計(jì)算N階行列式的若干方法舉例N階行列式的計(jì)算方法很多，除非零元素較多時(shí)可利用定義計(jì)算（按照某一列或某一行展開完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計(jì)算，特別要注意觀察所求題目的特點(diǎn)，靈活選用方法，值得注意的是，同一個(gè)行列式，有時(shí)會(huì)有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，并舉例說明。1利用行列式定義直接計(jì)算例1計(jì)算行列式010210NDN解DN中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為121NNNNAA該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)T（N1N21N）等于，故12N12NND2利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例2一個(gè)N階行列式的元素滿足NIJDA,1,2,IJJIAJN則稱DN為反對(duì)稱行列式，證明奇數(shù)階反對(duì)稱行列式為零證明由知，即IJJIAIIA0,12,IN故行列式DN可表示為1213112223233123000NNNNNNAAAA由行列式的性質(zhì)A123123312300NNNAAD123123312300NNNNAAAAD當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，得DNDN，因而得DN03化為三角形行列式若能把一個(gè)行列式經(jīng)過適當(dāng)變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對(duì)角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法。例3計(jì)算N階行列式ABBDBA解這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，N列都加到第1列上，行列式不變，得11ANBBADANBA1BBA00BAANAB1NANB4降階法降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是先利用列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例4計(jì)算N階行列式001001NADA解將DN按第1行展開10000000NNAADAA12NNNAA2NN5遞推公式法遞推公式法對(duì)N階行列式DN找出DN與DN1或DN與DN1,DN2之間的一種關(guān)系稱為遞推公式（其中DN,DN1,DN2等結(jié)構(gòu)相同），再由遞推公式求出DN的方法稱為遞推公式法。例5證明122110000NNNXDXAAA121,2NNNXXAX證明將DN按第1列展開得123210000NNNNXXAAA10101NXAX1NNAXD由此得遞推公式，利用此遞推1NNNDAX公式可得112NNNNNNDAXAXXD21NN1NNNAXAX6利用范德蒙行列式例6計(jì)算行列式122212121211NNNNNNNXXXDXXX解把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第N1行的1倍加到第N行，便得范德蒙行列式1222111121NIJNIJNNNXXDXXX例2計(jì)算階行列式1N12111122222121111NNNNNNNNNNABABABBDABABAB其中1210NA解這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是，NKIIAB0，1，2，N即按降冪排列，按升冪排列，KIAIB且次數(shù)之和都是N，又因，若在第I行0I（1，2，N）提出公因子，則D可化為一個(gè)INI轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即2111222121221111111NNNNNNNNNJIIIJINIJIJIJJINBBAADABBAAABA7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例7計(jì)算N階行列式121212NNNNXAAXDAXA解10NND（箭形行列式）12002,10NIAAXNX第行減第1行1200NJNAAXX1NJAX例3計(jì)算N（N2）階行列式，123111NNADA其中120NA解先將添上一行一列，變成下面的階行列ND1式112101NNAA顯然，將的第一行乘以后加到其余各1ND1N行，得11210NNAA因，將上面這個(gè)行列式第一列加第I（，0IA2）列的倍，得1N1I11221212110000NINNNINNIAAAAAA，故121NNIDAA8數(shù)學(xué)歸納法例8計(jì)算N階行列式1221100NNXDXAA解用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)N2時(shí)2121XDXAA212XA假設(shè)NK時(shí)，有121KKKKDXAXAX則當(dāng)NK1時(shí)，把DK1按第一列展開，得11KXA11KKKXA12X由此，對(duì)任意的正整數(shù)N，有121NNDXAXA9拆開法把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡(jiǎn)化以利計(jì)算。例9計(jì)算行列式ND1212NNAA解ND1212NNAA20NAA20NAA1D121NA121NIA例4計(jì)算N（N2）階行列式11212212NNNNNXYXYD解將按第一列拆成兩個(gè)行列式的和，即N121112122212NNNNNNNXYXYXYXYD再將上式等號(hào)右端的第一個(gè)行列式第I列（，3，N）減去第一列的I倍；第二個(gè)行列2I式提出第一列的公因子，則可得到1Y1212122212211222NNNNNNNNNNXYXYXYDXXYYN當(dāng)N3時(shí)，0ND當(dāng)時(shí)，22121XY上面介紹了計(jì)算N階行列式的常見方法，計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)針對(duì)具體問題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法。學(xué)習(xí)中多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計(jì)算。第1講計(jì)算行列式的若干基本方法計(jì)算行列式并無固定的方法其實(shí)，同一個(gè)行列式可以有多種不同的方法進(jìn)行計(jì)算因此，除了掌握好行列式的基本性質(zhì)外，針對(duì)行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，才能較快地酸楚行列式這一講，我們將介紹一些常用的方法1化為已經(jīng)熟悉的行列式來計(jì)算我們已經(jīng)知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如，0AB的行列式的結(jié)果如果利用行列式的性質(zhì)可把給定的行列式化為以上這些形式，則不難求出所給行列式的值為了敘述簡(jiǎn)便，仍用記號(hào)表示互換行列式的第I行（列）與第JIJIJ行（列）；用表示將行列式第J行（列）的K倍加到第I行（列）；用IKJ表示將第I行（列）乘以非零的數(shù)CCI例1計(jì)算行列式12313795045612D解這是一個(gè)階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計(jì)算23145234223100452131040252131042D43525241310402613104026121例5計(jì)算N階行列式1231231NNAADAAA解這個(gè)行列式每一列的元素，除了主對(duì)角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似，因此N列之和全同將第2，3，N列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是112231223321231112,2,111NNNNNNINNIIIINAAADAAAAA211001NNIIAA例6計(jì)算階行列式2111122221211NNNNNNABABD其中1210NA解這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2，N即按降冪NKIABIA排列，按升冪排列，且次數(shù)之和都是N，又因，若在第I行（1，2，N）提IBI出公因子，則D可化為一個(gè)轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即NIA21112221212111111NNNNNNNJIIJINIJIJJIBBAADABBAAAB2降階法當(dāng)一個(gè)行列式的某一行（列）的元素有比較多0時(shí)，利用行列式的依行（列）展開定理將它化為較低階的行列式來計(jì)算例7計(jì)算N（N2）階行列式1001ADA解按第一行展開，得100000NADAA再將上式等號(hào)右邊的第二個(gè)行列式按第一列展開，則可得到112221NNNNA3拆項(xiàng)法拆項(xiàng)法是將給定的行列式的某一行（列）的元素都寫成同樣多的和，然后利用性質(zhì)6將它表成一些比較容易計(jì)算的行列式的和例8計(jì)算N（N2）階行列式11212212NNNNNXYXYD解將按第一列拆成兩個(gè)行列式的和，即N121112122212NNNNNNNXYXYXYXYD再將上式等號(hào)右端的第一個(gè)行列式第I列（，3，N）減去第一列的I倍；第二個(gè)行列式提出第一列的公因子，則可得到1Y1211212222211222NNNNNNNNNNXXYXYDYXXYN當(dāng)N3時(shí)，0ND當(dāng)時(shí)，22121XY例9計(jì)算N階行列式，（）NAAXDAX0解將第一行的元素都表成兩項(xiàng)的和，使變成兩個(gè)行列式的和，即N0000NXAAXDAAXXAXAAX將等號(hào)右端的第一個(gè)行列式按第一行展開，得100NXAAXDXA這里是一個(gè)與有相同結(jié)構(gòu)的階行列式；將第二個(gè)行列式的第一行加到其余各1NDN1N行，得102NAAAAXXAXAAX于是有11NNNDA（1）另一方面，如果將的第一行元素用另一方式表成兩項(xiàng)之和N00XAA仿上可得11NNNDXXA（2）將（1）式兩邊乘以，（2）式兩邊乘以，然后相減以消去，得XA1ND2NNNXA4加邊法在給定的行列式中添上一行和一列，得加邊行列式，建立新的行列式與原行列式的聯(lián)系，以求得結(jié)果例10計(jì)算N（N2）階行列式，123111NNADA其中120NA解先將添上一行一列，變成下面的階行列式D1N11201NNAA顯然，將的第一行乘以后加到其余各行，得1ND1N1120NNAA因，將上面這個(gè)行列式第一列加第I（，）列的倍，得0IA211I1122121210000NINNNINNIAAAAAA，故121NNIDAA5遞推法遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，將給定的行列式表成若干個(gè)具有相同形狀以及一些容易計(jì)算的，但階數(shù)較低的行列式之和，然后利用這種關(guān)系式計(jì)算原行列式的值，最后再用數(shù)學(xué)歸納法證明所得到的結(jié)果正確這是一種頗常使用的方法，在計(jì)算范德蒙行列式時(shí)已建立過遞推關(guān)系式，本講的例6也利用了遞推關(guān)系式使用遞推法計(jì)算行列式，一般分三個(gè)步驟，首先找出遞推關(guān)系式，然后算出結(jié)果，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)果正確例11計(jì)算N階行列式12211000NNNXDXAA解首先建立遞推關(guān)系式按第一列展開，得1123211100001001NNNNNNXXXDAXAAXXD，這里與有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是的行列式1ND現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計(jì)算結(jié)果對(duì)此，只需反復(fù)進(jìn)行代換，得2211311221NNNNNNNNXAXAXXDX，因，故111DXA11NNAA最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的當(dāng)時(shí)，顯然成立設(shè)對(duì)階的情形結(jié)果正確，往證對(duì)N階的情形也正確由1N12121NNNNNXDXXAAA，可知，對(duì)N階的行列式結(jié)果也成立根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù)N，結(jié)論成立例12證明N階行列式210011200NDN證明按第一列展開，得2101201201200ND其中，等號(hào)右邊的第一個(gè)行列式是與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作NDN；第二個(gè)行列式，若將它按第一列展開就得到一個(gè)也與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為1ND的行列式，記作這樣，就有遞推關(guān)系式22N12NND因?yàn)橐褜⒃辛惺降慕Y(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來證明這個(gè)結(jié)果是正確的當(dāng)時(shí)，結(jié)論正確1N12當(dāng)時(shí)，結(jié)論正確23D設(shè)對(duì)的情形結(jié)論正確，往證時(shí)結(jié)論也正確1KNKN由121NNDN可知，對(duì)N階行列式結(jié)果也成立根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù)N，結(jié)論成立二、行列式計(jì)算方法1定義法2化為三角形行列式的方法3化為范得蒙行列式的方法4拆行列法5降級(jí)法6加邊法7數(shù)學(xué)歸納法8遞推法9因式分解法本章主要內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系重點(diǎn)行列式的計(jì)算難點(diǎn)行列式概念,行列式的展開定理及用定義證明行列式性質(zhì)3化為范得蒙行列式的方法例1計(jì)算行列式NNNNNXXXXD21222211解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式行列式性質(zhì)行列式的概念行列式依行依列展開N級(jí)排列克拉默規(guī)則NNNNNNNNNYXXYXXYP2111122221222211NIJJNIIXXY11易知等于中的系數(shù)的相反數(shù),而中的系數(shù)為NDYP1YP1N,因此,NIJJIKXX1NKNIJJIXX14拆行列法例2計(jì)算行列式XYZD22解2221322213YZXYXZYXZYZXZYXZYXZYDXZ5降級(jí)法例3計(jì)算行列式0000D解易得1NN6加邊法例4計(jì)算行列式NNAAD111132解101101101220,2122NNINNIANINNNAAAAAADI而當(dāng)時(shí)可分只有一個(gè)因子為零或至少有兩個(gè)因子為零可得同021NA樣的結(jié)果9因式分解法如果行列式是某個(gè)變數(shù)的多項(xiàng)式，可對(duì)行列式施行某些變換，求DXXF出的互不相同的一次因式，設(shè)這些一次因式的乘積為，則XFXG，再比較與的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出值CGXFGC三、行列式的計(jì)算方法方法1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例3浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計(jì)算如下行列式的值1231452121NNDN分析顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有N1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第N1列開始乘以1加到第N列，第N2列乘以1加到第N1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。解112,2,1111203011000012200001IINNNRINRNDNNNNN12122N方法2按行（列）展開法（降階法）設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有NIJDA121,2IIINAAAN或,NJJJ其中為中的元素的代數(shù)余子式IJIJ按行（列）展開法可以將一個(gè)N階行列式化為N個(gè)N1階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將N階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例4、計(jì)算20階行列式201318920276198321D分析這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行20201次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無法完成的，更何況是N階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算解11202018,2,0911131892022736111983213420IIICRD182方法3遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)N階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，N1階或N1階與N2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給N階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法。注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。例5、2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式001001ND1,N證明其中（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特點(diǎn)是除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知DN1與DN具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明DN按第1列展開，再將展開后的第二項(xiàng)中N1階行列式按第一行展開有12NNNDD（）這是由DN1和DN2表示DN的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從N階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由N1階和N2階行列式表示N階行列式，因此，可考慮將其變形為11212NNNNNDD（）或（）現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有231142211NNNNNNNDDDD（）（）（）（）同樣有231142212NNNNNNND（）（）（）（）因此當(dāng)時(shí)由（1）（2）式可解得，證畢。1N方法4數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）例6、證明2COS10002COSSIN1SIN002COS1ND方法5利用范德蒙行列式范德蒙行列式123211123NIJJINNNNXXX例7、計(jì)算N階行列式111222111NNNNAAAD122211NNNNAAAD解顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第N行依次與第N1行，N2行，,2行，1行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第N行與第N1行，N2行，,2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第N行與第N1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過（N1）（N2）21N（N1）/2次行對(duì)換后，得到1222211111NNNNNAAAD上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得NMNEABEBA1122NNJINJINDAIJJ5消去法求三對(duì)角線型行列式的值例6求N階三對(duì)角線型行列式的值（1）的構(gòu)造是主對(duì)角線元全為2，主對(duì)角線上方第一條次對(duì)角線與下方第一條次對(duì)角線的元全為1，其余的元全為0。解用消去法，把中主對(duì)角線下方第一條次對(duì)角線的元1全部消成0首先從第二行減去第一行的倍，于是第二行變?yōu)槠浯螐牡谌袦p去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，則第三行變?yōu)樵購(gòu)牡谒男袦p去第三行的倍，則第四行變?yōu)轭愃频刈鱿氯?，直到第N行減去第N1行的倍，則第N行變?yōu)樽詈笏玫男辛惺綖椋?）上面的行列式是三角型行列式，它的主對(duì)角線元順次為93）又主對(duì)角線下方的元全為0。故的值等于（3）中各數(shù)的連乘積，即。注3一般的三對(duì)角線型行列式（4）也可以按上述消去法把次對(duì)角線元全部消去，得到一個(gè)三角型行列式，它的值等于該三角型行列式的主對(duì)角線元的連乘積。4數(shù)學(xué)歸結(jié)法例5計(jì)算行列式解猜測(cè)證明（1）N1,2,3時(shí)，命題成立。假設(shè)NK1時(shí)命題成立,考察NK的情形故命題對(duì)一切自然數(shù)N成立?！疚谰渥印孔呃鄣臅r(shí)候，我就到升國(guó)旗哪里的一角臺(tái)階坐下，雙手撫膝，再閉眼，讓心靈受到陽(yáng)光的洗滌。懶洋洋的幸福。頂3收藏2【唯美句子】一個(gè)人踮著腳尖，在窄窄的跑道白線上走，走到很遠(yuǎn)的地方又走回來。陽(yáng)光很好，溫暖，柔和。漫天的安靜。頂7收藏7【唯美句子】清風(fēng)飄然，秋水緩淌。一絲云起，一片葉落，剔透生命的空靈。輕輕用手觸摸，就點(diǎn)碎了河面的臉。落葉舞步婀娜不肯去，是眷戀，是裝點(diǎn)瞬間回眸，點(diǎn)亮了生命精彩。頂11收藏9【唯美句子】幾只從南方歸來的燕子，輕盈的飛來飛去，“幾處早鶯爭(zhēng)暖樹，誰家新燕啄春泥，”其樂融融的山林氣息，與世無爭(zhēng)的世外桃源，讓人心曠神怡。頂0收藏2【唯美句子】流年清淺，歲月輪轉(zhuǎn)，或許是冬天太過漫長(zhǎng)，當(dāng)一夜春風(fēng)吹開萬里柳時(shí)，心情也似乎開朗了許多，在一個(gè)風(fēng)輕云淡的早晨，踏著初春的陽(yáng)光，漫步在碧柳垂青的小河邊，看小河的流水因?yàn)榻忾_了冰凍而歡快的流淌，清澈見底的的河水，可以數(shù)得清河底的鵝軟石，偶爾掠過水面的水鳥，讓小河蕩起一層層的漣漪。河岸換上綠色的新裝，剛剛睡醒的各種各樣的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，這兒一叢，那兒一簇，好像是交頭接耳的議論著些什么，又好象是在偷偷地說著悄悄話。頂3收藏4【唯美句子】喜歡海子寫的面朝大海春暖花開，不僅僅是因?yàn)槲蚁矚g看海，還喜歡詩(shī)人筆下的意境，每當(dāng)夜深人靜時(shí)，放一曲純音樂，品一盞茶，在腦海中搜尋詩(shī)中的恬淡閑適。在春暖花開時(shí)，身著一身素衣，站在清風(fēng)拂柳，蝶舞翩躚的百花叢中，輕吹一葉豎笛，放眼碧波萬里，海鷗，沙灘，還有揚(yáng)帆在落日下的古船，在心曠神怡中，做一簾紅塵的幽夢(mèng)。頂0收藏2【唯美句子】繁華如三千東流水，你只在乎閑云野鶴般的采菊東籬、身心自由，置身置靈魂于曠野，高聲吟唱著屬于自己的歌，悠悠然永遠(yuǎn)地成為一個(gè)真真正正的淡泊名利、鄙棄功名利祿的隱者。頂1收藏3【唯美句子】世俗名利和青山綠水之間，你選擇了淡泊明志，持竿垂釣碧泉綠潭；權(quán)力富貴和草舍茅廬之間，你選擇了寧?kù)o致遠(yuǎn)，曉夢(mèng)翩躚姹紫嫣紅。頂2收藏3【唯美句子】那是一株清香的無名花，我看到了它在春風(fēng)夏雨中風(fēng)姿綽約的模樣，可突如其來的秋雨，無情的打落了它美麗的花瓣，看著它在空谷中獨(dú)自凋零，我莫名其妙的心痛，像針椎一樣的痛。秋雨，你為何如此殘忍，為何不懂得憐香惜玉，我伸出顫抖的雙手，將散落在泥土里的花瓣捧在手心。頂4收藏5【唯美句子】滴答滴答，疏疏落落的秋雨，趕著時(shí)間的腳步，嘩啦啦的下起來。聽著雨水輕輕地敲擊著微薄的玻璃窗，不知不覺，我像是被催眠了一樣，漸漸的進(jìn)入了夢(mèng)鄉(xiāng)。頂3收藏5【唯美句子】在這極致的悲傷里，我看到了世間最美的愛，可誰又能明白，此刻的我是悲傷還是歡喜，也許只有那撥動(dòng)我心弦的秋季，才知道潛藏在我心中的眼淚。頂4收藏3【唯美句子】看著此情此景，我細(xì)細(xì)地聆聽。像是聽到了落葉的呢喃，秋風(fēng)的柔軟，在這極短的瞬間，他們一起訴說著最美的愛戀，演繹著永恒的癡纏。當(dāng)落葉安詳?shù)奶稍诖蟮兀冻鲂腋５哪?，你看，它多像一個(gè)進(jìn)入夢(mèng)鄉(xiāng)的孩子。突然發(fā)現(xiàn)，秋風(fēng)并非是想象中的劊子手，原來它只是在葉子生命的最后一刻，讓它體會(huì)到愛的纏綿，飛翔的滋味。頂1收藏1【唯美句子】很感謝那些耐心回答我的人，公交上那個(gè)姐姐，還有那位大叔，我不知道他們是不是本地人，但我們遇到的一個(gè)交警協(xié)管，一位頭發(fā)花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人說的上海人很排外。事實(shí)上，什么都不是絕對(duì)的。頂2收藏0【唯美句子】我嗅到濃郁的香