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第一章行列式1四階行列式中帶有負號且包含A12和A21的項為_解A12A21A33A44中行標的排列為1234,逆序為0列標排列為2134,逆序為1該項符號為“”,所以答案為A12A21A33A442排列I1I2IN可經(jīng)_次對換后變?yōu)榕帕蠭NIN1I2I1解排列I1I2IN可經(jīng)過12N1NN1/2次對換后變成排列ININ1I2I13在五階行列式中_解15423的逆序為5,23145的逆序為2,所以該項的符號為“”4在函數(shù)中,X3的系數(shù)是_解X3的系數(shù)只要考察所以X3前的系數(shù)為25設A,B為實數(shù),則當A_,且B_時,解所以AB06在N階行列式D|AIJ|中,當IR1BR0,即5設A為N階實對稱矩陣,證明秩AN的充分必要條件為存在一個N階實矩陣B,使是正定矩陣解“充分性”反證法反設,則|A|0于是是A的特征值,假設相應的特征向量為X,即,所以所以,和是正定矩陣矛盾“必要性”因為,所以A的特征值全不為0取,則,它的特征值為全部為正,所以是正定矩陣6設均為N階正定矩陣,證明AB是正定矩陣的充要條件是A與B可交換解“必要性”因為,AB均為N階正定矩陣,所以,AB均為N階實對稱矩陣,即,所以A與B可交換“充分性”因為,則,所以為對稱矩陣有以下定理成立C為正定矩陣的充要條件為存在可逆矩陣P使得對于正定矩陣A,存在可逆矩陣P使得對于正定矩陣A,存在可逆矩陣Q使得所以因為可逆,所以為正定矩陣上式表明相似于正定矩陣,又因為對稱,所以是正定矩陣7設A為N階實對稱矩陣,E為N階單位矩陣,求證對充分小的正數(shù)為正定矩陣解,所以為N階實對稱矩陣對于N階實對稱矩陣A,假設它的特征值為,的特征值為令,取所以所以為正定矩陣8對一般的N元實二次型,其中,證明F在條件下的最大值恰為矩陣A的最大特征值解對于實二次型,存在正交變換,使其中為A的全部特征值不妨假定,所以所以當

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