唐山師范學(xué)院本科畢業(yè)論文題目多項(xiàng)式最大公因式最優(yōu)求法的探討學(xué)生陳靜莎指導(dǎo)教師孫秀娟講師年級(jí)2009級(jí)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系別數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2013年4月鄭重聲明本人的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是在指導(dǎo)教師孫秀娟的指導(dǎo)下獨(dú)立撰寫完成的如有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責(zé)任，并愿意通過(guò)網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督特此鄭重聲明畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）作者（簽名）年月日目錄標(biāo)題多項(xiàng)式最大公因式最優(yōu)求法的探討1中文摘要1引言11基本概念12最大公因式的求法521輾轉(zhuǎn)相除法522因式分解法723多項(xiàng)式組合法824等效變換法1025矩陣初等變換法133優(yōu)劣性比較194結(jié)束語(yǔ)22參考文獻(xiàn)23致謝24外文頁(yè)25多項(xiàng)式最大公因式最優(yōu)求法的探討陳靜莎摘要本文介紹了多項(xiàng)式最大公因式的幾種常規(guī)求法，如輾轉(zhuǎn)相除法、因式分解法、多項(xiàng)式組合法、矩陣初等變換法、等效變換法等，對(duì)這些方法進(jìn)行了詳細(xì)的證明，由這些方法得出了求最大公因式的一些性質(zhì)，通過(guò)討論，文章淺析了某些具體多項(xiàng)式應(yīng)采取的簡(jiǎn)便的求最大公因式的求法此外，本文通過(guò)具體實(shí)例對(duì)最大公因式的各種求法的優(yōu)劣性進(jìn)行了比較，進(jìn)而探討出某些具體多項(xiàng)式最大公因式最優(yōu)的求法關(guān)鍵詞最大公因式輾轉(zhuǎn)相除法因式分解法組合法初等變換前言多項(xiàng)式理論不僅是中學(xué)代數(shù)的主要內(nèi)容之一，也是高等代數(shù)的的重要組成部分，它在數(shù)學(xué)的理論與應(yīng)用中都有十分重要的意義，而求最大公因式在多項(xiàng)式理論研究中又占有顯著地位一元多項(xiàng)式最大公因式的解法，在各種高等教材中已經(jīng)做了許多基本方法的介紹，但在我們的實(shí)際應(yīng)用中，這些基本方法存在運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算量大等缺點(diǎn)所以，探討求最大公因式快速、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)便的方法就尤為重要多項(xiàng)式的最大公因式作為多項(xiàng)式理論中的核心部分，是一個(gè)一直受到人們關(guān)注的古老而又始終充滿活力的研究?jī)?nèi)容多項(xiàng)式的最大公因式的常規(guī)求法有輾轉(zhuǎn)相除法、因式分解法和組合法，前人對(duì)這些求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用都做了較深入的研究而初等變換求法作為計(jì)算最大公因式的一種簡(jiǎn)便方法，克服了傳統(tǒng)的輾轉(zhuǎn)相除法及因式分解法帶來(lái)的繁冗性和復(fù)雜性初等變換在幾何和矩陣?yán)碚摰难芯恐杏袕V泛的應(yīng)用，因此討論其性質(zhì)及其應(yīng)用具有重要意義1、基本概念設(shè)是一個(gè)數(shù)域，為數(shù)域上的一元多項(xiàng)式環(huán)，有如下定義和定理PXP定義1設(shè)、是中的兩個(gè)多項(xiàng)式，如果滿足是、的公因式，F(xiàn)GDXFGX且、的公因式都是的因式，則稱多項(xiàng)式是、的一個(gè)最大公因式FXGDXF定理1對(duì)于中的任意兩個(gè)多項(xiàng)式、，在中存在最大公因式，且PFXGPXDX可表成、的一個(gè)組合，即存在多項(xiàng)式、滿足DXFXUVDXUFVX證明（1）假設(shè)、有一個(gè)為零，不妨設(shè)，則可知是一個(gè)最大公因式，顯FXG0GXFX然存在多項(xiàng)式，滿足1UV1FF（2）假設(shè)、全不為零，利用帶余除法FX用除，得到商，余式，此時(shí)若，可得，即G1QX1RX10RXGXF是一個(gè)最大公因式，可求得多項(xiàng)式，滿足式；XUVQ若，就用除，余式，若，可得，即是一個(gè)10R1RXG2RX21RX1RX最大公因式，可求得多項(xiàng)式，滿足式；1VQ若，就用除，得到商，余式，RX2RX13X3RX以此類推，所得余式的次數(shù)不斷降低，即12GR但的次數(shù)有限，因此在輾轉(zhuǎn)相除有限次后，必有一余式為零，GX于是可得1FXGQXR2221IIISRXQXR21SSSSRR10SSXQX由（1）可知是、的一個(gè)最大公因式SRXFG下證存在多項(xiàng)式、滿足式，UV事實(shí)上，變形上面倒數(shù)第二式有，同理可解得21SSSSRXRXQ、將解得余式代入上面的運(yùn)算式，并逐個(gè)消去，即可得定理1的式1SRX2S證畢2、主要方法及證明由定義1可知，若、是、的兩個(gè)最大公因式，則必有，1DX2FXG12DX，而又由整除的性質(zhì)可得，其中是非零常數(shù)由此有兩個(gè)不全為2DX21DCC零的多項(xiàng)式的所有最大公因式均只相差一個(gè)非零常數(shù)倍，那么，根據(jù)此性質(zhì)，首項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)最大公因式是唯一確定的，且記為FXG，現(xiàn)約定下文所提及的最大公因式均指首項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)最大公因式21輾轉(zhuǎn)相除法由定理1的證明可以很容易得到求最大公因式的一種有效方法輾轉(zhuǎn)相除法例1在有理數(shù)域上，求多項(xiàng)式、的最大公因式，其中表達(dá)式分別為FXG，43221FX4323X事實(shí)上，多項(xiàng)式的最大公因式只相差一個(gè)非零常數(shù)倍，因此在計(jì)算過(guò)程中可以適當(dāng)?shù)挠媚骋怀?shù)乘以多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)，從而化簡(jiǎn)計(jì)算量且不改變最大公因式的值，因此利用輾轉(zhuǎn)相除法解用除得商，余式，GXF12QX321450RXX再用除得商，余式，1R2521再用除得商，余式，2X13X30RX由此可得是、的一個(gè)最大公因式，2RFG即1FXGX，例2多項(xiàng)式、同上面的例1，求多項(xiàng)式、使其滿足定理1的式FUXV解利用例1的計(jì)算過(guò)程擴(kuò)大某一多項(xiàng)式的倍數(shù)，此時(shí)可計(jì)算出多項(xiàng)式、使其滿足UXV定理1的式，且可得如下等式2FXGX，1QR2XRX其中，同例1，131RX2由有且代入1FXGQXR得12FQXR即2X又知，將上式化簡(jiǎn)可知滿足的項(xiàng)式2FG，DXUFVXG、分別為，UXV25UXQX121VQ但是，將、代入進(jìn)行檢驗(yàn)得VFGX21XFGXD所以，此時(shí)計(jì)算的多項(xiàng)式、并不滿足定理1的式UVX事實(shí)上，在計(jì)算過(guò)程中若不擴(kuò)大某一多項(xiàng)式的倍數(shù)，經(jīng)過(guò)計(jì)算有32245FXGX3281X由，可得211582XXFG化簡(jiǎn)可知滿足的多項(xiàng)式、為DUFVGUXV，2X1X分析若用例1計(jì)算過(guò)程所得商和余式求多項(xiàng)式、，那么所得結(jié)果將錯(cuò)誤，這是因XV為在例1的求解過(guò)程中，為了簡(jiǎn)便運(yùn)算而將多項(xiàng)式擴(kuò)大了某一常數(shù)倍，因此應(yīng)按照輾轉(zhuǎn)相除法的一般步驟進(jìn)行求解現(xiàn)考慮個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式N,21XFFXN定理2中的任意個(gè)多項(xiàng)式有P,21XFN，其中2,2121FXFFXFNNN分析容易推出，是多項(xiàng)式的一個(gè)最大公因式，那么與多0D,21XFN0DX項(xiàng)式的最大公因式也是多項(xiàng)式的最大公因式這樣，由于兩個(gè)多項(xiàng)式NFXXF的最大公因式總是存在的，所以個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式也總是存在的，并且可以累次應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相N除法來(lái)求出證明在此不再贅述注意與兩個(gè)多項(xiàng)式的情形一樣，個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式也只有非零常數(shù)因子的差別我們N約定，個(gè)不全為零的多項(xiàng)式的最大公因式指的是最高次項(xiàng)系數(shù)是1的那一個(gè)那么個(gè)多項(xiàng)式NN的最大公因式就是唯一確定的,21XFFXN有計(jì)算過(guò)程可見(jiàn)，當(dāng)求三個(gè)以上多項(xiàng)式的最大公因式時(shí)，運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算相當(dāng)繁冗并容易出錯(cuò)；除此之外，若又要求將表示成的形式時(shí)，此時(shí)，在輾轉(zhuǎn)相除法的DXUFXVG過(guò)程中不能用一個(gè)非零的常數(shù)去乘以除式或被除式，這就使得計(jì)算更加困難22因式分解法在高等教材中已明確提出，利用多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以很快的得到它們的最大公因式又因?yàn)槎囗?xiàng)式的最大公因式不會(huì)隨著數(shù)域擴(kuò)大而發(fā)生改變，所以盡管多項(xiàng)式在不同的數(shù)域上標(biāo)準(zhǔn)分解式不盡相同，但這不影響多項(xiàng)式的求解因此只考慮在中，以兩個(gè)多項(xiàng)式、為例，PXFXG設(shè)、的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為FXG21XPXAPSMM21XPXBGSNN其中、分別是、的首項(xiàng)系數(shù)，是兩兩不等的首項(xiàng)系數(shù)為BF1S1的不可約多項(xiàng)式，是非負(fù)整數(shù)，則1S1NS12,RKKKFXGPXPX這里MIN,IIK因式分解法可推廣到個(gè)多項(xiàng)式的情形，其方法與兩個(gè)多項(xiàng)式的情形相同，這里就不再贅述例3設(shè)，用因式3215FXX2215FX323410FXX分解法求多項(xiàng)式，的最大公因式2F3解將，進(jìn)行因式分解，可得在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為1FXX2151F23X23FX故可得123,5XF例4設(shè)，3215FXX322915FXX，用因式分解法求多項(xiàng)式，的最大公因式34FXF2F3FX解將，進(jìn)行因式分解，可得在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為1F2FX3F2151X2F23XX故可得123,5FF例5設(shè)，為兩個(gè)非零多項(xiàng)式，證明存在自然數(shù)，使任意的大于的兩個(gè)自FXGNN然數(shù)，都有1N212,NNFXG證明設(shè)，若，則結(jié)論顯然成立FXD1若，則令DX由例3、例4可知，對(duì)于因式分解法的前提是，必須求出多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式事實(shí)上，并不是所有的多項(xiàng)式都能進(jìn)行簡(jiǎn)單的因式分解，就算可以因式分解其過(guò)程也是相當(dāng)復(fù)雜，而一般沒(méi)有一個(gè)切實(shí)可行的方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解因此，求最大公因式一般不用此種方法，它提供的方法主要是用于理論證明，不用于求解具體的多項(xiàng)式的最大公因式，更不用說(shuō)求出滿足定理的多項(xiàng)式、UXV23多項(xiàng)式組合法先給出定理1的三個(gè)簡(jiǎn)單推論推論1定理1的逆命題對(duì)任意的多項(xiàng)式、，不一定是多UXVUXFVGX項(xiàng)式、的最大公因式此命題為假命題FXG例如多項(xiàng)式，可知、互素，此時(shí)對(duì)任意的，F(xiàn)X1GXFXGUX，顯然不是、的最大公因式1VXUV推論2多項(xiàng)式為、的最大公因式，則DXFXDXUFVXG推論3對(duì)任意的多項(xiàng)式、的任一個(gè)組合是UXVFXGUXFVGX、的最大公因式的倍式FXG由上兩個(gè)結(jié)論知、的最大公因式一定是、的組合式FXGFX由此可得定理3在輾轉(zhuǎn)相除法運(yùn)算式中，都是、的最大公因式1,23IRSFXG的倍式DX證明利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算最大公因式可得如下運(yùn)算1FXGQXR2221IIIRXQXR21SSSSRR10SSXQX即得SRD將上式運(yùn)算變形得，它是、的組合11XFGXFXG則是的倍式R將代入運(yùn)算式得1RX2211XQXRFXQX12G由等式可知是的倍式2RXD以此類推都是、的最大公因式的倍,3,ISFXDX式證完例6在有理數(shù)域上，求多項(xiàng)式，21MXXF的最大公因式3211MXXG解根據(jù)題意計(jì)算，可得出FG1FXG由推論3可知是最大公因式的倍式，而1又在有理數(shù)域上的因式只有一種可能，即常數(shù)，F(xiàn)XGC所以所求的最大公因式為DX例7在有理數(shù)域上，求多項(xiàng)式、的最大公因式，其中FGX1615413219876542430376FXXXX5207543GX解由題意可得2126FXG其中余式為由113R艾森斯坦判別法知是有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式，26X則的因式只能是或者是常數(shù)，用試著去除可知不整除1RX1212XGX12GX所以、的最大公因式應(yīng)該是常數(shù)，F(xiàn)G即為DX由以上兩個(gè)例子可見(jiàn)在輾轉(zhuǎn)相除計(jì)算過(guò)程中若發(fā)現(xiàn)有一個(gè)余式能較快的因式分解，就可以用此分解式中的不可約因式除、而得到最大公因式，并且當(dāng)、的次數(shù)很高時(shí)用FXGFXG此方法較為方便若是求個(gè)多項(xiàng)式，的最大公因式時(shí)，有如下定理N1F2FXN定理4設(shè)中的多項(xiàng)式，在輾轉(zhuǎn)相除法所得運(yùn)算式中，PX1FX2FNFX都是，的最大公因式的倍式IRX,2,1SDX此命題直接為定理3的推廣，不再贅述證明過(guò)程由以上討論結(jié)果可知，當(dāng)求個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式時(shí)，這種方法相比于輾轉(zhuǎn)相除法兩兩求最N大公因式的運(yùn)算量已經(jīng)大大減少，但是這種方法只適用于余式能較快因式分解的情形，故此法具有一定的局限性；而且當(dāng)2時(shí)，求多項(xiàng)式、滿足定理1的式，此方法卻不適用UXV24等效變換法定義2設(shè)，NNAXAXF10NNBXBXG10稱矩陣為、的矩陣，記作則NBA10F,FM與等效，從而、的最大公因NBAAXGFMA10,01TKFXG式，這就是等效法求解最大公因式，該方法雖然克服了輾轉(zhuǎn)相除TTTKF,法的來(lái)回計(jì)算在求解有了很大的進(jìn)步，雖然該方法也可以推廣到求個(gè)一元多項(xiàng)式的最大公DXN因式，但是美中不足的是，它沒(méi)有求解出滿足成立的21XDUFUFXFN,21,IXUI任給一個(gè)矩陣，則顯然存在多項(xiàng)式、，使1NAFG,AMFG定義3設(shè)，若，則稱與等,MFG1,BFG1,XFXAB效，記作AB定理5若矩陣經(jīng)過(guò)三種初等變換變成，則與等效,F1,BFG證明若變換的兩行得到，則，顯然，所B,MF,XGXF以與等效AB若的第一行乘以加到第二行得，則，由最大公因式的性質(zhì)KKFG，所以與等效,FXGMFXGXAB若的第一行乘以非零數(shù)得，則，又AKMKFX，所以與等效,FXKFX定理6若，其中，NBAGFM10,0210BABN0N則與等效AB證明由條件，則NNAXAXF10NNXXG10，所以因?yàn)?，則與互素，故1BXGNN,BFNAFX，即與等效,FXGFXGAB例8已知，求4321X321GXX,FXG分析此題只求和的最大公因式，并沒(méi)有要求求解出滿足F,F的、,FXGDXUVXUXV解1341,0AMFG1341020312010所以,1DXFGX25矩陣初等變換法基本概念本文以表示數(shù)域上的一元多項(xiàng)式環(huán)PX定義7以中的一元多項(xiàng)式為元素的矩陣稱為多項(xiàng)式矩陣設(shè)PX的個(gè)一元多項(xiàng)式，規(guī)定符號(hào)表示這個(gè),21XFXFNN,21XFFXN一元多項(xiàng)式的最高系數(shù)為1的最大公因式，則有以下性質(zhì)DX性質(zhì)12,1IJNJIFXFXFFXFIJN性質(zhì)12,1,0INFXFXFFCXINCP性質(zhì)12,IJNJNFXFXFFFCXFIJN多項(xiàng)式矩陣的初等變換多項(xiàng)式矩陣的初等變換矩陣的某一行（列）乘以非零常數(shù)矩陣的某一行加另一行的倍，其中是一個(gè)多項(xiàng)式XX多項(xiàng)式矩陣的性質(zhì)性質(zhì)每個(gè)可逆的多項(xiàng)式矩陣都可以表示成一些多項(xiàng)式式初等矩陣的乘積；性質(zhì)對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式矩陣施行初等變換，不改變每個(gè)列向量的多項(xiàng)式的最大公因式；性質(zhì)設(shè)為多項(xiàng)式矩陣，則存在可逆的多項(xiàng)式矩陣，使得為階梯型矩陣APA綜上可得交換兩個(gè)多項(xiàng)式的位置，不改變其最大公因式；將某一多項(xiàng)式乘以一個(gè)不為零的常數(shù)，不改變最大公因式；將某一項(xiàng)的倍，加到另一個(gè)多項(xiàng)式上，不改變其最大公因式，對(duì)C0比代數(shù)理論的矩陣的初等變換，上述性質(zhì)恰好都滿足主要定理及證明定理7設(shè)，其中，F(xiàn)XAG12PP0FXG且可逆，若,12IJPXPIJP1122,0DXPXAE其中是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則有，且，DX,FG1UXP，使成立12VPUXFVGX證明對(duì)于，存在，使得0F,UVPX,UXVGXFXD令，其中分別為1PXU12PXV21GXPABD2FXPABD,AB的首項(xiàng)系數(shù)，則有,FGPAE,11211222PXFXGPX0UFVUVGXFABD1122DXPX所以，且，使,FG1UPX12VPX成立DXUVX定理8是任意個(gè)多項(xiàng)式，12,NFF，1FXXXUDX若經(jīng)過(guò)矩陣的適當(dāng)初等變換，可以變換為12NNFAEFXA其中是階單位矩陣10NDUXBMNE證明若時(shí)，則，已有的形式120NFXFFX0DXAB不全為零時(shí)，則必有一個(gè)次數(shù)最低的多項(xiàng)式，不妨設(shè)為，對(duì)12,NF1FX分別乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式，消去的每個(gè)最高項(xiàng)，這時(shí)矩陣的第一列變?yōu)閄2,NFXF，其中12,NFRX12,3IIIFXQR當(dāng)時(shí)，其中02,3II1DCFXCP不全為零時(shí)，繼續(xù)重復(fù)因?yàn)榇螖?shù)都是有限的，23,NRXRX12,NFXFX所以經(jīng)過(guò)有限次后，必然能夠出現(xiàn)矩陣B中第一列只有一個(gè)元素，其他元素全為零，0K此時(shí)即有，其中DXCKCF上述過(guò)程用矩陣的初等變換表示為11222NNFXRXRPAMAMA行初等變換行初等變換110KQXZXA行初等變換10NKDXUXM行初等變換定理9定理8中滿,12,IUXN足12NFXUFXFXUDX證明設(shè)，由于對(duì)矩陣的初等變換相當(dāng)于在它左邊乘上對(duì)應(yīng)12C的初等矩陣，所以，存在可逆矩陣，使得P且于是，比較對(duì)應(yīng)位置的元,PEB12NUXUX0DXPC素得到12NFXFXFXDX最大公因式的矩陣初等變換法將矩陣，經(jīng)過(guò)初等行變換化為矩陣12NNFXAMEF，則是的最大公因式，且10NDXUXBMD12,NFXFX12NFXUFXFXU應(yīng)用舉例例9求和的最大公因式，其中FGD，4321FXX321XX分析此題只求和的最大公因式，并沒(méi)有要求求解出滿足F的、，而是對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)的，因?yàn)槲覀兛梢杂枚喾NDXUFVXGUXV方法進(jìn)行求解，在此，運(yùn)用矩陣的初等變換法進(jìn)行求解解124323240101PXAXX1232123201PXX212213XX2122XX122314PX212323447XX21223106XX12323434XX所以DX例10設(shè)，43243FXX3246GXX求32HXX,FGXH解14314230601624A141420230103661232010021000所以，,1FXGHX例11，432143322543FXX，求，并求出、使得3236FXX1,FX1U23UX123123,FFUFX分析此題求解的是，并且還要求解滿足3,XF的、，此時(shí)若用123123,FXFXFXFUX12UX3輾轉(zhuǎn)相除法、因式分解法、多項(xiàng)式組合法、等效變換法、矩陣斜消變換法就非常的困難了，所以最佳的選擇就是矩陣的初等變換法解432431056XXA133246101534PXX32123176102453XXX12243119104PXX23217365247PXXX2123109461XX1322812750PX71213222617751XXXXX1532226110757XXX1222101757XXX，且有，使得123,FXFX12UX2X32XU成立13FFF對(duì)于求解此類多項(xiàng)式我們最佳方法就是矩陣初等變換法，它就是利用矩陣的初等變換，一步一步求解，而且同時(shí)求解出滿足的最大公因式系數(shù)123123,FXFXFUXFXFUX三、優(yōu)劣性比較由上文我們已經(jīng)總結(jié)出5種求多項(xiàng)式的最大公因式的有效方法，當(dāng)多項(xiàng)式個(gè)數(shù)、次數(shù)不同時(shí)，各個(gè)方法中均有其使用條件限制或者使用范圍，現(xiàn)以一下兩方面為例進(jìn)行探討，如下表所示方法簡(jiǎn)便求最大公因式的條件DX限制或使用范圍能否求解出，1UX滿足MFXFDX輾轉(zhuǎn)相除法多項(xiàng)式次數(shù)較低，并且多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)不超過(guò)三個(gè)能，但是其求解過(guò)程不能用一非零數(shù)乘以除數(shù)或者被除數(shù)因式分解法要求題中所給多項(xiàng)式在數(shù)域上均能分解，利用因式分解法必須求出多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式否多項(xiàng)式組合法有一個(gè)余式能較快的因式分解，就可以用此分解式中的不可約因式除、而得到最FXG大公因式，并且當(dāng)、F的次數(shù)很高時(shí)用此方法較GX為方便多項(xiàng)式表達(dá)式較為特殊，個(gè)數(shù)少，最后所得組合簡(jiǎn)便否矩陣的斜消變換法將多項(xiàng)式的系數(shù)寫成對(duì)應(yīng)矩陣的形式，且系數(shù)較簡(jiǎn)便計(jì)算否矩陣的初等變換法表示成多項(xiàng)式矩陣或者對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣的形式均可能，但是要求表示成矩陣的形式進(jìn)行初等變MFXE換通過(guò)上述表格兩方面的簡(jiǎn)單比較可以探討出每一種方法均有其優(yōu)缺點(diǎn)，現(xiàn)將探討所得簡(jiǎn)單結(jié)果列表如下方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)輾轉(zhuǎn)相除法適合于所有形式的多項(xiàng)式，具體的可操作性比較強(qiáng)，在任何數(shù)域上都具有固定的格式求解，求解步驟也固定，并且能直接求得多項(xiàng)式，1UXMX計(jì)算過(guò)程比較繁瑣，當(dāng)所求多項(xiàng)式個(gè)數(shù)較多、次數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量相當(dāng)?shù)拇?，書寫過(guò)程繁冗很容易出錯(cuò)，尤其是在，1UX，的求解過(guò)程中不能MUX用一非零數(shù)乘以除數(shù)或者被除數(shù)因式分解法形象直觀，看上去整齊，運(yùn)用的原理比較簡(jiǎn)單，且容易看懂要求題中所給多項(xiàng)式在數(shù)域上均能分解，利用因式分解法必須求出多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，所以此方法只適用于能夠因式分解的多項(xiàng)式，對(duì)其他的多項(xiàng)式時(shí)失效，另外，此方法也不能直接求出，1UXMX多項(xiàng)式組合法不用將輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行到底，若有一個(gè)余式能較快的因式分解，就可以用此分解式中的不可約因式除、而得FXG到最大公因式，并且當(dāng)、F的次數(shù)很不是很高時(shí)用此GX方法較為方便，運(yùn)算量大大減少當(dāng)多項(xiàng)式不是特殊形式，并且次數(shù)很高時(shí)，或者余式都不能分解時(shí)，此方法就不能快速求解出最大公因式，而且此法也不能直接求出，1UXMX等效變換法此方法不論多項(xiàng)式次數(shù)高與低都適合，計(jì)算過(guò)程也簡(jiǎn)便，不容易出錯(cuò)對(duì)于多項(xiàng)式的系數(shù)特別大的計(jì)算式就不簡(jiǎn)便了，此方法的局限性是一般只適合求解兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式，而且此方法也不能直接求出，1UXMUX矩陣的初等變換法結(jié)合多項(xiàng)式最大公因式的定義與矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，不但可以求多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式、計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，而且可以直接利用初等變換求得，1UXMUX在多項(xiàng)式矩陣的運(yùn)算過(guò)程中，也容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤若寫成對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣的形式時(shí)，不能直接求得，1UXMX通過(guò)上述表格所對(duì)比的結(jié)果我們可知在求解多項(xiàng)式最大公因式時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)例中多項(xiàng)式的具體表達(dá)式、多項(xiàng)式個(gè)數(shù)的多少、多項(xiàng)式次數(shù)的高低以及多項(xiàng)式系數(shù)的大小來(lái)靈活選擇不同的方法來(lái)求解，用適合多項(xiàng)式本身特點(diǎn)的求解法，以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算量且提高準(zhǔn)確率的目的四、結(jié)束語(yǔ)本文通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式最大公因式最優(yōu)求法的探討，經(jīng)過(guò)對(duì)比，得出簡(jiǎn)單結(jié)果，可知對(duì)于不同的多個(gè)多項(xiàng)式在求解其最大公因式時(shí)有不同的解法，需要我們具體問(wèn)題具體分析，運(yùn)用最適合的方法求解簡(jiǎn)化計(jì)算量、提高準(zhǔn)確率在平時(shí)只有訓(xùn)練掌握各種解法，才能在具體求解時(shí)選擇最優(yōu)解法最后需要指明的是，到目前為止多項(xiàng)式最大公因式的求法已有很多，但針對(duì)不同多項(xiàng)式時(shí)采取何種算法求解卻還沒(méi)有一般的可行的方法，如何求特殊多項(xiàng)式的最大公因式及其理論證明還有待于進(jìn)一步研究、豐富和完善參考文獻(xiàn)1張禾瑞，郝炳新高等代數(shù)（第四版）M高等教育出版社，1999，38802北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等代數(shù)（第三版）M高等教育出版社，2003，12293邱森，高等代數(shù)M武漢大學(xué)出版社，2008，4354684沈文選，矩陣初等應(yīng)用M湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1996，711065劉國(guó)琪，多項(xiàng)式的最大公因式的一種新求法J工科數(shù)學(xué)，1997，（02）6劉國(guó)琪利用矩陣的初等行變換對(duì)矩陣的特征值與特征向量的同步求解數(shù)學(xué)通報(bào)，21996，P40427楊剛，最大公因式的矩陣求法J甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2003，（03）8郁金祥基于矩陣斜消變換的最大公因式求解J數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2005119郁金祥一個(gè)求最大公因式的方法J嘉興學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，310張慶，王朝霞求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式的新方法11錢吉林高等代數(shù)題解精粹M北京中央民族大學(xué)出版社200212王恩平，王朝珠多項(xiàng)式與多項(xiàng)式矩陣北京國(guó)防工業(yè)出版社，199213北京大學(xué)數(shù)學(xué)系高等代數(shù)第三版M北京高等教育出版社，20031218北京大學(xué)教學(xué)系高等代數(shù)第兒版北京高等教育出版社14北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等代數(shù)M第2版，北京高等教育出版社，1988121815北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等代數(shù)M北京高等教育出版