1、.高中物理解題中數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用高一物理赫喜山. 中學(xué)物理考試大綱明確要求考生必須具備：“ 應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論，必要時能運用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析?！币弧⒏呖济}特點高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用， 借助物理知識滲透考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題 . 可以說任何物理試題的求解過程實質(zhì)上是一個將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題經(jīng)過求解再次還原為物理結(jié)論的過程.二、數(shù)學(xué)知識與方法物理解題運用的數(shù)學(xué)方法通常包括幾何 ( 圖形輔助 ) 法、圖象法、函數(shù)法、方程 ( 組 ) 法、遞推法、微元法等 . 比例

2、法等課時 1.幾何的知識應(yīng)用 ( 一 )1相似三角形法： 相似三角形法通常尋找的是一個矢量三角形與一個幾何三角形相似。利用相似三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系求解力的大小，特別是當(dāng)幾何三角形的邊長己知時。A【例 1】 如右圖 1A 所示，輕繩的 A 端固定在天花板上， B 端系一重為 GF的小球， 小球靜止在固定的光滑大球表面上，己知 AB繩長為 l ，大球半CB徑為 R，天花板到大球頂點的豎直距離AC=d, 角 ABO 90o 。求繩中張力F N和大球?qū)π∏虻闹С至Γㄐ∏蛑睆胶雎圆挥嫞窘馕觥窟x小球為研究對象，受到重力、繩的拉力F和OGG大球支持力 F 的作用 ( 如圖 1B 示) 。由于小球處于平衡

3、狀態(tài)，所以 G、F、NF組成一個封閉三角形。根據(jù)數(shù)學(xué)知識可以看出三角形跟三角形圖 1AAOBNFGF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得NFF/L=G/(d+R)=FN/R解得 F=G? L/(d+R)FN=G? R/(d+R)FN 討論 由此可見，當(dāng)繩長L 減小時 F 變小， FN不變。G2正弦定理（拉密定理） ：如果在共點的三個力作用下，物體處于平圖 1B衡狀態(tài)，那么各力的大小分別與另外兩個力夾角的正弦成正比。如右圖 2 所示，表達(dá)式為：2FF1/ Sin =F2/ Sin =F3/ Sin F3此法適用于三力構(gòu)成的是銳角或鈍角三角形?！纠?2】如圖，船 A從港口 P 出發(fā)支攔截正以速度 v

4、0 沿直線航行F 1圖 2的船 B， P 與 B 所在航線的垂直距離為a ， A 船啟航時， B 船與 P的距離為 b ， b a ，如果略去A 船啟動時的加速過程，認(rèn)為它一啟航就做勻速運動，求：（ 1） A 船能攔到 B 船的最小速率 v ；（ 2） A 船攔到 B 船時兩船的位移.解析：（ 1）設(shè)兩船在C 相遇在 PBC中，vtv0 tRRvRav0 ，式中 RbR當(dāng)=900 時，即 v 跟 PB垂直時， v 最小，最小速率為 va v0b（2）攔到船時，A 船位移為sA答案：（ 1） va v0 （ 2） sAbabb 2b2a 2B 船位移為 sBa 2b2absBb 2b2a 2a

5、2b2【練習(xí)】如圖所示，臨界角C 為 450 的液面上有一點光源S 發(fā)出一束光垂直人射到水平放置于液體中且距液面為d 的平面鏡M上當(dāng)平面鏡 M繞垂直過中心 O 的軸以角速度 做逆時針勻速轉(zhuǎn)動時，觀察者發(fā)現(xiàn)水面上有一光斑掠過 則觀察者觀察到的光斑在水面上掠過的最大速度為多少 ?解析：當(dāng)平面鏡 M 以角速度逆時針轉(zhuǎn)動時，反射光線將以角速度 2 同向轉(zhuǎn)動反射光線射到水面形成的光斑( 應(yīng)是人看到折射光線出射處) 由 S向左沿水面移動將其移動速度v 分解如圖由圖可知越大， OP 越大， v 越大但當(dāng)450時，反射光線 OP將在水面上發(fā)生全反射觀察者將看不到光斑，因此，當(dāng)角非常接近045時觀察者看到的光斑

6、移動速度最大，其值為v2OP22d2d4dvmcoscos2cos(2)22答案： 4d【練習(xí)】 如圖 3 所示，小球質(zhì)量為，置于傾角為的光滑斜面上，m懸線與豎直方向的夾角為，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。 求斜面對小球的支持力FN 和懸線對小球的拉力F。FF【解析】選小球為研究對象，小球受力如圖所示，球受三個力作用而處于平衡狀態(tài)。根據(jù)正弦定理得：F/sin (180 o )= FN/sin (180 o )= mg /si n( + )即 F/sin =FN/sin =mg/sin ( +)mg所以 F=mg? sin / sin ( +)F N=mg? sin / sin ( + )圖 3.課時 2幾

7、何的知識應(yīng)用 ( 二)課時 3圖象法物理圖像能形象地表達(dá)物理規(guī)律、直觀地描述物理過程、 鮮明地表示物理量之間的相互關(guān)系.因此 ,圖像在中學(xué)物理中應(yīng)用廣泛，是分析物理問題的有效手段之一. 高考考綱明確指出，必要時考生能運用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析。在高考試題中對圖像問題的考查主要集中在作圖（即直接根據(jù)題目要求作圖）、用圖（包括從題給圖像中獲取信息幫助解題以及根據(jù)題意作出相關(guān)圖像來幫助解題）兩個方面。對作圖題， 在描繪圖像時， 要注意物理量的單位、坐標(biāo)軸標(biāo)度的適當(dāng)選擇及函數(shù)圖像的特征等 , 特別要注意把相關(guān)物理量的數(shù)值在坐標(biāo)軸上標(biāo)示清楚.對用圖題中要求從題給圖像獲取信息幫助解題類問題，要注

8、意正確理解圖像的內(nèi)涵：如明確圖像所代表的物理過程；弄清坐標(biāo)所代表的物理量及其單位，進(jìn)而弄清圖線上各點讀數(shù)的物理意義； 弄清圖線與坐標(biāo)軸上的截距的物理意義；弄清圖線與坐標(biāo)軸所圍面積的物理意義；弄清圖線漸近線的物理意義；弄清圖線上一些特殊點（如圖線的拐點、端點、極值點及兩條圖線的交點等）的物理意義等 .對用圖題中要求根據(jù)題意作出相關(guān)圖像來幫助解題類問題，要根據(jù)題意把抽象的物理過程用圖線表示出來，將物理量間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系, 運用圖像直觀、簡明的特點，分析解決物理問題 .方法綜述1“圖”在 物理學(xué)中有著十分重要的地位，它是將抽象的物理問題直觀化、形象化的最佳工具。作為一種解決問題的方法，圖解

9、法具有簡易、方便的特點，學(xué)習(xí)中應(yīng)通過針對性訓(xùn)練、強(qiáng)化對圖像的物理意義的理解，以達(dá)到熟練應(yīng)用圖像處理物理問題，熟能生巧的目的。2. 中學(xué)物理常用的“圖”有示意圖、過程圖、函數(shù)圖、矢量圖、電路圖和光路圖等。若題干和選項中已給出函數(shù)圖，需從圖像橫、縱坐標(biāo)所代表的物理意義，圖線中的“點”、“線”、“斜率”、“截距”、“面積”等諸多方面尋找解題的突破口。即使題干和選項中沒有出現(xiàn)函數(shù)圖，有時用圖象法解題不但快速、準(zhǔn)確，而且還可以避免繁雜的中間運算過程，甚至可以解決用計算分析無法解決的問題?！纠?4】一位蹦床運動員僅在豎直方向上運動，彈簧床對運動員的彈力F 的大小隨時間t 的變化規(guī)律通過傳感器用計算機(jī)繪制出

10、來，如圖所示. 重力加速度g 取 10m/s2, 試結(jié)合圖象，求運動員在運動過程中的最大加速度.第14 題圖.解：由圖象可知，運動員的重力為mg 500N彈簧床對運動員的最大彈力為Fm2500N由牛頓第二定律得F mg mam則運動員的最大加速度為a 40m/s2m（ 本題也可以求上升的最大高度）【練習(xí)】“神舟”六號飛船完成了預(yù)定的空間科學(xué)和技術(shù)實驗任務(wù)后返回艙開始從太空向地球表面按預(yù)定軌道返回，返回艙開始時通過自身制動發(fā)動機(jī)進(jìn)行調(diào)控減速下降，穿越大氣層后，在一定的高度打開阻力降落傘進(jìn)一步減速下落，這一過程中若返回艙所受空氣摩擦阻力與速度的平方成正比，比例系數(shù)（空氣阻力系數(shù)）為k，所受空氣浮力

11、恒定不變，且認(rèn)為豎直降落。從某時刻開始計時，返回艙的運動vt圖象如圖中的曲線所示，圖中是曲ADAB線在 A 點的切線，切線交于橫軸一點B，其坐標(biāo)為（ 8，0），CD是曲線 AD的漸進(jìn)線，假如返回艙總質(zhì)量為M=400kg， g=10m/s2，求（ 1）返回艙在這一階段是怎樣運動的？（ 2）在初始時刻 v=160m/s，此時它的加速度是多大？（ 3）推證空氣阻力系數(shù) k 的表達(dá)式并計算其值。.課時 4圖象法（二）課時 5函數(shù)法（極值問題）數(shù)學(xué)方法包括（ 1）用三角函數(shù)關(guān)系求極值； （ 2）用二次方程的判別式求極值； （ 3）用不等式“和積不等式”的性質(zhì)求極值?！纠?5】 物體放置在水平地面上，物理

12、與地面之間的動摩擦因數(shù)為，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運動，所用的最小拉力F 為多大？該題的已知量只有 和 G，說明最小拉力的表達(dá)式中最多只含有 和 G ，但是，物體沿水平地面做勻速直線運動時，拉力 F 可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根據(jù)題意先找到F 與夾角有關(guān)的關(guān)系式再作分析。解：設(shè)拉力 F 與水平方向的夾角為，根據(jù)題意可列平衡方程式，即 F cosf 0 N F sinG f N 由聯(lián)立解得：FGGG2 (sin cos cos sin ),sincos112 sin()其中 tan1 FminG,12NfFmg.OLA T.C vmgB【例 6】：一輕繩一端固定在O

13、點，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后.無初速度的釋放， 如圖所示，小球在運動至輕繩達(dá)到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值？解：當(dāng)小球運動到繩與豎直方向成 角的 C 時，重力的功率為：P=mg cos=mgsin 小球從水平位置到圖中C 位置時，機(jī)械能守恒有：mgL cos1mv2 2解可得： Pmg 2gL cos sin 2令 y=cossin ycossin 21(2 cos2sin 4)21 (2 cos2sin 2sin 2)2又2 cos2sin 2sin 22(sin 2cos2 ) 2根據(jù)基本不等式 a bc3abc ，定和求積知：當(dāng)且僅當(dāng) 2cos

14、2sin2，y 有最大值由 2 cos21cos2得 ：cos33結(jié)論：當(dāng) cos3時， y 及功率 P 有最大值。3課時 6函數(shù)法課堂訓(xùn)練【練習(xí)】（作圖法）從車站開出的汽車作勻加速運動，它開出一段時間后，突然發(fā)現(xiàn)有乘客未上車，于是立即制動做勻減速運動，結(jié)果汽車從開動到停下來共用20 秒，前進(jìn)了 50 米。求這過程中汽車達(dá)到的最大速度。V/m.s -1解：設(shè)最大速度為 v , 即加速階段的末速度為 v ：mm畫出其速度時間圖象如右圖所示，圖線與t 軸圍成的面0t20積等于位移。即：1S t Vm2即：501V解得：Vms220 mm5 /.【練習(xí)】如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為2m的小球 B

15、連接著輕質(zhì)彈簧，處于靜止；質(zhì)量為 m的小球 A 以初速度 v0 向右勻速運動， 接著逐漸壓縮彈簧并使 B 運動，過一段時間， A 與彈簧分離，設(shè)小球 A、 B 與彈簧相互作用過程中無機(jī)械能損失，彈簧始終處于彈性限度以內(nèi)（1）求當(dāng)彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能E（ 2）若開始時在小球 B 的右側(cè)某位置固定一塊擋板 ( 圖中未畫出 ) ，在小球 A 與彈簧分離前使小球 B與擋板發(fā)生正撞， 并在碰后立刻將擋板撤走 設(shè)小球 B與固定擋板的碰撞時間極短，碰后小球 B的速度大小不變、 但方向相反。 設(shè)此后彈簧彈性勢能的最大值為Em ，試求 Em 可能值的范圍ABmv02m第18 題圖解：（ 1）當(dāng) A 球與彈簧接觸以后， 在彈力作用下減速運動， 而 B 球在彈力作用下加速運動，彈簧勢能增加，當(dāng) A、 B 速度相同時，彈簧的勢能最大設(shè) A、 B 的共同速度為v，彈簧的最大勢能為E，則 A、 B系統(tǒng)動量守恒，有mv0(m2m) v由機(jī)械能守恒1 mv021 ( m2m)v2E22聯(lián)立兩式得E1 mv023（2）設(shè) B球與擋板碰撞前瞬間的速度為vB，此時 A的速度為 vA系統(tǒng)動量守恒mv0mvA2mvBB 與擋板碰后，以vB向左運動，壓縮彈簧，當(dāng)A、 B