函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性一、目標認知學習目標1理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性定義；2會判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；3會利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；4掌握利用函數(shù)性質(zhì)在解決有關(guān)綜合問題方面的應(yīng)用重點、難點1對于函數(shù)單調(diào)性的理解；2函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用二、知識要點梳理1函數(shù)的單調(diào)性1增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)FX的定義域為A，區(qū)間如果對于M內(nèi)的任意兩個自變量的值X1、X2，當X1X2時，都有FX1FX2，那么就說FX在區(qū)間M上是增函數(shù)；如果對于M內(nèi)的任意兩個自變量的值X1、X2，當X1X2時，都有FX1FX2，那么就說FX在區(qū)間M上是減函數(shù)如果函數(shù)FX在區(qū)間M上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)FX在區(qū)間M上具有單調(diào)性，M稱為函數(shù)FX的單調(diào)區(qū)間要點詮釋1“任意”和“都”；2單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系局部性質(zhì)；3單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；4不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間2已知解析式，如何判斷一個函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性基本方法觀察圖形或依據(jù)定義2函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)若對于定義域內(nèi)的任意一個X，都有FXFX，那么FX稱為偶函數(shù)奇函數(shù)若對于定義域內(nèi)的任意一個X，都有FXFX，那么FX稱為奇函數(shù)要點詮釋1奇偶性是整體性質(zhì)；2X在定義域中，那么X在定義域中嗎具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點對稱的；3FXFX的等價形式為，F(xiàn)XFX的等價形式為；4由定義不難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，則必有F00；5若FX既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有FX0；6，三、規(guī)律方法指導1證明函數(shù)單調(diào)性的步驟1取值設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；2變形作差變形（變形方法因式分解、配方、有理化等）或作商變形；3定號判斷差的正負或商與1的大小關(guān)系；4得出結(jié)論2函數(shù)單調(diào)性的判斷方法1定義法；2圖象法；3對于復合函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間或者上是單調(diào)函數(shù)；若與單調(diào)性相同（同時為增或同時為減），則為增函數(shù)；若與單調(diào)性相反，則為減函數(shù)3常見結(jié)論1若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；2若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減函數(shù)；3若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)4若奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且有最大值，則在是增函數(shù)，且有最小值；若偶函數(shù)在是減函數(shù)，則在是增函數(shù)經(jīng)典例題透析類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明1證明函數(shù)上的單調(diào)性證明在0，上任取X1、X2X1X2，令XX2X10則X10，X20，上式0，YFX2FX10上遞減總結(jié)升華1證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；2如何比較兩個量的大小作差3如何判斷一個式子的符號對差適當變形舉一反三【變式1】用定義證明函數(shù)上是減函數(shù)思路點撥本題考查對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑證明設(shè)X1，X2是區(qū)間上的任意實數(shù)，且X1X2，則0X1X21X1X20，0X1X210X1X21故，即FX1FX20X1X2時有FX1FX2上是減函數(shù)總結(jié)升華可以用同樣的方法證明此函數(shù)在上是增函數(shù)；在今后的學習中經(jīng)常會碰到這個函數(shù)，在此可以嘗試利用函數(shù)的單調(diào)性大致給出函數(shù)的圖象類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；1YX23|X|2；2解1由圖象對稱性，畫出草圖FX在上遞減，在上遞減，在上遞增2圖象為FX在上遞增舉一反三【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1Y|X1|；23解1畫出函數(shù)圖象，函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為1，；2定義域為，其中U2X1為增函數(shù)，在，0與0，為減函數(shù)，則上為減函數(shù)；3定義域為，00，單調(diào)增區(qū)間為，0，單調(diào)減區(qū)間為0，總結(jié)升華1數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；2關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān)3復合函數(shù)的單調(diào)性分析先求函數(shù)的定義域；再將復合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決關(guān)注內(nèi)外層函數(shù)同向變化復合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復合函數(shù)為減函數(shù)類型三、單調(diào)性的應(yīng)用比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值3已知函數(shù)FX在0，上是減函數(shù)，比較FA2A1與的大小解又FX在0，上是減函數(shù)，則4求下列函數(shù)值域1；1X5，10；2X3，22，1；2YX22X3；1X1，1；2X2，2思路點撥1可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；2數(shù)形結(jié)合解12個單位，再上移2個單位得到，如圖1FX在5，10上單增，；2；2畫出草圖1YF1，F(xiàn)1即2，6；2舉一反三【變式1】已知函數(shù)1判斷函數(shù)FX的單調(diào)區(qū)間；2當X1，3時，求函數(shù)FX的值域思路點撥這個函數(shù)直接觀察恐怕不容易看出它的單調(diào)區(qū)間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟悉的形式，第二問即是利用單調(diào)性求函數(shù)值域解1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；2故函數(shù)FX在1，3上單調(diào)遞增X1時FX有最小值，F(xiàn)12X3時FX有最大值X1，3時FX的值域為5已知二次函數(shù)FXX2A1X5在區(qū)間上是增函數(shù)，求1實數(shù)A的取值范圍；2F2的取值范圍解1對稱軸是決定FX單調(diào)性的關(guān)鍵，聯(lián)系圖象可知只需；2F2222A152A11又A2，2A4F22A114117類型四、判斷函數(shù)的奇偶性6判斷下列函數(shù)的奇偶性123FXX24|X|34FX|X3|X3|567思路點撥根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進行判斷解1FX的定義域為，不關(guān)于原點對稱，因此FX為非奇非偶函數(shù)；2X10，F(xiàn)X定義域不關(guān)于原點對稱，F(xiàn)X為非奇非偶函數(shù)；3對任意XR，都有XR，且FXX24|X|3FX，則FXX24|X|3為偶函數(shù)；4XR，F(xiàn)X|X3|X3|X3|X3|FX，F(xiàn)X為奇函數(shù)；5，F(xiàn)X為奇函數(shù)；6XR，F(xiàn)XX|X|XFXX|X|XX|X|XFX，F(xiàn)X為奇函數(shù)；7，F(xiàn)X為奇函數(shù)舉一反三【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性1；2FX|X1|X1|；3FXX2X1；4思路點撥利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷解1；2FX|X1|X1|X1|X1|FXFX為奇函數(shù)；3FXX2X1X2X1FXFX且FXFXFX為非奇非偶函數(shù)；4任取X0則X0，F(xiàn)XX22X1X22X1X22X1FX任取X0，則X0FXX22X1X22X1X22X1FXX0時，F(xiàn)0F0XR時，F(xiàn)XFXFX為奇函數(shù)舉一反三【變式2】已知FX，GX均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證FXGX為奇函數(shù)，F(xiàn)XGX為偶函數(shù)證明設(shè)FXFXGX，GXFXGX則FXFXGXFXGXFXGXFXGXFXGXFXGXFXGXGXFXGX為奇函數(shù)，F(xiàn)XGX為偶函數(shù)類型五、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合7已知FXX5AX3BX8，且F210，求F2解法一F22523A2B8328A2B8408A2B108A2B50F22523A2B88A2B24502426法二令GXFX8易證GX為奇函數(shù)G2G2F28F28F2F2161016268FX是定義在R上的奇函數(shù)，且當X0時，F(xiàn)XX2X，求當X0時，F(xiàn)X的解析式，并畫出函數(shù)圖象解奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，X0時，YX2X即YX2X又F00，如圖9設(shè)定義在3，3上的偶函數(shù)FX在0，3上是單調(diào)遞增，當FA1FA時，求A的取值范圍解FA1FAF|A1|F|A|而|A1|，|A|0，3類型六、綜合問題10定義在R上的奇函數(shù)FX為增函數(shù)，偶函數(shù)GX在區(qū)間的圖象與FX的圖象重合，設(shè)AB0，給出下列不等式，其中成立的是_FBFAGAGB；FBFAGAGB；FAFBGBGA；FAFBGBGA答案11求下列函數(shù)的值域123思路點撥1中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；2由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決；3單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情形，問題得到解決，需注意此時T范圍解1；2經(jīng)觀察知，；3令12已知函數(shù)FXX22AXA211若函數(shù)FX在區(qū)間0，2上是單調(diào)的，求實數(shù)A的取值范圍；2當X1，1時，求函數(shù)FX的最小值GA，并畫出最小值函數(shù)YGA的圖象解1FXXA21A0或A221當A1時，如圖1，GAF1A22A2當1A1時，如圖2，GAFA13當A1時，如圖3，GAF1A22A，如圖13已知函數(shù)FX在定義域0，上為增函數(shù)，F(xiàn)21，且定義域上任意X、Y都滿足FXYFXFY，解不等式FXFX23解令X2，Y2，F(xiàn)22F2F22F42再令X4，Y2，F(xiàn)42F4F2213F83FXFX23可轉(zhuǎn)化為FXX2F814判斷函數(shù)上的單調(diào)性，并證明證明任取0X1X2，0X1X2，X1X20，X1X201當時0X1X21，X1X210FX1FX20即FX1FX2上是減函數(shù)2當X1，X21，時，上是增函數(shù)難點X1X21的符號的確定，如何分段15設(shè)A為實數(shù)，函數(shù)FXX2|XA|1，XR，試討論FX的奇偶性，并求FX的最小值解當A0時，F(xiàn)XX2|X|1，此時函數(shù)為偶函數(shù)；當A0時，F(xiàn)XX2|XA|1，為非奇非偶函數(shù)1當XA時，1且2上單調(diào)遞增，上的最小值為FAA212當XA時，1上單調(diào)遞減，上的最小值為FAA212上的最小值為綜上學習成果測評基礎(chǔ)達標一、選擇題1下面說法正確的選項A函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是函數(shù)的定義域B函數(shù)的多個單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增區(qū)間C具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關(guān)于原點對稱D關(guān)于原點對稱的圖象一定是奇函數(shù)的圖象2在區(qū)間上為增函數(shù)的是ABCD3已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是ABCD4若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是ABCD5如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，那么在區(qū)間上是A增函數(shù)且最小值是B增函數(shù)且最大值是C減函數(shù)且最大值是D減函數(shù)且最小值是6設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，則函數(shù)，在上一定是A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)7下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是ABCD8函數(shù)FX是定義在6，6上的偶函數(shù)，且在6，0上是減函數(shù)，則AF3F40BF3F20CF2F50DF4F10二、填空題1設(shè)奇函數(shù)的定義域為，若當時，的圖象如右圖，則不等式的解是_2函數(shù)的值域是_3已知，則函數(shù)的值域是_4若函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是_5函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且，則當，_三、解答題1判斷一次函數(shù)反比例函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性2已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足下列條件1是奇函數(shù)；2在定義域上單調(diào)遞減；3求的取值范圍3利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域；4已知函數(shù)當時，求函數(shù)的最大值和最小值；求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)能力提升一、選擇題1下列判斷正確的是A函數(shù)是奇函數(shù)B函數(shù)是偶函數(shù)C函數(shù)是非奇非偶函數(shù)D函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是ABCD3函數(shù)的值域為ABCD4已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是ABCD5下列四個命題1函數(shù)在時是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是增函數(shù)；2若函數(shù)與軸沒有交點，則且；3的遞增區(qū)間為；4和表示相等函數(shù)其中正確命題的個數(shù)是ABCD6定義在R上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上為遞增，則ABCD二、填空題1函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_2已知定義在上的奇函數(shù)，當時，那么時，_3若函數(shù)在上是奇函數(shù)，則的解析式為_4奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為8，最小值為1，則_5若函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍為_三、解答題1判斷下列函數(shù)的奇偶性122已知函數(shù)的定義域為，且對任意，都有，且當時，恒成立，證明1函數(shù)是上的減函數(shù)；2函數(shù)是奇函數(shù)3設(shè)函數(shù)與的定義域是且，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，求和的解析式4設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，1討論的奇偶性；2求的最小值綜合探究1已知函數(shù)，則的奇偶性依次為A偶函數(shù)，奇函數(shù)B奇函數(shù)，偶函數(shù)C偶函數(shù)，偶函數(shù)D奇函數(shù)，奇函數(shù)2若是偶函數(shù)，其定義域為，且在上是減函數(shù)，則的大小關(guān)系是ABCD3已知，那么_4若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_5已知函數(shù)的定義域是，且滿足，如果對于，都有，1求；2解不等式6當時，求函數(shù)的最小值7已知在區(qū)間內(nèi)有一最大值，求的值8已知函數(shù)的最大值不大于，又當，求的值答案與解析基礎(chǔ)達標一、選擇題1C2B3B奇次項系數(shù)為4D5A奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，左右兩邊有相同的單調(diào)性6A7A在上遞減，在上遞減，在上遞減8D二、填空題1奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，補足左邊的圖象2是的增函數(shù)，當時，3該函數(shù)為增函數(shù)，自變量最小時，函數(shù)值最??；自變量最大時，函數(shù)值最大45三、解答題1解當，在是增函數(shù)，當，在是減函數(shù)；當，在是減函數(shù)，當，在是增函數(shù)；當，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，當，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)2解，則，3解，顯然是的增函數(shù)，4解對稱軸2對稱軸當或時，在上單調(diào)或能力提升一、選擇題1C選項A中的而有意義，非關(guān)于原點對稱，選項B中的而有意義，非關(guān)于原點對稱，選項D中的函數(shù)僅為偶函數(shù)；2C對稱軸，則，或，得，或3B，是的減函數(shù)，當4A對稱軸5A1反例；2不一定，開口向下也可；3畫出圖象可知，遞增區(qū)間有和；4對應(yīng)法則不同6A二、填空題1畫出圖象2設(shè)，則，3即4在區(qū)間上也為遞增函數(shù)，即5三、解答題1解1定義域為，則，為奇函數(shù)2且既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2證明1設(shè)，則