1習題課1（實數(shù)與極限，供參考、選用）一、概念題1假設(shè)數(shù)列na無上界，求證存在子列jna，使得當j時，jna單調(diào)增加趨向于正無窮大解：na無上界，所以存在1:11Man；令2,2max12naM，則由于na無上界，故存在22Man按此方法得到na的一個子列jna，滿足,2max11jaMajjnjn顯然jna單調(diào)增加趨向于正無窮大.2.若非空有界集合A沒有最大值，則在A中存在一個無窮點列nx，使得Axnnsuplim證明：設(shè)Absup1b不是A的上界，所以存在Ax1，使得bxb11令21,min12xb，則2b不是A的上界，所以存在Ax2，使得bxb22即220xb由此得到22|bx再令21,min223xb，則3b不是A的上界，所以存在Ax3，使得bxb33即330xb由此得到33|bx以此類推，可以得到A中一個無窮點列nx，以及趨向于零的一個數(shù)列n，使得),2,1(|nbxnn于是Abxnnsuplim3若數(shù)列na中既無最小值，也無最大值，問na是否收斂，請證明你的結(jié)論。答案：發(fā)散證明：（）若數(shù)列na無界，則發(fā)散（）若數(shù)列na有界，令supnaM，infnam.顯然mM由上題，在na中存在兩個子列nx和ny，分別收斂于na的上確界M和下確界m于是數(shù)列na存在兩個子列收斂于不同的極限，從而發(fā)散二、夾逼定理和單調(diào)收斂定理)1111(lim222nnnnn2提示：nnnnnnnnn222221111設(shè),baCf，0)(xf，|)(maxbxaxfM求證Mxxfnbann1)d)(lim證明：若0)(xf，則結(jié)論顯然成立因此不妨設(shè))(xf不恒等于零假設(shè)Mf)(，并且不妨設(shè)ba此時有nnMn1)2(nnnnxxf1)d)(11nbanxxf1)d)(nnbanabMxM11)()d(（其中11|)(minnxnxfMn）當n時，MMn，1)2(1nn，1)(1nab于是由夾逼定理得到Mxxfnbann1)d)(lim用單調(diào)收斂定理說明)2141211exp(limnn存在，)131211exp(limnn不存在4.設(shè)數(shù)列na滿足10na，并且41)1(1nnaa),2,1(n.求證21limnna。提示：利用單調(diào)收斂定理證明na收斂：na有界是顯然的；當10x時有不等式41)1(xx，所以41)1(0nnaa。于是由題設(shè)推出)1(41)1(1nnnnaaaa.由此得到1nnaa.從而na單調(diào)增加.由單調(diào)收斂定理推出存在nnaAlim。在不等式41)1(1nnaa左端取極限得到41)1(AA，進一步推出得到41)1(AA，21A三、綜合題設(shè)有函數(shù))(xf如果滿足)(f，則稱是函數(shù))(xf的一個不動點求)(xf的不動點（如果存在）的一個簡單方法是適當?shù)厝∫粋€初始點0x，構(gòu)造迭代點列),2,1()(1nxfxnn如果點列nx收斂于，那么在一定條件下就是)(xf的不動點假設(shè)是)(xf的一個不動點)(xf在點的某個鄰域中存在連續(xù)的導數(shù))(xf，1|)(|f求證：如果在的附近取一個初始點0x，則迭代點列),2,1()(1nxfxnn收3斂于提示：1|)(|f并且)(xf連續(xù)，推出在點的某個鄰域中恒有qxf|)(|（其中q是某個小于1的正數(shù)）|)(|)()(|111nnnnnxqxtffxfx假設(shè))(xf在),0有界，處處可導求證存在一個單調(diào)增加并且趨向于正無窮的點列nx，使得0)(nxf提示：在區(qū)間2,21nn上應用拉格朗日中值定理設(shè)數(shù)列na有界，滿足0)2(lim2nnnaa求證0limnna解：反證若0limnna不成立，則存在正數(shù)00，以及na的一個子列jna滿足0|jna不妨設(shè)),2,1(0jajn另一方面，根據(jù)0)2(lim2nnnaa與極限保號性推出：p存在自然數(shù)N，當Nn時，2|2|02nnaa，于是對于充分大的j，有0022322|jjnnaa于是得到一個子列2jna，滿足0223|jna同樣的方法又得到子列4jna，滿足0425|jna最后推出na無界興趣題：（選自R.柯朗H.羅賓：什么是數(shù)學）設(shè)A和B是平面上的兩個互不相交的區(qū)域（平面區(qū)域指由連續(xù)的簡單閉曲線圍成的部分），用連續(xù)函數(shù)的介值定理解釋：存在直線l，將區(qū)域A分成面積相等的兩個區(qū)域；存在直線l，將區(qū)域A和B同時分成面積相等的兩個區(qū)域；存在兩條相互垂直的直線1l和2l，將區(qū)域A分成面積相等的四個區(qū)域。構(gòu)造函數(shù))(xf分別滿足下列條件：)(xf僅在一個點連續(xù)；)(xf在所有無理點連續(xù)，在所有有理點間斷；在所有整數(shù)點連續(xù)，在其