1、高中數(shù)學-數(shù)列求和方法匯總及經(jīng)典練習（含答案）一、公式法:利用以下公式求數(shù)列的和1. (為等差數(shù)列)2. ()或(為等比數(shù)列)3. 4. 等公式例已知數(shù)列，其中，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求。解：由題意，是首項為，公差為的等差數(shù)列前項和，二、分組求和法對于數(shù)列，若且數(shù)列、都能求出其前項的和，則在求前項和時，可采用該法例如：求和： 解：設 三、倒序相加法（或倒序相乘法）將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個，Sn表示從第一項依次到第n項的和，然后又將Sn表示成第n項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。1倒序相加法例 設，利用課本中推

2、導等差數(shù)列的前項和的公式的方法，可求得的值為： 。解：因為f（x）=，f（1x）=f（x）+f（1x）=.設S=f（5）+f（4）+f（6），則S=f（6）+f（5）+f（5）2S=（f（6）+f（5）+（f（5）+f（4）+（f（5）+f（6）=6S=f（5）+f（4）+f（0）+f（6）=3.2倒序相乘法例如：已知、為兩個不相等的正數(shù)，在、之間插入個正數(shù)，使它們構(gòu)成以為首項，為末項的等比數(shù)列，求插入的這個正數(shù)的積解：設插入的這個正數(shù)為、且數(shù)列、成等比數(shù)列則 又 由得 四、錯位相減法對于數(shù)列，若且數(shù)列、分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列時，求該數(shù)列前項和時，可用該方法。一般在已知和式的兩邊都乘以組成這

3、個數(shù)列的等比數(shù)列的公比q，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，就是錯位相減法。例 已知數(shù)列：，求數(shù)列前項和 解：在上式兩邊同乘以(或除以)等比數(shù)列的公比3，得由（兩等式的右邊錯位相減） 五、裂項相消法對相應的數(shù)列的通項公式加以變形，將其寫成兩項的差，這樣整個數(shù)列求和的各加數(shù)都按同樣的方法裂成兩項之差，其中每項的被減數(shù)一定是后面某項的減數(shù)，從而經(jīng)過逐項相互抵消僅剩下有限項，可得出前項和公式它適用于型（其中是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)）、部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。常見的裂項方法有：1 234還有：；等。例 已知數(shù)列：，求數(shù)列前項和 解： 六、并項法例 已知 則 解

4、： 同理 七、拆項重組求和.有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，能分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列的和、差，則對拆開后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和也稱分組求和法.例 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設將其每一項拆開再重新組合得：Sn 八、累加法給出數(shù)列的遞推式和初始值，若遞推式可以巧妙地轉(zhuǎn)化為型，可以考慮利用累加法求和，此法也叫疊加法。例 數(shù)列的前項和為，已知，求解：由得：，即， ，對成立。由，累加得：，又，所以，當時，也成立。經(jīng)典高考練習題1. 已知等比數(shù)列分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項，且（）求；（）設，求數(shù)列2. 已知數(shù)

5、列滿足遞推式，其中 （）求； （）求數(shù)列的通項公式； （）求數(shù)列的前n項和3 已知數(shù)列的前項和為，且有，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項的和。4. 已知數(shù)列滿足，且（）求，；（）證明數(shù)列是等差數(shù)列；（）求數(shù)列的前項之和5. 數(shù)列的前項和為，（）求數(shù)列的通項；（）求數(shù)列的前項和6. . 求證：數(shù)列bn+2是公比為2的等比數(shù)列； ；.7. 已知各項都不相等的等差數(shù)列的前六項和為60，且 的等比中項. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列的前n項和Tn.8. 已知是數(shù)列的前項和，且，其中. 求證數(shù)列是等比數(shù)列；求數(shù)列的前項和.9. 已知是數(shù)列的前n項和，并且=1，對任意正整數(shù)n，；設

6、）. （I）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式； （II）設的前n項和，求.經(jīng)典高考練習題參考答案1.解析：設該等差數(shù)列為，則，即：， ， ，的前項和當時， （8分）當時，2.解：（1）由知解得：同理得 （2）由知構(gòu)成以為首項以2為公比的等比數(shù)列；為所求通項公式 （3）3.解：由，又，是以2為首項，為公比的等比數(shù)列， （1） （2）（1）（2）得即： ，4解：（）， （）， 即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列 （）由（）得 5.解：（），又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，當時，（），當時，；當時，得：又也滿足上式，6.解： 數(shù)列bn+2是首項為4公比為2的等比數(shù)列； 由知 上列（n-1）式子累

7、加：.7.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則解得. （2）由 8.解：又也滿足上式，（）數(shù)列是公比為2，首項為的等比數(shù)列（2）由， 于是 9.解析：（I）兩式相減： 是以2為公比的等比數(shù)列，（II）而數(shù)列運算中整體思想簡化計算一、 整體代入把已知條件作為一個整體，直接代入或組合后代入所求的結(jié)論。例1：在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5a6=9，則log3a1+log3a2+log3a10=( )A.12 B.10 C.8 D.2+log35解析：log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10)=log3(a5a6)5=5log39=52=10，故應選B。例2：等差數(shù)列a

8、n的前10項和S10=100，前100項和S100=10，則前110項和S110等于（ ）A.-90 B.90 C.-110 D.110解析：S100-S10=a11+a12+a100=45(a1+a110)=-90，a1+a110=-2故S110=-110，所以應選C。二、 整體求解把所求的結(jié)論作為一個整體，由已知條件變形或計算便得。例3：在等比數(shù)列an中，若a10，且a2a4+2a3a5+a4a6=16，則a3+a5的值為_。解析：由已知條件得a32+2a3a5+a52=16，即(a3+a5)2=16，解之得：a3+a5=4。a10，a2n-10，故a3+a5=4。例4：設等差數(shù)列an的前

9、n項和為Sn，若S120，S130，得a6+a70；又S13=13a70，故S6最大。三、 整體轉(zhuǎn)化把求解的過程作為一個整體，寓整體于轉(zhuǎn)化之中。例5：已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足條件：a1=b1=a0，a2n+1=b2n+1=b。試比較an+1與bn+1的大小。解析：由a1=b1=a0，知a2n+1=b2n+1=b0。an+1-bn+1=，故an+1bn+1。四、 整體換元把陌生的或復雜的式子進行整體換元，這是一種化生為熟、以簡馭繁的解題策略。例6：已知等差數(shù)列an的前12項和為354，前12項中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為27:32，求公差d。解析：設前12項中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和分別為S奇

10、和S偶，則有，據(jù)此得：，即，解之得：S奇=162，S偶=192。故由S偶-S奇=6d=30，解之得：d=5。五、 整體假設把不確定的結(jié)論假設成一個整體，這是解決開放性問題的有效方法。例7：已知等比數(shù)列an的首項a10，公比q0，q1；等差數(shù)列bn的公差d0，問是否存在一個常數(shù)a，使得logaan-bn為不依賴于n的定值。解析：假設存在常數(shù)a，使得logaan-bn=k（定值） 則logaan+1-bn+1=k(定值) -得：loga(bn+1-bn)=0，即logaq=d，解之得a=，故存在一個常數(shù)a=，使得logaan-bn為不依賴于n的定值。六、 整體構(gòu)造把局部的構(gòu)造成一個整體，這是在整體中求發(fā)展的一大創(chuàng)舉。例8：若等差數(shù)列an的m項和與前n項和分別記為Sm與Sn，且(mn)。求證：。證明：=?！傲秧椣嘞ā钡膬煞N用途裂項相消法用在數(shù)列求和和證明不等式 一、用于數(shù)列求和例1、求數(shù)列的前項的和解：數(shù)列的通項，所以點評:分式的求和多利用此法常見的拆項公式有：；等等例、設數(shù)列的前項和為，若對于N*，恒成立