1第1章拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法復(fù)習(xí)思考題1拉氏變換的線性性質(zhì)、微分定理、積分定理、時(shí)域的位移定理、復(fù)域位移定理、初值定理、終值定理、卷積定理是什么如何應(yīng)用解答（1）線性性質(zhì)若有常數(shù)K1，K2，函數(shù)F1T，F(xiàn)2T，且LF1TF1S，LF2TF2S，則121212FTFTLFTFTKSMERGEFORMAT22（2）微分定理若FT的拉氏變換為FS，則MERGEFORMAT230FTFF0為T(mén)0時(shí)的FT值。此定理需考慮在T0處是否有斷點(diǎn)。如果在T0處有斷點(diǎn)，F(xiàn)0F0，則該定理需修改成LFTSFF0F0為由正向使T0時(shí)的FT值；F0為由負(fù)向使T0時(shí)的FT值；進(jìn)而可推出FT的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換2122100NNNNNNLFTSFFLFTSFFFFMERGEFORMAT24式中FI0（0IN）表示FT的I階導(dǎo)數(shù)在T0時(shí)的取值。如果在T0處有斷點(diǎn)，F(xiàn)0F0，則該定理需修改成21221000NNNNNNLTSFFFLFTSFFFFF221221000NNNNNNLFTSFFFLFTSFFFFF式中FI0（0IN）表示FT的I階導(dǎo)數(shù)在T從正向趨近于零時(shí)的取值。FI0（0IN）表示FT的I階導(dǎo)數(shù)在T從負(fù)向趨近于零時(shí)的取值當(dāng)初始條件均為零時(shí)，即10“0NFFF則有2“NNLFTSFFTS（3）積分定理若FT的拉氏變換為FS，則MERGEFORMAT251D0FSLFTF是對(duì)不定積分的拉普拉斯變換。式中，是在T0時(shí)的值。10DT如果FT在T0處包含一個(gè)脈沖函數(shù)，則，此時(shí)，必須將上述11FF定理修正如下1D0FSLFTFFTFS式中，是在T0時(shí)的值；，是在T0時(shí)的值。10DT10DFFT對(duì)于定積分的拉普拉斯變換，如果FT是指數(shù)級(jí)的，則上述定理修改如下0DTFSLF如果FT在T0處包含一個(gè)脈沖函數(shù)，則，此時(shí)00DTTFF0DTLFTS0TFTLF3依此類(lèi)推21221D0LFTFSFFS1100NNNNFTFFFS如果，該定理也要修正成00DTT12101110DNNNNKNKTLFTFSFFFSST（4）時(shí)域的位移定理若FT的拉氏變換為FS，對(duì)任一正實(shí)數(shù)A，有MERGEFORMAT26SLFTEFAFTA為延遲時(shí)間A的函數(shù)FT，當(dāng)TA時(shí)，F(xiàn)T0。（5）復(fù)域位移定理FT的拉氏變換為FS。對(duì)任一常數(shù)A（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），有MERGEFORMAT27TLEFFS（6）初值定理若函數(shù)FT及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則函數(shù)FT的初值為MERGEFORMAT280LIMLITSFF即原函數(shù)FT在自變量T趨于零（從正向趨于零）時(shí)的極限值，取決于其象函數(shù)FS的自變量S趨于無(wú)窮大時(shí)SFS的極限值。（7）終值定理若函數(shù)FT及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，并且除在原點(diǎn)處唯一的極點(diǎn)外，SFS在包含J軸的右半S平面內(nèi)是解析的（這意味著當(dāng)T時(shí)FT趨于一個(gè)確定的值），則函數(shù)FT的的終值為MERGEFORMAT290LIMLITSFF（8）卷積定理若，F(xiàn)SLFTGSLGT則有MERGEFORMAT2100DTFFSG4式中，積分，稱(chēng)作FT和GT的卷積。0DTFGFTG2用部分分式法求拉氏反變換的方法。解答（1）FS無(wú)重極點(diǎn)的情況FS總是能展開(kāi)為下面簡(jiǎn)單的部分分式之和MERGEFORMAT212NKKBSFAPSSP11式中K1、K2、KN為待定系數(shù)（系數(shù)KI為常數(shù)，稱(chēng)作極點(diǎn)SPI上的留數(shù)）。11SPBA22SPSMERGEFORMAT1,IIIISPBBKINAA212式中PI為AS0的根，。DIISP求得各系數(shù)后，則FS可用部分分式表示MERGEFORMAT2131NIIIBASP因1IPTILES從而可求得FS的原函數(shù)為MERGEFORMAT21411INPTIIBFTLFSEA當(dāng)FS的某極點(diǎn)等于零，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)時(shí)，同樣可用上述方法。注意，由于FT是個(gè)實(shí)函數(shù)。若P1和P2是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，那么相應(yīng)的系數(shù)K1和K2也是共軛復(fù)數(shù)，只要求出K1或K2中的一個(gè)值，另一值即可得。（2）FS有重極點(diǎn)的情況假設(shè)FS有R個(gè)重極點(diǎn)P1，其余極點(diǎn)均不相同，則5111212RNRNNRRRRBSBSFAAPPKKKSSSSPSP式中K11、K12、K1R的求法如下MERGEFORMAT211111221311DDRSPRSPRSPRRRSPFSKFS15其余系數(shù)KR1、KR2、KN的求法與第一種情況所述的方法相同，即1,2,JJJSPJBFSRAN求得所有的待定系數(shù)后，F(xiàn)S的反變換為112112NRRPTPTPTPTRRRFTLSTTKEKEE3用拉氏變換求解微分方程的步驟。解答用拉氏變換解線性常微分方程，首先通過(guò)拉氏變換將常微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，進(jìn)而解出象函數(shù)，最后由拉氏反變換求得常微分方程的解。習(xí)題（1）51COS3FTT解利用拉氏變化的線性疊加特性22545S39SFSLFTTLT（2）05COS1TE解法1利用COS10T的拉氏變換結(jié)果和復(fù)數(shù)域位移定理05220505S11TSSFSLFT解法2直接按定義并與COST的拉氏變換進(jìn)行比較60505022COS1DCOS1D5TSTSTFSLFTETE解法3直接按定義求解051005105105105100COSDD22TSTJTJTSTSJTSJTSJTSJTFSLFTEEEESJS2205115JSS解法4直接套用教材表21中第14項(xiàng)結(jié)果0522COS1050TFSLFTES（3）（用和角公式展開(kāi)）SIN3FTT解法1利用和角公式展開(kāi)，然后利用拉氏變換的線性疊加性13SI5SICOS5INSI5COS32FTTTTTT所以2235IN22SFLFTTLT解法2直接利用定義求解，令，則有SIN5SI531FTTT15T（1）1501515151500NSINSIISISSTSSSSFLFEDEDEEE而（2）20INSD7（3）555151110000551555112000SINDDD222SIN1SJJSSJSJSJJJJSJSJSEDEEEEEJJSEJOSINCO53SSJE將（3）式和（2）式代入（1）得235SFSLFT【注】本題不可直接利用延時(shí)定理，因?yàn)楹瘮?shù)不是延時(shí)函數(shù)，如果使用了延時(shí)定理，則將改變定義域。（4）NATFTE解法1，利用復(fù)域平移特性得1,23NLS1,23NATNFLES解法2000DDATATATSSATLES利用復(fù)域微分特性得11,23NNFTFS1D,23NNATNAFSLES解法3直接按定義并與TN的拉氏變換進(jìn)行比較100DD,NATSSATNFSLFT解法4直接按定義求解80001001101DDDDDNATNATSNSATNSATSTSATSTNNSATNTLEEEETELES得到遞推關(guān)系如下112102111NATNATTTATATATLELESLELLSSSAS所以1NATN解法5直接套用教材表21中第9項(xiàng)結(jié)果1NATNLES（1）32TFTTE解設(shè)T0時(shí)，F(xiàn)T0利用拉氏變換的線性特性3324432131261854TFSLFTTLESSSS（2）33COIN0TTTFTEET解利用拉氏變換的性質(zhì)線性性質(zhì)，復(fù)域平移特性334227654328COSSIN1169875493509018012TTTFSLFTLESSSSSS（3）251TFTTTE9解設(shè)T0時(shí)，F(xiàn)T0。利用拉氏變換線性特性、延時(shí)特性和復(fù)域平移特性2222235115TTTTSFSLFTLETEES【注】本題不可對(duì)第二項(xiàng)T12E2T采用如下方法因?yàn)?，利用時(shí)域位移定理得，再利用復(fù)域平移定理得23LTS231SLTE。這樣計(jì)算的結(jié)果是錯(cuò)誤的，原因在于在利用時(shí)域位移2231TTE定理時(shí)，將T12的定義域變成了，而原題中T12的定義域?yàn)?10TF。換句話說(shuō)，這里T12并不是T2的延時(shí)函數(shù)。10TTF（4）SIN,TFTT解法1，如圖22所示。I1TA所以222SINI1SFSLFTLTEE234561050051TFT圖題22SINTSINT1T解法2直接按定義求解。1000000001DSINDD211122122STSTJTJTSTJSTJSTJSTJSTJSJSJSFSLFFEEEEJJEEJJSJJS2222211SINCOS11JJJJJSSSSESSJEJJEE解（1）0001LIMLILIMLITSSSFF（2）12KFS根據(jù)部分分式法得101S21SKS所以10FS所以111100010TFTLSLTESSS所以，與（1）中計(jì)算結(jié)果相同。LIMLITTTTE【注】本題求拉氏反變換時(shí)，可以利用教材表21中的第10項(xiàng)。、解（1）201LILIMLI0TSSFFF根據(jù)拉氏變換的微分特性得知FT的拉氏變換為112200SSLFTSFF則再次利用初值定理得20LIMLI1TSFF（2）1120TFTLFSETTF則200LILITTTFEM1TTTTF結(jié)果與（1）中計(jì)算的一致。解（A）解法1設(shè)，則10502TTFT（見(jiàn)圖251A）12FTFTTA由此得1122201250SSFSLFTFTLFTTEA解法2令GTFTTTA2251210250SSGSLFLLTEA根據(jù)拉氏變換的積分特性得0222D51TSSGFSLGE解法3直接利用拉氏變換定義02TTF，則12022200222022222D155D110550STSTSTSTSTSSTSSSSSSFSLFFEEEEE（B）解法1設(shè)，則由圖251B可知13FTT113FTFTTA所以3322213SSSSFLFTTLLTEE解法2令1GTFTTTTA313232212SSSSGLTFTLTTLTTEE根據(jù)拉氏變換的積分特性得03322D11TSSSSGFLGEE解法3直接利用拉氏變換定義1003TTF，則13033311133113313DDD22D24STSTSTSTSTSTSTSSTSSFSLFTFEEEEEEE333222211SSSSSSSSSSSEEE（C）解法1利用拉氏變換的積分特性。由圖可見(jiàn)551551023GTFTTTTTTTTAAA2301023515SSSGSLGTFTLTTLTEE根據(jù)拉氏變換的積分特性得0232D5105TSSSGFSLGEE圖題521F1TF1T2101T2F1TF1T121T3F1T31T1（1）214FS解法1利用部分分式法。先將FS展開(kāi)成部分分式141221142KFSSJJSJJ124SJKJJ因?yàn)閮蓚€(gè)極點(diǎn)共軛，所以K2與K1共軛，即214J即42JJFSSSJJ所以11122SINSI2044JTJTFTLLJJETT歐拉公式解法2查表法221FSS利用拉氏變換對(duì)照表查得112IN0FTLSTS（2）2259SF解法1利用部分分式法。先將FS展開(kāi)成部分分式2211213SSJSJJJ令2125KSFSSJJJSJ3422193JSJJSJ11224SJKJJJ124KJ336SJSJJJ1543126KJ即121JJFSS263JJSS所以111122444121COS2SIN4IJTJTTJTJTTJTJTTTTJJFTLFSLSEEEJETT11122336266112COS32SIN361IJTJTJTJTJTJTJJFTLFSLSEETJT根據(jù)拉氏變換線性特性得121COSINCOS3IN0TFFTETTT解法222222213591SSF利用拉氏變換復(fù)域平移定理及線性性質(zhì)得16111COS2INCOS3INSIN5102ARCTSIN3ARCT0TTTTFLFEETTTET（3）1FS解利用部分分式法。先將FS展開(kāi)成部分分式12KS10S21SKS即F所以11110TTFTLSLES（4）23SF解利用部分分式法。先將FS展開(kāi)成部分分式12233KS12SSK23SS即1F11123023TTFTLSLES（5）243FS解利用部分分式法。先將FS展開(kāi)成部分分式3112243KSSS1721224343411SSSK21222D8SSSS3211443SSK即28FS則11112248480TTTTTFTLSLSSEEE（6）1SEF解1TLS利用拉氏變換的實(shí)數(shù)域位移定理（延時(shí)定理）得111STEFTLFSA（7）25SF解將FS展開(kāi)成部分分式22312511KKSSJJSJSJ212SKSJJ221531SJJJ32K即35121FSSJSJ所以181111222333COS3COS0TJTJTTTJTJTTTTTFTLFSLLSSSJEEET21求下列卷積（1）11解因?yàn)?，利用拉氏變換的卷積定理得1LS21LSA對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯逆變換得120TS（2）TT解因?yàn)?，利用拉氏變換的卷積定理得21LS241LTSA對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯逆變換得1134306TTSS（3）TET解因?yàn)?，利用拉氏變換的卷積定理得21LS1TES221TLSSA對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯逆變換（可查表）得1210TTEETS（4）TSINT解因?yàn)?，利用拉氏變換的卷積定理得21LS2IN1TS221ILTSSA對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯逆變換得191122SINSIN0TLLTTSS22用拉氏變換的方法解下列微分方程（1）20,XX解對(duì)微分方程等號(hào)兩邊同時(shí)求拉氏變換得20202SXXSXXXS將初始條件代入上式并整理得21S解得21XSSJSJ對(duì)XS求拉普拉斯逆變換得到IN0TXET（2）073,X解對(duì)微分方程等號(hào)兩邊同時(shí)求拉氏變換得2730SXXSXXS將初始條件代入上式并整理得2032S解得000277711313233XSXSSXXS對(duì)XS求拉普拉斯逆變換（查表）得到1133220130273605TTTTTTXTEE20第2章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型習(xí)題31列出圖題31所示各種機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式圖中未注明XT均為輸入位移，YT為輸出位移解（A）對(duì)YT點(diǎn)利用牛頓第二定律得0BTKYTX即（B）對(duì)M利用牛頓第二定律得YTKTXMYT整理得MTBTKT（C）對(duì)YT點(diǎn)利用牛頓第二定律得210KYTTXYTX整理得211BTKTBTKT（D）對(duì)圖D所示系統(tǒng)，由牛頓定律有FTKXTMT其中1212K12KXTXTF（E）對(duì)M利用牛頓第二定律得21BYTTMYT整理得211MTTBXT32列出圖題32所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式，并求輸入軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J和等效阻尼系數(shù)B。圖中T1、1為輸入轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)角，TL為輸出轉(zhuǎn)矩。解對(duì)J1列寫(xiě)平衡方程得21（1）1121JBT（2）223L（3）12N（4）21式中T2為J1的輸出轉(zhuǎn)矩，T3為J2的輸入轉(zhuǎn)矩，2為J2的轉(zhuǎn)角。將（3）、（4）式代入（2）式，求得T2，再將求得的T2代入（1）式得221111LNNB輸入軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為211NJ輸入軸上的等效阻尼系數(shù)B為211NB33求圖題33所示各電氣網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出量間關(guān)系的微分方程式，圖中UI為輸入電壓，UO為輸出電壓。解（A）方法1設(shè)流過(guò)LC回路的電流為I，利用基爾霍夫電壓定律得（1）IODULT（2）O1IC對(duì)（2）式求導(dǎo)得（3）ODUIT（3）式代入（1）得2OIDULCT方法2設(shè)流過(guò)LC回路的電流為IL，利用基爾霍夫電流定律得ILIC22即OIOD1UUTCLT對(duì)上式求導(dǎo)，并整理得2OIDUT（B）方法1設(shè)流過(guò)L的電流為I，利用基爾霍夫電壓定律得IOO12DUTITC消除中間變量I（過(guò)程同A）得2O1IDULT方法2設(shè)流過(guò)L的電流為I，流過(guò)C1、C2的電流分別為I1和I2，利用基爾霍夫電流定律得II1I2即OOIOD1UUTLTT對(duì)上式求導(dǎo)，并整理得2O1IDCUT（C）方法1設(shè)流過(guò)R1的電流為I1，流過(guò)C1的電流為I2，利用基爾霍夫電壓定律得（1）I1OU（2）21DRITC（3）O212DUIIT由（1）得（4）IO1UR（4）代入（2）并后求導(dǎo)得（5）OI21DICT23（5）、（4）代入（3）后，求導(dǎo)，再整理得22OO21I21I1O1I1212DDDDUURCURCUTTRTT方法2設(shè)流過(guò)R1的電流為I1，流過(guò)C1的電流為I2，流過(guò)R2、C2的電流為I，電阻C2上的電壓為UC2，利用基爾霍夫電流定律得II1I2即（1）2OCIOI1DUURTR（2）22OCT由式（2）得（3）2O2I2IC1O2111DDURURTT將式（3）及其一階導(dǎo)數(shù)代入（2），并整理得22OO21I21I1O1I1212DDDDUURUCUTTRTRT（D）解法1設(shè)流過(guò)回路的電流為I，利用基爾霍夫電壓定律得（1）IO1DUITUC（2）O2RIIT（1）C1（2）C2得（3）1I2OCUR對(duì)（2）求導(dǎo)得（4）O22DUITT（3）代入（4）并整理得OI12O2I122D1DURRTCTC或OI121O211IUTT解法2利用基爾霍夫電流定律，過(guò)程略。2434列出圖題34所示機(jī)械系統(tǒng)的作用力FT與位移XT之間關(guān)系的微分方程。解設(shè)杠桿轉(zhuǎn)角為，對(duì)M使用牛頓第二定律得COSAFTBXTKMXTB整理得AFTXTTKXB35如圖題35所示的系統(tǒng)，當(dāng)外力FT作用于系統(tǒng)時(shí)，M1和M2有不同的位移輸出X1T和X2T，試求FT與X2T的關(guān)系，列出微分方程式。解對(duì)M1使用牛頓第二定律得（1）1211BTKXTT對(duì)M2使用牛頓第二定律得（2）21212FTXTTMT由公式（2）得（3）22121MTBXTFT對(duì)（1）式等號(hào)兩邊同時(shí)求微分一次得（4）1211BXTKXTMT將（3）式表示的及其二、三階導(dǎo)數(shù)代入（4）并整理得到1XT432222121211DDDDDTXTXTMMBKBTFFTBKFT36求圖題36所示的各機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解（A）對(duì)M利用牛頓第二定律得FTKXMT即TF令XSLXT，F(xiàn)SLFT，在初始條件為0的條件下，等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得2MSKXFS由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為21GSSK25（B）對(duì)M利用牛頓第二定律得FTBXTKMXT即F令XSLXT，F(xiàn)SLFT，在初始條件為0的條件下，等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得2MSBKXSF由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2221NKXSGFSKS式中，RADS1，1KKNKMBM（C）引入中間變量X3T，分別對(duì)X2T點(diǎn)和X3T點(diǎn)利用牛頓第二定律得2321310BTKTXXT令X1SLX1T，X2SLX2T，X3SLX3T，在初始條件為0的條件下，對(duì)上兩式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得（1）230BKS（2）1321SKXS由（1）式得23SXB代入（2）式并整理得此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為212112221SSKSKTSGXBB式中，12BTK12K（D）對(duì)X2T點(diǎn)利用牛頓第二定律得12121210XTXTKTX即12BKBX3T26令X1SLX1T，X2SLX2T，在初始條件為0的條件下，等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得121211BSKXSBKXS由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為12111212222SXSSKKKTSGB式中，1BTK122K37圖題37所示FT為輸入力，系統(tǒng)的彈簧剛度為K，軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，阻尼系數(shù)為B，系統(tǒng)的輸出為軸的轉(zhuǎn)角T，軸的半徑為R。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解利用相應(yīng)力學(xué)定律得RFTBTKTJT即JRF令FSLFT，SLT，在初始條件為0的條件下，等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得2JSBSKSRF所以傳遞函數(shù)為2GSFJSK38證明圖題38A和B所示的系統(tǒng)是相似系統(tǒng)。證明（A）在33題中已經(jīng)得到圖題38（A）所示電路的微分方程為22OO21I21I1O1I1212DDDDUURCURCUTTRTT令UISLUIT，UOSLUOT，在初始條件為0的條件下，等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得2221211OOO1III1212RRCSSUSCSSUSCRCR由此得其傳遞函數(shù)為271212211O22I21112212211RCRCSSUSGSSRCSSR通分、約分分解因式分子分母同除或分子分母同除2211SS（B）引入中間變量X，分別對(duì)X和X2利用牛頓第二定律得2112200BKXK令X1SLX1T，X2SLX2T，XSLXT，在初始條件為0的條件下，等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得212112120BBSXKSXSSK消去XS得21212XSKBGSKS（A）和（B）具有相似的傳遞函數(shù)，故這兩個(gè)系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。比較兩式可知，兩者參數(shù)相似關(guān)系為1221BRKKC或121BKKR【注】若兩個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（如微分方程、傳遞函數(shù)等）具有相同的形式，則稱(chēng)為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中占據(jù)相同位置的物理量，稱(chēng)為相似量。2839若某系統(tǒng)在階躍輸入XT1T作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為，試21TTYTE求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)。解1求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是在初始條件為零的情況下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。因?yàn)閅01110，所以，題中所給的單位階躍響應(yīng)為非0初始條件下的響應(yīng)，因此，不能直接利用YT的拉氏變換求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。方法1由響應(yīng)可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)有2項(xiàng)指數(shù)衰減項(xiàng)，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)，分別為2和1，即系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，而且因?yàn)榉€(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，故可知系統(tǒng)微分方程的特解為1，由此可知，系統(tǒng)微分方程中不存在輸入的微分項(xiàng)，所以，系統(tǒng)的微分方程形式為222DDNNNYTYTTXT在考慮初始條件的情況下，對(duì)上式做拉氏變換得222020NNNNSYYSYYYSX即2220NNNSXY亦即（1）2220NNSYYSSS（1）式中第一項(xiàng)即為系統(tǒng)0初始條件下的響應(yīng)的拉氏變換。由單位階躍響應(yīng)得01Y將上述結(jié)果及XS1/S代入1式得單位階躍響應(yīng)的拉氏變換（2）2221NNSYS對(duì)題中給定的單位階躍響應(yīng)求拉氏變換得（3）214213SSLYTS因?yàn)椋?）和（3）式相等，所以（3）式分母與（2）式公分母比較得2923N代入（2）式得（4）221433SYS因?yàn)椋?）式中第一項(xiàng)即為系統(tǒng)0初始條件下的響應(yīng)的拉氏變換，所以（4）式中的第一項(xiàng)即為系統(tǒng)0初始條件下的響應(yīng)的拉氏變換，即213ZSYS所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2213ZSSGXS方法2由題中單位階躍響應(yīng)可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)有2項(xiàng)，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)，分別為2和1，故系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍響應(yīng)（對(duì)線性因果系統(tǒng)就是零狀態(tài)響應(yīng)）應(yīng)該具有如下形式2ZS1TTYTAEB因?yàn)槌跏紬l件為0，所以有ZS002Y聯(lián)立上兩式解得A1，B2所以，系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍響應(yīng)為2ZSTTYTE其拉氏變換為ZS11212YSS已知輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)，其拉氏變換為XS所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為30ZS22113YSGXSS（2）求單位脈沖響應(yīng)由傳遞函數(shù)的定義可知YSGXS而1LT所以S所以111222310TTYTLGSLSSE這樣求得響應(yīng)為零初始條件下的響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）。310運(yùn)用方塊圖簡(jiǎn)化法則，求圖題310各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解（A）簡(jiǎn)化過(guò)程如圖題解310（A）所示，傳遞函數(shù)為21121RCSRCS（B）簡(jiǎn)化過(guò)程如圖題解310（B）所示，傳遞函數(shù)為125342312534GHG31圖題解310（A）圖題310（A）的簡(jiǎn)化過(guò)程1CS1R21CS21R1CS1R21CS21R1S1RCS21RCS21SRSCSRSCSRSCS1CS1R21CS21R21SRSCS21121RSRCSRSCS相加點(diǎn)前移分支點(diǎn)后移消去兩個(gè)反饋回路消去反饋回路32（B）圖題解310（B）圖題310（B）的簡(jiǎn)化過(guò)程分支點(diǎn)前移消去反饋回路和并聯(lián)回路消去反饋回路消去反饋回路1GRSCS22G34G52H1GRSCS22G34G532H1GRSCS23H341G4G5RSCS1231GH3451GRSCS125341212534GHG311畫(huà)出圖題311所示系統(tǒng)的方塊圖，并寫(xiě)出其傳遞函數(shù)。解分別對(duì)質(zhì)量M和X1T利用牛頓第二定律得21FKXTMXT1033整理得221MXTKTFKXT12在初始條件為0的情況下，對(duì)上兩式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得221SKXSFKXS21上兩式的方塊圖分別如圖題解311（A）、（B）所示。圖題解311（A）（B）21KXSX1SFS2KFSX1SXS2MSK（C）21K21MSXS2K（D）212KMSXSFS將方塊圖（A）、（B）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解311（C）所示，化簡(jiǎn)得方塊圖（D）。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2221211MSKXSGKFS說(shuō)明本題也可以先求出兩個(gè)串聯(lián)彈簧的等效剛度，然后用一個(gè)方程即可求出傳遞函數(shù)。12K312畫(huà)出圖題312所示系統(tǒng)的方塊圖，該系統(tǒng)在開(kāi)始時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，系統(tǒng)的輸入為外力FT，輸出為位移XT，并寫(xiě)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖題312X1TK1BM2M1K2XTFT34解設(shè)M1的位移為X1T，如圖題312所示。分別對(duì)質(zhì)量M1和M2利用牛頓第二定律得111BTXKTXT22F整理得111MXTTKXTBT221BF在初始條件為0的條件下，對(duì)上兩式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得11SKXS221FBS即1211SSSMK22XFBX上兩式的方塊圖分別如圖題解312（A）、（B）所示。圖題解312BS（A）（B）FSX1SXS211BSMKXSX1S221MSBK（C）211BSMKFS22XSBS將方塊圖（A）、（B）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解312（C）所示，化簡(jiǎn)一次得方塊圖（D）。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為352211221431212121212MSBKXSGFSSSKKBSK313求圖題313所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解利用梅遜公式（）前向通路只有一條，該前向通路的傳遞函數(shù)為12BTSS有兩條回路，傳遞函數(shù)分別為11ALSS22因?yàn)樗袃蓚€(gè)回路具有一條公共支路，所以沒(méi)有不接觸回路，因此特征式為121212AALSS因?yàn)閮蓚€(gè)回路都與唯一的前向通路相接觸，故從中去掉兩個(gè)回路的傳遞函數(shù)即可得到前向通路的特征式的余因子111將上述結(jié)果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為212112NBTCSBSARAS（B）前向通路有兩條，這兩條前向通路的傳遞函數(shù)分別為11BTS22T有兩條回路，傳遞函數(shù)分別為11ALSS36212ALSS因?yàn)樗袃蓚€(gè)回路具有一條公共支路，所以沒(méi)有不接觸回路，因此特征式為121212SS因?yàn)閮蓚€(gè)回路都與兩個(gè)前向通路相接觸，故從中去掉兩個(gè)回路的傳遞函數(shù)即可得到兩個(gè)前向通路的特征式的余因子1121將上述結(jié)果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為1212122NBTTSBCSSARA314圖題314所示為發(fā)動(dòng)機(jī)速度控制系統(tǒng)的方塊圖。發(fā)動(dòng)機(jī)速度由轉(zhuǎn)速測(cè)量裝置進(jìn)行測(cè)量。試畫(huà)出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖。圖題314參考速度轉(zhuǎn)速測(cè)量裝置液壓伺服機(jī)構(gòu)負(fù)載干擾發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際速度解其信號(hào)流圖如圖題解314所示。圖題解31422104S10S102SNSRSCS111315對(duì)傳遞函數(shù)26843YSSGU試推導(dǎo)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程表達(dá)式。37解法1（套公式笨辦法）。2268514343YSSSGU與教材式（3121）比較得到0125NABB，代入教材式（3130）得狀態(tài)空間表達(dá)式為1122120345XXUYUXX式中，U為輸入變量。解法2（參考現(xiàn)代控制工程MODERNCONTROLENGINEERING美KATSUHIKOOGATA緒方勝?gòu)┲R伯英，于海勛等譯北京電子工業(yè)出版社，2000年5月第3版）令10211XYUXU式中，0，1由下式確定021102642831BA代入上式得1212XUX而20121234AU所以狀態(tài)空間表達(dá)式為1110222112203XXXUYUXXX【注】結(jié)果與解法1不同，這是因?yàn)闋顟B(tài)空間表達(dá)式不是唯一的（取決于所選取的狀態(tài)變量，可能有無(wú)窮多個(gè)）。解法3利用拉氏反變換382682531143123YSSSUS即23SUSSU令123XSS則11223SXSUS1YS對(duì)上面三式做拉氏反變換得123XU12YX所以狀態(tài)方程為112230UXXX輸出方程為12XYU316圖題316所示系統(tǒng)，以圖中所標(biāo)記的X1、X2、X3為狀態(tài)變量，推導(dǎo)其狀態(tài)空間表達(dá)式。U、Y分別為輸入、輸出，1、2、3是標(biāo)量。解由圖可知1YXDU32312X39所以系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為112223312300XXUXYDUX317設(shè)系統(tǒng)的微分方程為7148YY試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解這是一個(gè)三階系統(tǒng)，輸入變量為U，輸出變量為Y。選取3個(gè)狀態(tài)變量X1，X2，X3，它們分別為123XY代入原微分方程中得3123714847XYYUXXU故系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為（合稱(chēng)狀態(tài)空間表達(dá)式）11223300847XX輸出方程為1230XY318給定系統(tǒng)傳遞函數(shù)為234610YSSGU試寫(xiě)出它的狀態(tài)空間表達(dá)式。解（套公式）。223346105SYSSU與教材式（3121）比較得到40012335/2/0NAABB，代入教材式（3130）得狀態(tài)空間表達(dá)式為11223312305XXUXYX式中，U為輸入變量。41第3章系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析復(fù)習(xí)思考題習(xí)題41設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為45GS求這個(gè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解法1系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負(fù)反饋）2444511SGSS所以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為312414KCSSSS利用部分分式法計(jì)算得到，10SK213SK413SC所以1434CS對(duì)上式做拉普拉氏反變換得到單位階躍響應(yīng)為410TTCTE解法2利用教材上的結(jié)論系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負(fù)反饋）224451NGSSS上式等號(hào)兩邊比較得，24N5N42解得RADS1（負(fù)根舍掉），2N54這是一個(gè)過(guò)阻尼二階震蕩系統(tǒng)，有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，所以，該單位階躍響應(yīng)為2114NS221NS1220PTTECT式中，代入上式得階躍響應(yīng)為14PS21PS44410333TTTTTTECTEE42設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1GS試求系統(tǒng)的上升時(shí)間、峰值時(shí)間、最大超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。解法1直接套用教材上的結(jié)論。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負(fù)反饋）22111NGSSS等號(hào)兩邊比較得N1RADS1（負(fù)根舍掉），05。這是一個(gè)欠阻尼二階震蕩系統(tǒng)，所以上升時(shí)間2221105ARCTARCTN4318S9RNT峰值時(shí)間223628S1105PNT最大超調(diào)量2231PMEE調(diào)整時(shí)間（用近似公式）22679S5LN10LN1L0LN058121ST調(diào)整時(shí)間的較準(zhǔn)確值（用MATLAB按準(zhǔn)確的理論響應(yīng)曲線測(cè)量的結(jié)果）5289S50762ST43解法2直接按指標(biāo)定義求解。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負(fù)反饋）22111NBGSSS等號(hào)兩邊比較得N1RADS1（負(fù)根舍掉），05。這是一個(gè)欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)為222131SI1ARCTNSIN02NTNECTTT然后按著指標(biāo)的定義求解（參見(jiàn)教材中的求解過(guò)程）。43設(shè)有一閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2NYSXS為了使系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)，有約5的超調(diào)量和2S的調(diào)整時(shí)間，試求和N的值應(yīng)等于多大。解設(shè)允許的誤差范圍為，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，則根據(jù)題意得到1215PME22LN0LNST由（1）式解得（舍掉負(fù)根069）069將5和069代入（2）式解得N2405RADS1將2和069代入（2）式解得N3069RADS144圖題44所示系統(tǒng)，當(dāng)輸入RT10T和RT46T3T2時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為104GSHS開(kāi)環(huán)增益K10/425。圖題4444復(fù)域系統(tǒng)誤差為210411RSSSRESGH（1）解法1利用教材的結(jié)論。這是一個(gè)1型系統(tǒng)，所以其單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0425SUEK當(dāng)RT10T時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為1SSU解法2按定義推導(dǎo)。當(dāng)RT10T時(shí)，RS10/S2，代入上述誤差的拉氏變換式得到2041ES利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為200LIMLILIM40STSSSE（2）解法1利用教材的結(jié)論。這是一個(gè)1型系統(tǒng)，其靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)分別為KP，KVK25，KA0根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知，系統(tǒng)對(duì)RT46T3T2響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為SPVA461150E解法2按定義推導(dǎo)。當(dāng)RT46T3T2時(shí)，代入上述2346RSS誤差的拉氏變換式得到22326441010SSSSE利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2004LIMLILIMSTSSSEE45設(shè)題44中的前向傳遞函數(shù)變?yōu)?GSS45輸入分別為RT10T，RT46T3T2和RT46T3T218T3時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為10GSHS其開(kāi)環(huán)增益為K10/110。復(fù)域系統(tǒng)誤差為3210101RSRSSRSES（1）解法1利用教材的結(jié)論。這是一個(gè)1型系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)增益K10，所以其單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0SUEK當(dāng)RT10T時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為11SSU解法2按定義推導(dǎo)。當(dāng)RT10T時(shí)，RS10/S2，代入上述誤差公式得到332001110RSE利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為3200LIMLILIM11STSSSEE（2）當(dāng)RT46T3T2時(shí)利用上述方法可分別求得系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)1T、單位斜坡信號(hào)（T）和加速度信號(hào)（T2）的穩(wěn)態(tài)誤差為1320010LIMLILIMSTSSSEE232001LILILISTSSS32320010LILILISTSSE根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對(duì)RT46T3T2響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為12346SSSSEE（3）當(dāng)RT46T3T218T3時(shí)46系統(tǒng)對(duì)信號(hào)T3的穩(wěn)態(tài)誤差為43200610LIMLILIMSTSSSEES根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對(duì)RT46T3T218T3響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為12344618SSSSSEEE【注】此題所給系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)（因?yàn)橛幸粚?duì)共軛極點(diǎn)的實(shí)部大于0。特征方程的根閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)14857，02069J07974），所以上述計(jì)算結(jié)果毫無(wú)意義。若將系統(tǒng)改成，則系統(tǒng)穩(wěn)定。01GSS46圖題46為由穿孔紙帶輸入的數(shù)控機(jī)床的位置控制系統(tǒng)方塊圖，試求解系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為91S系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為2222931116CSGSRSSS（1）由閉環(huán)傳遞函數(shù)可知，這是一個(gè)二階震蕩系統(tǒng)13RADS6N（2）最大超調(diào)量22116058PME上升時(shí)間22/6ARCTNARCTN1058S13RT（3）當(dāng)RT1T時(shí)，RS1/S，復(fù)域系統(tǒng)誤差為219191SEGHS利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為472001LIMLILIM09STSSEES也可以利用教材上的結(jié)論求解（這是個(gè)1型系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)增益K9。1型系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0）。（4）當(dāng)RTT時(shí)，RS1/S2，復(fù)域的系統(tǒng)誤差為2219191SEGHS利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2001LIMLILIM9STSSEES也可以利用教材上的結(jié)論求解（這是個(gè)1型系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)增益K9。1型系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為ESS1/K1/9）。47求圖題47所示帶有速度控制的控制系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率N，阻尼比及最大超調(diào)量MP（取K1500，D001S）。解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為22222507507501911NNNCSSSSRSJJ等號(hào)兩邊比較得RADS1750863N219N2N當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，RS1/S，所以2231227501NNNNSCSSJJKKSJSJ利用部分分式法計(jì)算得到12021NJ212NKJK3148對(duì)CS進(jìn)行拉氏逆變換得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為221123NNJJCTKEEK將K1、K2、K3代入上式中，并整理得2222201OSSI1010SINARCTNNNNTTNTNCTETT令0PTDC解得第一個(gè)峰值時(shí)間為222111ARCTNARCTNARCTN00NNPT將TP代入CT中可得到最大超調(diào)量為2222212ARCTN0101SINARCT10NPNTNPNMTEE將N和代入上式求得2206386031ARCTN95/195701381PME48求圖題48所示系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)KP、KV、KA，當(dāng)輸入是40T時(shí)，穩(wěn)態(tài)速度誤差等于多少解這是一個(gè)1型系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1025GSHS開(kāi)環(huán)增益K10。靜態(tài)位置誤差系數(shù)00LIMLI1PSSKS靜態(tài)速度誤差系數(shù)00LILI025VSSGH49靜態(tài)加速度誤差系數(shù)22001LIMLI05ASSSKGH當(dāng)輸入是40T時(shí)，穩(wěn)態(tài)速度誤差為或者0020LILILI141254STSSSREESS401SEK【注】此題所給系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)（可以用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別）（閉環(huán)傳遞函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)為74572，02286J36548），所以上述計(jì)算結(jié)果毫無(wú)意義。49控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題49所示。解（1）由圖可知21CSNSFRSCGSF求得2121GSSSNRSSFFF復(fù)域的系統(tǒng)誤差為21111ESRCSSSNGGSG則在單位階躍輸入信號(hào)1T作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2100LIMLI11SSFSEESSFSF（2）外部擾動(dòng)N1S單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差110LIMSENSGS外部擾動(dòng)N2S單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差220LI1SESSF（3）501000LIMLI1LISSSPFSEENGJKS4