唐山師范學(xué)院本科畢業(yè)論文題目多項式最大公因式最優(yōu)求法的探討學(xué)生陳靜莎指導(dǎo)教師孫秀娟講師年級2009級專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系別數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2013年4月鄭重聲明本人的畢業(yè)論文（設(shè)計）是在指導(dǎo)教師孫秀娟的指導(dǎo)下獨立撰寫完成的如有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責(zé)任，并愿意通過網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督特此鄭重聲明畢業(yè)論文（設(shè)計）作者（簽名）年月日目錄標(biāo)題多項式最大公因式最優(yōu)求法的探討1中文摘要1引言11基本概念12最大公因式的求法521輾轉(zhuǎn)相除法522因式分解法723多項式組合法824等效變換法1025矩陣初等變換法133優(yōu)劣性比較194結(jié)束語22參考文獻23致謝24外文頁25多項式最大公因式最優(yōu)求法的探討陳靜莎摘要本文介紹了多項式最大公因式的幾種常規(guī)求法，如輾轉(zhuǎn)相除法、因式分解法、多項式組合法、矩陣初等變換法、等效變換法等，對這些方法進行了詳細(xì)的證明，由這些方法得出了求最大公因式的一些性質(zhì)，通過討論，文章淺析了某些具體多項式應(yīng)采取的簡便的求最大公因式的求法此外，本文通過具體實例對最大公因式的各種求法的優(yōu)劣性進行了比較，進而探討出某些具體多項式最大公因式最優(yōu)的求法關(guān)鍵詞最大公因式輾轉(zhuǎn)相除法因式分解法組合法初等變換前言多項式理論不僅是中學(xué)代數(shù)的主要內(nèi)容之一，也是高等代數(shù)的的重要組成部分，它在數(shù)學(xué)的理論與應(yīng)用中都有十分重要的意義，而求最大公因式在多項式理論研究中又占有顯著地位一元多項式最大公因式的解法，在各種高等教材中已經(jīng)做了許多基本方法的介紹，但在我們的實際應(yīng)用中，這些基本方法存在運算過程復(fù)雜，計算量大等缺點所以，探討求最大公因式快速、準(zhǔn)確、簡便的方法就尤為重要多項式的最大公因式作為多項式理論中的核心部分，是一個一直受到人們關(guān)注的古老而又始終充滿活力的研究內(nèi)容多項式的最大公因式的常規(guī)求法有輾轉(zhuǎn)相除法、因式分解法和組合法，前人對這些求法及其簡單應(yīng)用都做了較深入的研究而初等變換求法作為計算最大公因式的一種簡便方法，克服了傳統(tǒng)的輾轉(zhuǎn)相除法及因式分解法帶來的繁冗性和復(fù)雜性初等變換在幾何和矩陣?yán)碚摰难芯恐杏袕V泛的應(yīng)用，因此討論其性質(zhì)及其應(yīng)用具有重要意義1、基本概念設(shè)是一個數(shù)域，為數(shù)域上的一元多項式環(huán)，有如下定義和定理PXP定義1設(shè)、是中的兩個多項式，如果滿足是、的公因式，F(xiàn)GDXFGX且、的公因式都是的因式，則稱多項式是、的一個最大公因式FXGDXF定理1對于中的任意兩個多項式、，在中存在最大公因式，且PFXGPXDX可表成、的一個組合，即存在多項式、滿足DXFXUVDXUFVX證明（1）假設(shè)、有一個為零，不妨設(shè)，則可知是一個最大公因式，顯FXG0GXFX然存在多項式，滿足1UV1FF（2）假設(shè)、全不為零，利用帶余除法FX用除，得到商，余式，此時若，可得，即G1QX1RX10RXGXF是一個最大公因式，可求得多項式，滿足式；XUVQ若，就用除，余式，若，可得，即是一個10R1RXG2RX21RX1RX最大公因式，可求得多項式，滿足式；1VQ若，就用除，得到商，余式，RX2RX13X3RX以此類推，所得余式的次數(shù)不斷降低，即12GR但的次數(shù)有限，因此在輾轉(zhuǎn)相除有限次后，必有一余式為零，GX于是可得1FXGQXR2221IIISRXQXR21SSSSRR10SSXQX由（1）可知是、的一個最大公因式SRXFG下證存在多項式、滿足式，UV事實上，變形上面倒數(shù)第二式有，同理可解得21SSSSRXRXQ、將解得余式代入上面的運算式，并逐個消去，即可得定理1的式1SRX2S證畢2、主要方法及證明由定義1可知，若、是、的兩個最大公因式，則必有，1DX2FXG12DX，而又由整除的性質(zhì)可得，其中是非零常數(shù)由此有兩個不全為2DX21DCC零的多項式的所有最大公因式均只相差一個非零常數(shù)倍，那么，根據(jù)此性質(zhì)，首項系數(shù)為1的那個最大公因式是唯一確定的，且記為FXG，現(xiàn)約定下文所提及的最大公因式均指首項系數(shù)為1的那個最大公因式21輾轉(zhuǎn)相除法由定理1的證明可以很容易得到求最大公因式的一種有效方法輾轉(zhuǎn)相除法例1在有理數(shù)域上，求多項式、的最大公因式，其中表達式分別為FXG，43221FX4323X事實上，多項式的最大公因式只相差一個非零常數(shù)倍，因此在計算過程中可以適當(dāng)?shù)挠媚骋怀?shù)乘以多項式的各項系數(shù)，從而化簡計算量且不改變最大公因式的值，因此利用輾轉(zhuǎn)相除法解用除得商，余式，GXF12QX321450RXX再用除得商，余式，1R2521再用除得商，余式，2X13X30RX由此可得是、的一個最大公因式，2RFG即1FXGX，例2多項式、同上面的例1，求多項式、使其滿足定理1的式FUXV解利用例1的計算過程擴大某一多項式的倍數(shù)，此時可計算出多項式、使其滿足UXV定理1的式，且可得如下等式2FXGX，1QR2XRX其中，同例1，131RX2由有且代入1FXGQXR得12FQXR即2X又知，將上式化簡可知滿足的項式2FG，DXUFVXG、分別為，UXV25UXQX121VQ但是，將、代入進行檢驗得VFGX21XFGXD所以，此時計算的多項式、并不滿足定理1的式UVX事實上，在計算過程中若不擴大某一多項式的倍數(shù)，經(jīng)過計算有32245FXGX3281X由，可得211582XXFG化簡可知滿足的多項式、為DUFVGUXV，2X1X分析若用例1計算過程所得商和余式求多項式、，那么所得結(jié)果將錯誤，這是因XV為在例1的求解過程中，為了簡便運算而將多項式擴大了某一常數(shù)倍，因此應(yīng)按照輾轉(zhuǎn)相除法的一般步驟進行求解現(xiàn)考慮個多項式的最大公因式N,21XFFXN定理2中的任意個多項式有P,21XFN，其中2,2121FXFFXFNNN分析容易推出，是多項式的一個最大公因式，那么與多0D,21XFN0DX項式的最大公因式也是多項式的最大公因式這樣，由于兩個多項式NFXXF的最大公因式總是存在的，所以個多項式的最大公因式也總是存在的，并且可以累次應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相N除法來求出證明在此不再贅述注意與兩個多項式的情形一樣，個多項式的最大公因式也只有非零常數(shù)因子的差別我們N約定，個不全為零的多項式的最大公因式指的是最高次項系數(shù)是1的那一個那么個多項式NN的最大公因式就是唯一確定的,21XFFXN有計算過程可見，當(dāng)求三個以上多項式的最大公因式時，運用輾轉(zhuǎn)相除法計算相當(dāng)繁冗并容易出錯；除此之外，若又要求將表示成的形式時，此時，在輾轉(zhuǎn)相除法的DXUFXVG過程中不能用一個非零的常數(shù)去乘以除式或被除式，這就使得計算更加困難22因式分解法在高等教材中已明確提出，利用多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以很快的得到它們的最大公因式又因為多項式的最大公因式不會隨著數(shù)域擴大而發(fā)生改變，所以盡管多項式在不同的數(shù)域上標(biāo)準(zhǔn)分解式不盡相同，但這不影響多項式的求解因此只考慮在中，以兩個多項式、為例，PXFXG設(shè)、的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為FXG21XPXAPSMM21XPXBGSNN其中、分別是、的首項系數(shù)，是兩兩不等的首項系數(shù)為BF1S1的不可約多項式，是非負(fù)整數(shù)，則1S1NS12,RKKKFXGPXPX這里MIN,IIK因式分解法可推廣到個多項式的情形，其方法與兩個多項式的情形相同，這里就不再贅述例3設(shè)，用因式3215FXX2215FX323410FXX分解法求多項式，的最大公因式2F3解將，進行因式分解，可得在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為1FXX2151F23X23FX故可得123,5XF例4設(shè)，3215FXX322915FXX，用因式分解法求多項式，的最大公因式34FXF2F3FX解將，進行因式分解，可得在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為1F2FX3F2151X2F23XX故可得123,5FF例5設(shè)，為兩個非零多項式，證明存在自然數(shù)，使任意的大于的兩個自FXGNN然數(shù)，都有1N212,NNFXG證明設(shè)，若，則結(jié)論顯然成立FXD1若，則令DX由例3、例4可知，對于因式分解法的前提是，必須求出多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式事實上，并不是所有的多項式都能進行簡單的因式分解，就算可以因式分解其過程也是相當(dāng)復(fù)雜，而一般沒有一個切實可行的方法對多項式進行因式分解因此，求最大公因式一般不用此種方法，它提供的方法主要是用于理論證明，不用于求解具體的多項式的最大公因式，更不用說求出滿足定理的多項式、UXV23多項式組合法先給出定理1的三個簡單推論推論1定理1的逆命題對任意的多項式、，不一定是多UXVUXFVGX項式、的最大公因式此命題為假命題FXG例如多項式，可知、互素，此時對任意的，F(xiàn)X1GXFXGUX，顯然不是、的最大公因式1VXUV推論2多項式為、的最大公因式，則DXFXDXUFVXG推論3對任意的多項式、的任一個組合是UXVFXGUXFVGX、的最大公因式的倍式FXG由上兩個結(jié)論知、的最大公因式一定是、的組合式FXGFX由此可得定理3在輾轉(zhuǎn)相除法運算式中，都是、的最大公因式1,23IRSFXG的倍式DX證明利用輾轉(zhuǎn)相除法計算最大公因式可得如下運算1FXGQXR2221IIIRXQXR21SSSSRR10SSXQX即得SRD將上式運算變形得，它是、的組合11XFGXFXG則是的倍式R將代入運算式得1RX2211XQXRFXQX12G由等式可知是的倍式2RXD以此類推都是、的最大公因式的倍,3,ISFXDX式證完例6在有理數(shù)域上，求多項式，21MXXF的最大公因式3211MXXG解根據(jù)題意計算，可得出FG1FXG由推論3可知是最大公因式的倍式，而1又在有理數(shù)域上的因式只有一種可能，即常數(shù)，F(xiàn)XGC所以所求的最大公因式為DX例7在有理數(shù)域上，求多項式、的最大公因式，其中FGX1615413219876542430376FXXXX5207543GX解由題意可得2126FXG其中余式為由113R艾森斯坦判別法知是有理數(shù)域上不可約多項式，26X則的因式只能是或者是常數(shù)，用試著去除可知不整除1RX1212XGX12GX所以、的最大公因式應(yīng)該是常數(shù)，F(xiàn)G即為DX由以上兩個例子可見在輾轉(zhuǎn)相除計算過程中若發(fā)現(xiàn)有一個余式能較快的因式分解，就可以用此分解式中的不可約因式除、而得到最大公因式，并且當(dāng)、的次數(shù)很高時用FXGFXG此方法較為方便若是求個多項式，的最大公因式時，有如下定理N1F2FXN定理4設(shè)中的多項式，在輾轉(zhuǎn)相除法所得運算式中，PX1FX2FNFX都是，的最大公因式的倍式IRX,2,1SDX此命題直接為定理3的推廣，不再贅述證明過程由以上討論結(jié)果可知，當(dāng)求個多項式的最大公因式時，這種方法相比于輾轉(zhuǎn)相除法兩兩求最N大公因式的運算量已經(jīng)大大減少，但是這種方法只適用于余式能較快因式分解的情形，故此法具有一定的局限性；而且當(dāng)2時，求多項式、滿足定理1的式，此方法卻不適用UXV24等效變換法定義2設(shè)，NNAXAXF10NNBXBXG10稱矩陣為、的矩陣，記作則NBA10F,FM與等效，從而、的最大公因NBAAXGFMA10,01TKFXG式，這就是等效法求解最大公因式，該方法雖然克服了輾轉(zhuǎn)相除TTTKF,法的來回計算在求解有了很大的進步，雖然該方法也可以推廣到求個一元多項式的最大公DXN因式，但是美中不足的是，它沒有求解出滿足成立的21XDUFUFXFN,21,IXUI任給一個矩陣，則顯然存在多項式、，使1NAFG,AMFG定義3設(shè)，若，則稱與等,MFG1,BFG1,XFXAB效，記作AB定理5若矩陣經(jīng)過三種初等變換變成，則與等效,F1,BFG證明若變換的兩行得到，則，顯然，所B,MF,XGXF以與等效AB若的第一行乘以加到第二行得，則，由最大公因式的性質(zhì)KKFG，所以與等效,FXGMFXGXAB若的第一行乘以非零數(shù)得，則，又AKMKFX，所以與等效,FXKFX定理6若，其中，NBAGFM10,0210BABN0N則與等效AB證明由條件，則NNAXAXF10NNXXG10，所以因為，則與互素，故1BXGNN,BFNAFX，即與等效,FXGFXGAB例8已知，求4321X321GXX,FXG分析此題只求和的最大公因式，并沒有要求求解出滿足F,F的、,FXGDXUVXUXV解1341,0AMFG1341020312010所以,1DXFGX25矩陣初等變換法基本概念本文以表示數(shù)域上的一元多項式環(huán)PX定義7以中的一元多項式為元素的矩陣稱為多項式矩陣設(shè)PX的個一元多項式，規(guī)定符號表示這個,21XFXFNN,21XFFXN一元多項式的最高系數(shù)為1的最大公因式，則有以下性質(zhì)DX性質(zhì)12,1IJNJIFXFXFFXFIJN性質(zhì)12,1,0INFXFXFFCXINCP性質(zhì)12,IJNJNFXFXFFFCXFIJN多項式矩陣的初等變換多項式矩陣的初等變換矩陣的某一行（列）乘以非零常數(shù)矩陣的某一行加另一行的倍，其中是一個多項式XX多項式矩陣的性質(zhì)性質(zhì)每個可逆的多項式矩陣都可以表示成一些多項式式初等矩陣的乘積；性質(zhì)對一個多項式矩陣施行初等變換，不改變每個列向量的多項式的最大公因式；性質(zhì)設(shè)為多項式矩陣，則存在可逆的多項式矩陣，使得為階梯型矩陣APA綜上可得交換兩個多項式的位置，不改變其最大公因式；將某一多項式乘以一個不為零的常數(shù)，不改變最大公因式；將某一項的倍，加到另一個多項式上，不改變其最大公因式，對C0比代數(shù)理論的矩陣的初等變換，上述性質(zhì)恰好都滿足主要定理及證明定理7設(shè)，其中，F(xiàn)XAG12PP0FXG且可逆，若,12IJPXPIJP1122,0DXPXAE其中是首項系數(shù)為1的多項式，則有，且，DX,FG1UXP，使成立12VPUXFVGX證明對于，存在，使得0F,UVPX,UXVGXFXD令，其中分別為1PXU12PXV21GXPABD2FXPABD,AB的首項系數(shù)，則有,FGPAE,11211222PXFXGPX0UFVUVGXFABD1122DXPX所以，且，使,FG1UPX12VPX成立DXUVX定理8是任意個多項式，12,NFF，1FXXXUDX若經(jīng)過矩陣的適當(dāng)初等變換，可以變換為12NNFAEFXA其中是階單位矩陣10NDUXBMNE證明若時，則，已有的形式120NFXFFX0DXAB不全為零時，則必有一個次數(shù)最低的多項式，不妨設(shè)為，對12,NF1FX分別乘以一個適當(dāng)?shù)亩囗検剑サ拿總€最高項，這時矩陣的第一列變?yōu)閄2,NFXF，其中12,NFRX12,3IIIFXQR當(dāng)時，其中02,3II1DCFXCP不全為零時，繼續(xù)重復(fù)因為次數(shù)都是有限的，23,NRXRX12,NFXFX所以經(jīng)過有限次后，必然能夠出現(xiàn)矩陣B中第一列只有一個元素，其他元素全為零，0K此時即有，其中DXCKCF上述過程用矩陣的初等變換表示為11222NNFXRXRPAMAMA行初等變換行初等變換110KQXZXA行初等變換10NKDXUXM行初等變換定理9定理8中滿,12,IUXN足12NFXUFXFXUDX證明設(shè)，由于對矩陣的初等變換相當(dāng)于在它左邊乘上對應(yīng)12C的初等矩陣，所以，存在可逆矩陣，使得P且于是，比較對應(yīng)位置的元,PEB12NUXUX0DXPC素得到12NFXFXFXDX最大公因式的矩陣初等變換法將矩陣，經(jīng)過初等行變換化為矩陣12NNFXAMEF，則是的最大公因式，且10NDXUXBMD12,NFXFX12NFXUFXFXU應(yīng)用舉例例9求和的最大公因式，其中FGD，4321FXX321XX分析此題只求和的最大公因式，并沒有要求求解出滿足F的、，而是對于兩個多項式來說的，因為我們可以用多種DXUFVXGUXV方法進行求解，在此，運用矩陣的初等變換法進行求解解124323240101PXAXX1232123201PXX212213XX2122XX122314PX212323447XX21223106XX12323434XX所以DX例10設(shè)，43243FXX3246GXX求32HXX,FGXH解14314230601624A141420230103661232010021000所以，,1FXGHX例11，432143322543FXX，求，并求出、使得3236FXX1,FX1U23UX123123,FFUFX分析此題求解的是，并且還要求解滿足3,XF的、，此時若用123123,FXFXFXFUX12UX3輾轉(zhuǎn)相除法、因式分解法、多項式組合法、等效變換法、矩陣斜消變換法就非常的困難了，所以最佳的選擇就是矩陣的初等變換法解432431056XXA133246101534PXX32123176102453XXX12243119104PXX23217365247PXXX2123109461XX1322812750PX71213222617751XXXXX1532226110757XXX1222101757XXX，且有，使得123,FXFX12UX2X32XU成立13FFF對于求解此類多項式我們最佳方法就是矩陣初等變換法，它就是利用矩陣的初等變換，一步一步求解，而且同時求解出滿足的最大公因式系數(shù)123123,FXFXFUXFXFUX三、優(yōu)劣性比較由上文我們已經(jīng)總結(jié)出5種求多項式的最大公因式的有效方法，當(dāng)多項式個數(shù)、次數(shù)不同時，各個方法中均有其使用條件限制或者使用范圍，現(xiàn)以一下兩方面為例進行探討，如下表所示方法簡便求最大公因式的條件DX限制或使用范圍能否求解出，1UX滿足MFXFDX輾轉(zhuǎn)相除法多項式次數(shù)較低，并且多項式的個數(shù)不超過三個能，但是其求解過程不能用一非零數(shù)乘以除數(shù)或者被除數(shù)因式分解法要求題中所給多項式在數(shù)域上均能分解，利用因式分解法必須求出多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式否多項式組合法有一個余式能較快的因式分解，就可以用此分解式中的不可約因式除、而得到最FXG大公因式，并且當(dāng)、F的次數(shù)很高時用此方法較GX為方便多項式表達式較為特殊，個數(shù)少，最后所得組合簡便否矩陣的斜消變換法將多項式的系數(shù)寫成對應(yīng)矩陣的形式，且系數(shù)較簡便計算否矩陣的初等變換法表示成多項式矩陣或者對應(yīng)系數(shù)矩陣的形式均可能，但是要求表示成矩陣的形式進行初等變MFXE換通過上述表格兩方面的簡單比較可以探討出每一種方法均有其優(yōu)缺點，現(xiàn)將探討所得簡單結(jié)果列表如下方法優(yōu)點缺點輾轉(zhuǎn)相除法適合于所有形式的多項式，具體的可操作性比較強，在任何數(shù)域上都具有固定的格式求解，求解步驟也固定，并且能直接求得多項式，1UXMX計算過程比較繁瑣，當(dāng)所求多項式個數(shù)較多、次數(shù)較高時，計算量相當(dāng)?shù)拇?，書寫過程繁冗很容易出錯，尤其是在，1UX，的求解過程中不能MUX用一非零數(shù)乘以除數(shù)或者被除數(shù)因式分解法形象直觀，看上去整齊，運用的原理比較簡單，且容易看懂要求題中所給多項式在數(shù)域上均能分解，利用因式分解法必須求出多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，所以此方法只適用于能夠因式分解的多項式，對其他的多項式時失效，另外，此方法也不能直接求出，1UXMX多項式組合法不用將輾轉(zhuǎn)相除法進行到底，若有一個余式能較快的因式分解，就可以用此分解式中的不可約因式除、而得FXG到最大公因式，并且當(dāng)、F的次數(shù)很不是很高時用此GX方法較為方便，運算量大大減少當(dāng)多項式不是特殊形式，并且次數(shù)很高時，或者余式都不能分解時，此方法就不能快速求解出最大公因式，而且此法也不能直接求出，1UXMX等效變換法此方法不論多項式次數(shù)高與低都適合，計算過程也簡便，不容易出錯對于多項式的系數(shù)特別大的計算式就不簡便了，此方法的局限性是一般只適合求解兩個多項式的最大公因式，而且此方法也不能直接求出，1UXMUX矩陣的初等變換法結(jié)合多項式最大公因式的定義與矩陣的運算性質(zhì)，不但可以求多個多項式的最大公因式、計算過程簡單，而且可以直接利用初等變換求得，1UXMUX在多項式矩陣的運算過程中，也容易出現(xiàn)計算錯誤若寫成對應(yīng)系數(shù)矩陣的形式時，不能直接求得，1UXMX通過上述表格所對比的結(jié)果我們可知在求解多項式最大公因式時，應(yīng)根據(jù)實例中多項式的具體表達式、多項式個數(shù)的多少、多項式次數(shù)的高低以及多項式系數(shù)的大小來靈活選擇不同的方法來求解，用適合多項式本身特點的求解法，以達到簡化計算量且提高準(zhǔn)確率的目的四、結(jié)束語本文通過對多項式最大公因式最優(yōu)求法的探討，經(jīng)過對比，得出簡單結(jié)果，可知對于不同的多個多項式在求解其最大公因式時有不同的解法，需要我們具體問題具體分析，運用最適合的方法求解簡化計算量、提高準(zhǔn)確率在平時只有訓(xùn)練掌握各種解法，才能在具體求解時選擇最優(yōu)解法最后需要指明的是，到目前為止多項式最大公因式的求法已有很多，但針對不同多項式時采取何種算法求解卻還沒有一般的可行的方法，如何求特殊多項式的最大公因式及其理論證明還有待于進一步研究、豐富和完善參考文獻1張禾瑞，郝炳新高等代數(shù)（第四版）M高等教育出版社，1999，38802北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等代數(shù)（第三版）M高等教育出版社，2003，12293邱森，高等代數(shù)M武漢大學(xué)出版社，2008，4354684沈文選，矩陣初等應(yīng)用M湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1996，711065劉國琪，多項式的最大公因式的一種新求法J工科數(shù)學(xué)，1997，（02）6劉國琪利用矩陣的初等行變換對矩陣的特征值與特征向量的同步求解數(shù)學(xué)通報，21996，P40427楊剛，最大公因式的矩陣求法J甘肅科學(xué)學(xué)報，2003，（03）8郁金祥基于矩陣斜消變換的最大公因式求解J數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2005119郁金祥一個求最大公因式的方法J嘉興學(xué)院學(xué)報，2001，310張慶，王朝霞求兩個多項式的最大公因式的新方法11錢吉林高等代數(shù)題解精粹M北京中央民族大學(xué)出版社200212王恩平，王朝珠多項式與多項式矩陣北京國防工業(yè)出版社，199213北京大學(xué)數(shù)學(xué)系高等代數(shù)第三版M北京高等教育出版社，20031218北京大學(xué)教學(xué)系高等代數(shù)第兒版北京高等教育出版社14北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等代數(shù)M第2版，北京高等教育出版社，1988121815北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等代數(shù)M北京高等教育出版