等于_19207123452076552246907655_8在計算一個正整數(shù)乘以的運算時,某同學(xué)誤將錯寫為357,結(jié)果與正確357357答案相差14,則正確的乘積是_9某班學(xué)生人數(shù)不超過50人元旦上午全班學(xué)生的去參加歌詠比賽,全班學(xué)生的29去玩乒乓球,而其余學(xué)生都去看電影,則看電影的學(xué)生有_人1410游泳者在河中逆流而上于橋A下面將水壺遺失被水沖走繼續(xù)前游20分鐘后他發(fā)現(xiàn)水壺遺失，于是立即返回追尋水壺在橋A下游距橋A2公里的橋B下面追到了水壺那么該河水流的速度是每小時_公里三、解答題（每題5分，共10分，要求寫出完整的推理、計算過程，語言力求簡明，字跡與繪圖力求清晰、工整）1有一百名小運動員所穿運動服的號碼恰是從1到100這一百個自然數(shù)，問從這100名運動員中至少要選出多少人，才能使在被選出的人中必有兩人，他們運動服的號碼數(shù)相差9請說明你的理由2少年科技組制成一臺單項功能計算器，對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是輸入第一個整數(shù)X1，只顯示不運算，接著再輸入整數(shù)X2后則顯示|X1X2|的結(jié)果，此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進行求差取絕對值的運算，現(xiàn)小明將從1到1991這一千九百九十一個整數(shù)隨意地一個一個地輸入，全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為P試求出P的最大值，并說明理由答案與提示一、選擇題1B2A3A4B5B6C7C8B9A10D提示1兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)一定不小于兩數(shù)中較大者兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)一定不大于兩數(shù)中較小者所以QABP選B，也有A必為0所以A必為0的式子共有3個選A4A1時A120，A不真；A1時A120，C也不真；A0時A211，D不真；只有對任意有理數(shù)A，A210成立選B5當(dāng)1X2時，X0，X10，X20|X|X，|X1|X1，|X2|2X1111選B6若C0，甲不正確對于乙，若AC2BC2，可推出C0，C20，進而推出AB，乙正確選CCB0，|BC|CB|A|B|AB|BC|ABABCBBC選C8若A0，B1，0X1，可見無解不9ABC1，則A，B，C均不為0選A10設(shè)選對X題，不選的有Z題，選錯的有Y題依題意有XYZ6，8X2Z20X0，Y0，Z0，且都為整數(shù)）解之得X2，Y2，Z2，選D二、填空題提示1絕對值大于13而小于159的所有整數(shù)是15，14，14，15，其乘積為14151415441003令N19901990，N119901989，19901991N1則分母1990199121990198919901991N12N1N12N15設(shè)步行速度為X，乘車速度為Y，學(xué)校到家路程為S，則6設(shè)所求的四個連續(xù)整數(shù)分別為A，A1，A2不合題設(shè)條件和為3435364546561197令X12345，Y07655，則2XY246907655，123452076552246907655XY2123450765522249顯然全班人數(shù)被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人數(shù)小于50，可見全班總計36人，看電影的同學(xué)為36891910設(shè)該河水速每小時X公里游泳者每小時解得X3即該河水速每小時3公里三、解答題1若選出54個人，他們的號碼是1，2，8，9，19，20，26，27，37，38，44，45，55，56，62，63，73，74，80，81，91，92，98，99的時候，任兩個人號碼數(shù)之差均不等于9可見，所選的人數(shù)必55才有可能我們證明，至少要選出55人時一定存在兩個運動員號碼之差恰是9被選出的55人有55個不同號碼數(shù)，由于55691，所以其中必有7個號碼數(shù)被9除余數(shù)是相同的但由1100這一百個自然數(shù)中，被9除余數(shù)相同的數(shù)最多為12個數(shù)因此7個數(shù)中一定有兩個是“大小相鄰”的，它們的差等于9所以至少要選出55名小運動員，才能使其中必有兩人運動服的號碼數(shù)相差92由于輸入的數(shù)都是非負數(shù)當(dāng)X10，X20時，|X1X2|不超過X1，X2中最大的數(shù)對X10，X20，X30，則|X1X2|X3|不超過X1，X2，X3中最大的數(shù)小明輸入這1991個數(shù)設(shè)次序是X1，X2，X1991，相當(dāng)于計算|X1X2|X3|X1990|X1991|P因此P的值1991另外從運算奇偶性分析，X1，X2為整數(shù)|X1X2|與X1X2奇偶性相同因此P與X1X2X1991的奇偶性相同但X1X2X1991121991偶數(shù)于是斷定P1990我們證明P可以取到1990對1，2，3，4，按如下次序|13|4|2|0|4K14K3|4K4|4K2|0，對K0，1，2，均成立因此，11988可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為0而后|19891990|1991|1990所以P的最大值為1990希望杯第三屆（1992年）初中一年級第1試試題一、選擇題（每題1分，共10分）1有理數(shù)一定不是1AA正整數(shù)B負整數(shù)C負分數(shù)D02下面給出的四對單項式中，是同類項的一對是AX2Y與3X2ZB322M2N3與N3M2C02A2B與02AB2D11ABC與AB131913X11XX1等于A3X3BX1C3X1DX34兩個10次多項式的和是A20次多項式B10次多項式C100次多項式D不高于10次的多項式5若A10，則在下列每組四個數(shù)中，按從小到大的順序排列的一組是AA，1，1，ABA，1，1，AC1，A，A，1D1，A，1，A6A12341235，B12341235，C12341235，則ACBABCABCABCDBCA7若A0，B0，且|A|B|，那么下列式子中結(jié)果是正數(shù)的是AABABABABABCABABADABBAB8從2A5B減去4A4B的一半，應(yīng)當(dāng)?shù)玫紸4ABBBACA9BD7B9A，B，C，M都是有理數(shù)，并且A2B3CM，AB2CM，那么B與CA互為相反數(shù)B互為倒數(shù)C互為負倒數(shù)D相等10張梅寫出了五個有理數(shù)，前三個有理數(shù)的平均值為15，后兩個有理數(shù)的平均值是10，那么張梅寫出的五個有理數(shù)的平均值是A5B8C12D13132二、填空題（每題1分，共10分）123456789101112131415_2_581343_19232124若PA23ABB2，QA23ABB2，則代入到代數(shù)式PQ2PPQ中，化簡后，是_519921991199219911990199119921990_6六個單項式15A2,XY,A2B3,011M3,ABC,的數(shù)字系數(shù)之和等于24AB_7小華寫出四個有理數(shù)，其中每三數(shù)之和分別為2，17，1，3，那么小華寫出的四個有理數(shù)的乘積等于_8一種小麥磨成面粉后，重量要減少15，為了得到4250公斤面粉，至少需要_公斤的小麥9滿足的X值中,絕對值不超過11的那些整數(shù)之和等于_21310在下圖所示的每個小方格中都填入一個整數(shù)并且任意三個相鄰格子中所填數(shù)之和都等于5,則_XYZ答案與提示一、選擇題1D2B3C4D5A6B7A8D9A10D提示故選D2依同類項的定義，選B3X11XX1X11XX13X1，選C4多項式X10X與X10X2之和為X2X是個次數(shù)低于10次的多項式，因此排除了A、B、C，選D5由A10，知A1，所以A1于是由小到大的排列次序應(yīng)是A11A，選A6易見A1234123501，B123412350，C123412351234A，所以BAC，選B7因為A0，B0所以|A|A，|B|B由于|A|B|得AB，因此AB0，AB0ABA0，ABB0所以應(yīng)有ABABA0成立，選A2A5B2A2B7B，選D9因為A2B3CMAB2C，所以BC0，即B，C互為相反數(shù)，選A10前三個數(shù)之和153，后兩個數(shù)之和102所以五個有理數(shù)的平均數(shù)為二、填空題提示1前12個數(shù)，每四個一組，每組之和都是0所以總和為1415294因為PQ2PPQPQ2PPQPQ2PPQ2P2Q2PQ以PA23ABB2，QA23ABB2代入，原式2PQ2A23ABB2A23ABB226AB12AB6六個單項式的系數(shù)依次為7小華寫四個有理數(shù)之和為分別減去每三數(shù)之和后可得這四個有理數(shù)依次為3，12，6，8所以，這四個有理數(shù)的乘積3126817288設(shè)需要X公斤小麥，根據(jù)題意，得解方程，得X5000答需要5000公斤小麥去分母，得32X22X1去括號，得63X4X2移項，得3X4X26合并同類項X8于是X8其中絕對值不超過11的整數(shù)之和為910113010容易斷定與X相鄰的兩個數(shù)分別為9與2，即因為9X25，則X6，依任意三個相鄰格子中所填數(shù)之和都等于5，分別確定出每個格子中所填之?dāng)?shù)如下斷定Y6，Z9所以希望杯第三屆（1992年）初中一年級第2試試題一、選擇題（每題1分，共10分）1若80473521077119823，則080473等于A0521077119823B521077119823C571077119823D0005210771198232若一個數(shù)的立方小于這個數(shù)的相反數(shù)，那么這個數(shù)是A正數(shù)B負數(shù)C奇數(shù)D偶數(shù)3若A0，B0且A|B|，則下列關(guān)系式中正確的是ABAABBBABACBABADABAB4在1992個自然數(shù)1，2，3，1991，1992的每一個數(shù)前面任意添上“”號或“”號，則其代數(shù)和一定是A奇數(shù)B偶數(shù)C負整數(shù)D非負整數(shù)5某同學(xué)求出1991個有理數(shù)的平均數(shù)后，粗心地把這個平均數(shù)和原來的1991個有理數(shù)混在一起，成為1992個有理數(shù)，而忘掉哪個是平均數(shù)了如果這1992個有理數(shù)的平均數(shù)恰為1992則原來的1991個有理數(shù)的平均數(shù)是A19915B1991C1992D199256四個互不相等的正數(shù)A，B，C，D中，A最大,D最小,且,則AD與BC的大小關(guān)系是AADBCBADBCCADBCD不確定的7已知P為偶數(shù),Q為奇數(shù),方程組的解是整數(shù),那么1923XYPQAX是奇數(shù)，Y是偶數(shù)BX是偶數(shù)，Y是奇數(shù)CX是偶數(shù)，Y是偶數(shù)DX是奇數(shù)，Y是奇數(shù)8若XY2，X2Y24，則X1992Y1992的值是A4B19922C21992D419929如果X，Y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的數(shù)，并且3X2Y1，那么代數(shù)式10XY可以取到不同的值A(chǔ)1個B2個C3個D多于3個的10某中學(xué)科技樓窗戶設(shè)計如圖15所示如果每個符號（窗戶形狀）代表一個阿拉伯?dāng)?shù)碼，每橫行三個符號自左至右看成一個三位數(shù)這四層組成四個三位數(shù)，它們是837，571，206，439則按照圖15中所示的規(guī)律寫出1992應(yīng)是圖16中的二、填空題（每題1分，共10分）1A,B,C,D,E,F是六個有理數(shù),關(guān)且則111,23456ABCDEF_FA2若三個連續(xù)偶數(shù)的和等于1992則這三個偶數(shù)中最大的一個與最小的一個的平方差等于_3若X3Y31000，且X2YXY2496，則X3Y34XY22X2Y2XY2Y3_4三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，AB,A的形式,又可表示為0,B,的形BA式,則A1992B1993_5海灘上有一堆核桃第一天猴子吃掉了這堆核桃的個數(shù)的,又扔掉4個到大海中25去,第二天吃掉的核桃數(shù)再加上3個就是第一天所剩核桃數(shù)的,那么這堆核桃至少剩下8_個6已知不等式3XA0的正整數(shù)解恰是1，2，3那么A的取值范圍是_7A，B，C是三個不同的自然數(shù)，兩兩互質(zhì)已知它們?nèi)我鈨蓚€之和都能被第三個整除則A3B3C3_8若A1990，B1991，C1992，則A2B2C2ABBCCA_9將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這個10個自然數(shù)填到圖17中10個格子里，每個格子中只填一個數(shù)，使得田字形的4個格子中所填數(shù)字之和都等于P則P的最大值是_10購買五種教學(xué)用具A1，A2，A3，A4，A5的件數(shù)和用錢總數(shù)列成下表那么，購買每種教具各一件共需_元三、解答題（每題5分，共10分）1將分別寫有數(shù)碼1，2，3，4，5，6，7，8，9的九張正方形卡片排成一排，發(fā)現(xiàn)恰是一個能被11整除的最大的九位數(shù)請你寫出這九張卡片的排列順序，并簡述推理過程2一個自然數(shù)A，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù)B如果A恰是B的3倍，我們稱A是一個“希望數(shù)”1請你舉例說明“希望數(shù)”一定存在2請你證明如果A，B都是“希望數(shù)”，則AB一定是729的倍數(shù)答案與提示一、選擇題1A2B3A4B5C6B7B8C9C10D提示所以將80473512077119823的小數(shù)點向前移三位得0512077119823，即為080473的值，選A2設(shè)該數(shù)為A，由題意A為A的相反數(shù)，且有A3A，A3A0，AA210，因為A210，所以A0,即該數(shù)一定是負數(shù)，選B3已知A0，B0，A|B|在數(shù)軸上直觀表示出來，B到原點的距離大于A到原點的距離，如圖18所示所以BAAB，選A4由于兩個整數(shù)A，B前面任意添加“”號或“”號，其代數(shù)和的奇偶性不變這個性質(zhì)對N個整數(shù)也是正確的因此，1，2，3，1991，1992，的每一個數(shù)前面任意添上“”號或“”號，其代數(shù)和的奇偶性與1234567819911992996的奇偶性相同，是偶數(shù)，所以選B5原來1991個數(shù)的平均數(shù)為M，則這個1991個數(shù)總和為M1991當(dāng)M混入以后，那1992個數(shù)之和為M1991M,其平均數(shù)是1992，M1992，選C6在四個互不相等的正數(shù)A，B，C，D中，A最大，D最小，因此有AB，AC，AD，BD，CD所以ABBC，成立，選B7由方程組以及P為偶數(shù)，Q為奇數(shù)，其解X，Y又是整數(shù)由可知X為偶數(shù)，由可知Y是奇數(shù)，選B8由XY2平方得X22XYY24又已知X2Y24所以X，Y中至少有一個為0，但X2Y24因此，X，Y中只能有一個為0，另一個為2或2無論哪種情況，都有X1992Y1992019922199221992，選C9設(shè)10XYA，又3X2Y1，代入前式得由于X，Y取09的整數(shù)，10XYA的A值取非負整數(shù)由式知，要A為非負整數(shù)，23X必為奇數(shù)，從而X必取奇數(shù)1，3，5，7，9三個奇數(shù)值，Y相應(yīng)地取1，4，7這三個值這時，A10XY可以取到三個不同的值11，34和57，選C二、填空題提示與666，所以最大的一個偶數(shù)與最小的一個偶數(shù)的平方差等于666266226666626666621328453123由于X3Y31000，且X2YXY2496，因此要把X3Y34XY22X2Y2XY2Y3分組、湊項表示為含X3Y3及X2YXY2的形式，以便代入求值，為此有X3Y34XY22X2Y2XY2Y3X3Y32XY22X2YX3Y32X2YXY21000249619924由于三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，下，只能是B1于是A1所以，A1992B199311992119931125設(shè)這堆核桃共X個依題意我們以M表示這堆核桃所剩的數(shù)目（正整數(shù)），即目標(biāo)是求M的最小正整數(shù)值可知，必須20|X即X20，40，60，80，M為正整數(shù)，可見這堆核桃至少剩下6個由于X取整數(shù)解1、2、3，表明X不小于3，即9A12可被第三個整除，應(yīng)有B|ACB2，但B|2，只能是B2于是C1，A3因此A3B3C33323132781368因為A1990，B1991，C1992，所以A2B2C2ABBCCA9將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入這10個格子中，按田字格4個數(shù)之和均等于P，其總和為3P，其中居中2個格子所填之?dāng)?shù)設(shè)為X與Y，則X、Y均被加了兩次，所以這3個田字形所填數(shù)的總和為234567891011XY65XY于是得3P65XY要P最大，必須X，Y最大，由于XY101121所以3P65XY652186所以P取最大整數(shù)值應(yīng)為28事實上，如圖19所示可以填入這10個數(shù)使得P28成立所以P的最大值是2810設(shè)A1，A2，A3，A4，A5的單價分別為X1，X2，X3，X4，X5元則依題意列得關(guān)系式如下2式得X1X2X3X4X52199229841000所以購買每種教具各一件共需1000元三、解答題1解（邏輯推理解）我們知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位數(shù)是987654321但這個數(shù)不是11倍的數(shù)，所以應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，尋求能被11整除的最大的由這九個數(shù)碼組成的九位數(shù)設(shè)奇位數(shù)字之和為X，偶位數(shù)字之和為Y則XY12345678945由被11整除的判別法知XY0，11，22，33或44但XY與XY奇偶性相同，而XY45是奇數(shù)，所以XY也只能取奇數(shù)值11或33于是有但所排九位數(shù)偶位數(shù)字和最小為1234106所以（）的解不合題意，應(yīng)該排除，由此只能取X28，奇位數(shù)字和為25，偶位數(shù)字和為20，所以必須調(diào)整數(shù)字，使奇位和增3，偶位和減3才行。為此調(diào)整最后四位數(shù)碼，排成987652413即為所求解（觀察計算法）987654321被11除余5因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位數(shù)但987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少數(shù)字2，多數(shù)字6于是我們由987654316開始，每次減去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九個數(shù)字組成的九位數(shù)為止其過程是987654316987654305987654294987654283987654272987654261987654250987654239987654228987654217987654206987654195987654184987652435987652424987652413這其間要減去173次11，最后得出一個恰由九個數(shù)碼組成的九位數(shù)987652413，為所求，其最大性是顯見的，這個方法雖然操作173次，但算量不繁，尚屬解決本題的一種可行途徑，有一位參賽學(xué)生用到了此法，所以我們整理出來供大家參考21答由于4285713142857，所以428571是一個“希望數(shù)”說明一個自然數(shù)A，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù)B如果A恰是B的3倍，我們稱A是一個“希望數(shù)”這實際上給出了“希望數(shù)”的定義?？疾靺①悓W(xué)生閱讀理解定義的能力，并能舉例說明被定義的對象存在在一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)中找不到“希望數(shù)”而在四位數(shù)中很容易找到實例如310531035，所以3105是個“希望數(shù)”；或742532475，所以7425是個“希望數(shù)”；或8571423285714，所以857142是個“希望數(shù)”；以下我們再列舉幾個同學(xué)們舉的例子供參考，如37124568312374856437215863145738626923073230769461538315384670521332350718579142328597145947123683198237456374215683124738563411723113724可見37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望數(shù)，事實上用3105是希望數(shù)，可知31053105也是“希望數(shù)”，只要這樣排下去，可以排出無窮多個“希望數(shù)”因此，“希望數(shù)”有無窮多個2由A為“希望數(shù)”，依“希望數(shù)”定義知，存在一個由A的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)P，使得A3P并且A的數(shù)字和等于P的數(shù)字和由A3P和A為3的倍數(shù)因此A被9整除于是A是27的倍數(shù)這樣就證明了，“希望數(shù)”一定能被27整除現(xiàn)已知A，B都是“希望數(shù)”，所以A，B都是27的倍數(shù)即A27N1，B27N2（N1，N2為正整數(shù)）所以AB27N127N22727N1N2729N1N2所以AB一定是729的倍數(shù)希望杯第四屆（1993年）初中一年級第1試試題一、選擇題（每題1分，共15分）1若A是有理數(shù),則一定不是12345MAAA正整數(shù)B負整數(shù)C負分數(shù)D零219931993199319921993的值等于A1995B1991C1995D19933若AB，則AB|AB|等于AAB2BB2A2CA2B2DAB24若N是正整數(shù),并且有理數(shù)A,B滿足A0,則必有1BAAN0BA2N0CA2N0DA2N1021B2N3N21NB5如果有理數(shù)A,B滿足0,則下列說法中不正確的一個是1ABAA與B的和是0BA與B的差是正數(shù)CA與B的積是負數(shù)DA除以B，得到的商是16甲的6張卡片上分別寫有4,1,25,001,3,15,乙的6張卡片上分別寫有345,1,01,0001,8,12,則乙的卡片上的最小數(shù)A與甲的卡片上的最大數(shù)B的比12的值等于A1250B0C01D800AB7A是有理數(shù)，則在下列說法中正確的一個是AA是負數(shù)BA2是正數(shù)C|A2|是負數(shù)DA199320001是正數(shù)8的值等于19193030A3BC1D139在下列條件中，能使ABB成立的是AB0，A0BB0，A0CB0，A0DB0，A010若A,B,C,則A,B,C的大小314214231423關(guān)系是AABCBACBCBCADCBA11有理數(shù)A、B小于零，并且使AB30，則ABA丨B丨DA2B4112M表示A與B的和的平方，N表示A與B的平方的和，則當(dāng)A7，B5時，MN的值為A28B70C42D013有理數(shù),8恰是下列三個方程的根1,25,32Y121Y3Y3,0134XX,則的值為12ZZZYXABCD7403781204514圖22是中國古代著名的“楊輝三角形”的示意圖圖中填入的所有數(shù)的總和等于A126B127C128D12915在自然數(shù)1，2，3，4，5，中，前15個質(zhì)數(shù)之和的負倒數(shù)等于ABCD81937140二、填空題（每題1分，共15分）1若A0，在A與A之間恰有1993個整數(shù)，則A的取值范圍是_2如果相鄰的兩個正整數(shù)的平方差等于999，則這兩個正整數(shù)的積等于_3_3456782454一輛公共汽車由起點站到終點站（這兩站在內(nèi)）共途經(jīng)8個車站。已知前6個車站共上車100人，除終點站外前面各站共下車80人，則從前6站上車而在終點站下車的乘客共有_532222423225242262522_6在多項式1993UMVN3XMYNU3MV2N4XN1Y2M4（其中M，N為正整數(shù)）中，恰有兩項是同類項，則MN_7若A，B，C，D為整數(shù)，A2B2C2D21993，則A2B2C2D2_8方程的根是X_111932X91_9310甲、乙兩個火車站相距189公里，一列快車和一列慢車分別從甲、乙兩個車站同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過15小時，兩車相遇，又相距21公里，若快車比慢車每小時多行12公里，則慢車每小時行_公里11在等式Y(jié)KXB中，當(dāng)X0時，Y2；當(dāng)X3時,Y3,則_2BK12滿足不等式的所有非負整數(shù)的乘積等于_213X13有理數(shù)A,B,C,D使1,則的最大值是_ABCDABCD14ABC是等邊三角形，表示其邊長的代數(shù)式均已在圖23中標(biāo)出,則_27140XY15有人問一位老師他教的班有多少學(xué)生老師說“一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)音樂，七分之一的學(xué)生在念外語，還剩不足六位學(xué)生正在操場踢足球”則這個“特長班”共有學(xué)生_人答案與提示一、選擇題1D2C3D4D5B6A7D8B9C10A11C12A13B14B15A提示若A1，M3排除A，若A1，M3排除B1993199219931119941995，選C3因AB所以AB0，此時|AB|BA所以AB|AB|ABBAABABAB2，選D的是B7當(dāng)A0，顯然A，B，C，均不正確，應(yīng)排除，所以選D事確上，對任意有理數(shù)A，都有A199320，所以A1993200010是正數(shù)9B10，A20，AB2121B，排除A；A0，B0，AB0B，排除B；A0，B0，AB0B排除D，因此選擇C10容易看出A，B，C均為負數(shù)，我們看|A|，11由AB30，得出AB0即ABA，B0，|A|B|，選C12MAB2，NAB2MNAB2AB2A22ABB2AB2A22ABA14第1行只有120，第2行11221，第3行121422，第4行1331823，第5行146411624，第6行151010513225第7行16152015616426圖中填入所有數(shù)之和為1248163264127，選B二、填空題提示1在A與A之間的整數(shù)為2N1個所以由2N11993知，N996，即996A9972相鄰的兩個正整數(shù)設(shè)為N與N1，則由N12N22N1999得N499，N1500相鄰的兩個正整數(shù)的積為4995002495004設(shè)第1站到第7站上車的乘客依次為A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7第2站到第8站下車的乘客依次為B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8顯然應(yīng)有A1A2A3A4A5A6A7B2B3B4B5B6B7B8已知A1A2A3A4A5A6100，B2B3B4B5B6B780表明從前6站上車而在終點站下車的乘客共20人5原式5272921122766若1993UMVN與U3MV2N為同類項只能M0且N0與已知條件不合，所以只能3XMYN與4XN1Y2M4為同類項于是得MN1，N2M4解得M5，N6，所以MN307由于1993是質(zhì)數(shù)，A2B2，C2D2是1993的約數(shù)，只能A2B21，C2D21993，或A2B21993，C2D21，所以A2B2C2D2119931994所有非負整數(shù)解的積014由