誠信應(yīng)考,考試作弊將帶來嚴(yán)重后果華南理工大學(xué)期末考試工科數(shù)學(xué)分析20122013學(xué)年第一學(xué)期期中考試卷注意事項1考前請將密封線內(nèi)填寫清楚；2所有答案請直接答在試卷上或答題紙上；3考試形式開（閉）卷；4本試卷共5個大題，滿分100分，考試時間120分鐘。題號一二三四五總分得分評卷人一、單項選擇題（每小題3分，共15分）請把正確答案寫在括號內(nèi)1下列說法中哪個不能作為的等價定義（C）。LIMNXAA；0,N當(dāng)時有B；,NXAK當(dāng)時有其中為某個正的常數(shù)C；,NX數(shù)列中有無窮多項落在中D。0,數(shù)列中只有有限項落在之外2設(shè)則的所有間斷點及其類型是A。1,0,LNXEFXFA是的無窮間斷點,是的跳躍間斷點；1FFB是的跳躍間斷點,是的可去間斷點；X0XC是的跳躍間斷點；D是的可去間斷點。0FFX3設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義,則在可導(dǎo)的一個充分條件是D。XAFA1LIMHAFFAH存在02LIMHFFAHB存在0LI2HFAFC存在0LIHFFD存在_姓名學(xué)號學(xué)院專業(yè)座位號密封線內(nèi)不答題密封線線4設(shè)在區(qū)間的大小順序0,10,101FXFFF上則或是（B）。AFFBFF1010C1010DF5設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，又，則（B）FXALIMXAFA是的極小值點；B是的極大值點；AFC是曲線的拐點；,FYFXD不是的極值點，也不是曲線的拐點。XF,AFYFX二、填空題（每小題3分，共15分）極限1；2221LIMNNN設(shè)函數(shù)階無窮小；TASI,0,_3FXXFX則時是的設(shè)所確定,則曲線處的切線方程CO1XYYEE由方程0,1YX在為；10X曲線有兩_個拐點；223YX設(shè)，則。EXNXNDYED三、計算題（每小題8分，共32分）求極限。10LIMXXE解02001LNIMLI1LIM23468XXXEE原式分分分分2設(shè)。114,2,3LIMNNNXXX求10,23NNNXXX解由題意可知且即數(shù)列有下界分1112,0,6NNNNXX結(jié)合知道即數(shù)列單調(diào)減少分從而存在LIMNX13,2LI8NNXX在等式兩邊取極限得到分3設(shè)存在且不為零,求,FTFTY其中2DYX2318DTXYFT解分分4設(shè)其中連續(xù),且,0,0,XGEFXGX01,G,12,FFX求討論在上的連續(xù)性20,2XGEGEXF解時分2001,LIM4XXF時分2,XF時連續(xù)5分200,LILI01M7,8XXXXXXGEGEFFF在處分所以在上連續(xù)分四、證明題（每小題10分，共30分）1設(shè)函數(shù)上滿足李普希茲條件,FXAB在是常數(shù)，證明上一致,FXYXYABLL其中,FX在連續(xù)。證明0,3,9,10LXYABXYF分當(dāng)時有分所以在上一致連續(xù)分2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，F(xiàn)X0,10,101F，試證（1）存在，使；（2）對任意實數(shù)，必2F,2F存在，使得。0,1FF證明1,0,10,2FXFFXF令則在上連續(xù)且利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理至少存在，使4分,12F2,60,08,01XXFEFF令分則在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)又分利用ROL定理知道存在使得即分3設(shè)在上二階可導(dǎo)，且滿足條件為非負(fù)FX0,FXAFBA其中和常數(shù)，證明對。,12BFX有證明212,014XFTYLORFFXXF對將和在處作一階展開分分將上兩式相減,得到2221016FFFXFXX分由于,AXB所以2221201,0,FFFFFXXBBAXA分五、應(yīng)用題（共8分）求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的半徑為R解設(shè)圓柱體的高為半徑為則圓柱體的體積為2,H,R22,VRHRH又即