1、用公式法解一元二次方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解一元二次方程的含義2初步掌握用直接開(kāi)平方法解一元二次方程，會(huì)用直接開(kāi)平方法解形如(xa)2b(b0)的方程3初步掌握用配方法解一元二次方程，會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程4掌握一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)，能夠運(yùn)用求根公式解一元二次方程【主體知識(shí)歸納】1整式方程 方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式，這樣的方程叫做整式方程2一元二次方程 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程3一元二次方程的一般形式為ax2bxc0(a0)，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)4直接開(kāi)平方

2、法 形如x2a(a0)的方程，因?yàn)閤是a的平方根，所以x，即x1，x2這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法5配方法 將一元二次方程ax2bxc0(a0)化成(x)2的形式后，當(dāng)b24ac0時(shí)，用直接開(kāi)平方法求出它的根，這種解一元二次方程的方法叫做配方法用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步驟是：(1)將方程的兩邊都除以二次項(xiàng)的系數(shù)，把方程的二次項(xiàng)系數(shù)化成1；(2)將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；(4)當(dāng)右邊是非負(fù)數(shù)時(shí)，用直接開(kāi)平方法求出方程的根6公式法 用一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式x(b24ac0)，這種解一元二次方程的方法叫做公式

3、法【基礎(chǔ)知識(shí)講解】1一元二次方程的概念包涵三個(gè)條件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2”一元二次方程的概念中“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2”是對(duì)化成一般形式之后而言的例如，判斷方程2x22x12x2是否是一元二次方程？應(yīng)先整理方程，得2x10，所以此方程不是一元二次方程2在求二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2bxc0，再確定所求方程ax2bxc0只有當(dāng)a0時(shí)，才是一元二次方程，例如a0，b0時(shí)，它就是一元一次方程，因此，如果明確指出ax2bxc0是一元二次方程，那么就一定包括a0這個(gè)條件3直接開(kāi)平方法適用于解

4、化為x2a形式的方程，當(dāng)a0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解；當(dāng)a0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解4配方法是先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解；如果右邊是負(fù)數(shù)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解5求根公式是針對(duì)一元二次方程的一般形式來(lái)說(shuō)的，使用求根公式時(shí)，必須先把方程化成一般形式，才能正確地確定各項(xiàng)系數(shù)，在應(yīng)用公式之前，先計(jì)算出b24ac的值，當(dāng)b24ac0時(shí)，代入公式求出方程的根；當(dāng)b24ac0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，這時(shí)就不必再代入公 式了【例題精講】例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：(1)5x263x(2x1)；(2)8x2x；(3)y3y10；(4

5、)4x23y0；(5)x20；(6)x(5x1)x(x3)4x2剖析：判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，首先要對(duì)方程進(jìn)行整理，化成一般形式，然后再根據(jù)條件：整式方程；只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2只有當(dāng)這三個(gè)條件缺一不可時(shí)，才能判斷為一元二次方程解：(1)去括號(hào)，得5x266x23x，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x23x60，此方程是一元二次方程(2)移項(xiàng)，得8x2x0，此方程是一元二次方程(3)因?yàn)槲粗獢?shù)的最高次數(shù)是3，此方程不是一元二次方程(4)方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，它不是一元二次方程(5)a10，它是一元二次方程(6)整理，得4x0它不是一元二次方程例2：寫(xiě)出下列一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、

6、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)：(1)2x23x5；(2)(x1)(x1)1；(3)(x2)240剖析：雖然該題沒(méi)有要求把方程化成一般形式，但在做題時(shí)，也要先把方程化成一般形式因?yàn)榉匠痰亩雾?xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)是在方程為一般形式下的，所以必須先整理方程解：(1)整理，得2x23x50二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是3，常數(shù)項(xiàng)是5(2)整理 ，得x220二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是0，常數(shù)項(xiàng)是2(3)整理，得x24x0二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是4，常數(shù)項(xiàng)是0例3:關(guān)于x的整式方程(m1)x2(2m1)x40是一元二次方程嗎?剖析：要判別原方程是否是一元二次方程，易想到用定義，滿足條件：(1)整式方程；(

7、2)方程中只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2原方程顯然滿足(1)、(2)由于不知m是怎樣的實(shí)數(shù)，所以不一定滿足(3)因此，需分類探討解：當(dāng)m10，即m1時(shí)，原方程是一元二次方程當(dāng)m10，即m1時(shí)，原方程是x40是一元一次方程說(shuō)明：在移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)時(shí)，易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，需格外小心，要認(rèn)真區(qū)別題目要求是指出方程的各項(xiàng)還是各項(xiàng)系數(shù)特別要小心當(dāng)某項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指出各項(xiàng)時(shí)千萬(wàn)不要丟負(fù)號(hào)例4:用直接開(kāi)平方法解下列方程：(1)3x2270；(2)(3x5)270解：(1)3x2270，3x227，x29，x，即x3或x3x13，x23(2)(3x5)270，(3x5)27，3x5，即3x5或3

8、x5x1，x2例5：用配方法解方程2x27x40剖析：此題考查對(duì)配方法的掌握情況配方法最關(guān)鍵的步驟是：(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；(2)將常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)、一次項(xiàng)分開(kāi)在等式兩邊；(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可化為(xa)2k的形式，然后用開(kāi)平方法求解解：把方程的各項(xiàng)都除以2，得x2x20移項(xiàng)，得x2x2配方，得x2x()22()2，即(x)2解這個(gè)方程，得x，x即x1，x24說(shuō)明：配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，除了用來(lái)解一元二次方程外，還在判斷數(shù)的正、負(fù)，代數(shù)式變形、恒等式的證明中有著廣泛的應(yīng)用，例如證明不論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x24x3的值恒大于零，可以做如下的變形：2x24x32

9、x24x212(x1)21例6：用公式法解下列方程：(1)2x27x4；(2)x212x解：(1)方程可變形為2x27x40a2，b7，c4，b24ac7242(4)810，xx1，x24(2)方程可變形為x22x10a1，b2，c1，b24ac(2)241(1)160xx12，x22說(shuō)明：在用公式法解方程時(shí)，一定要先把方程化成一般形式例7：一元二次方程(m1)x23m2x(m23m4)0有一根為零，求m的值及另一根解：因?yàn)榉匠逃幸桓鶠榱?，所以它的常?shù)項(xiàng)m23m40，解得m11，m24，又因?yàn)榇朔匠淌且辉畏匠蹋詍10，即m1，所以m4把m4代入方程，得5x248x0，解得：x10，x2

10、9.6，所以方程的另一根為9.6說(shuō)明：方程有一根為零時(shí)，常數(shù)項(xiàng)必須為零；求解字母系數(shù)的一元二次方程的問(wèn)題中，二次項(xiàng)系數(shù)的字母必須保證二次項(xiàng)系數(shù)不等于零，這是解此類問(wèn)題的先決條件【同步達(dá)綱練習(xí)】1選擇題(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A0B0 Cx22xy10D5x3x1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )Ax21B0.01x202x0.10C x23x0Dx2x(x21)(3)方程3x242x的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為( )A3，4，2B3，2，4C3，2，4D2，2，0(4)一元二次方程2x2(a1)xx(x1)1的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為1，則a的值為( )A1

11、B1C2D2(5)若方程(m21)x2xm0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是( )Am0Bm1Cm1且m1Dm1或m1(6)方程x(x1)0的根為( )A0B1C0，1D0，1(7)方程3x2750的解是( )Ax5Bx5Cx5D無(wú)實(shí)數(shù)根(8)方程(x5)26的兩個(gè)根是( )Ax1x25Bx1x25Cx15，x25Dx15，x25 (9)若代數(shù)式x26x5的值等于12，那么x的值為( )A1或5B7或1C1或5D7或1(10)關(guān)于x的方程3x22(3m1)x2m15有一個(gè)根為2，則m的值等于( )A2BC2D2把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)

12、項(xiàng)：(1)4x19x2；(2)(x1)(x3)2x3；(3)(x3)(x3)2(x3)2；(4)y2yy2y3當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，方程(m1)x24mx4m20是一元二次方程?當(dāng)x0時(shí)，求m的值4用直接開(kāi)平方法解下列方程：(1)x2；(2)x2196；(3)3x2480；(4)4x210；(5)(x1)2144；(6)(6x7)2905用配方法解下列方程：(1)x212x0； (2)x212x150 (3)x27x20；(4)9x26x10； (5)5x22x； (6)3x24x26用公式法解下列方程：(1)x22x10；(2)x(x8)16； (3)x2x2；(4)08x2x03；(5)4x

13、210；(6)x27x； (7)3x212x；(8)12x27x107(1)當(dāng)x為何值時(shí)，代數(shù)式2x27x1與4x1的值相等?(2)當(dāng)x為何值時(shí)，代數(shù)式2x27x1與x219的值互為相反數(shù)?8已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且b1(c3)20，解方程ax2bxc09已知abc0求證：1是關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0的根10用配方法證明：(1)3y26y11的值恒大于零；(2)10x27x4的值恒小于零11證明：關(guān)于x的方程(a28a20)x22ax10，不論a為何實(shí)數(shù)，該方程都是一元二次方程【思路拓展題】怎樣付車費(fèi)才合理節(jié)假日里，乘坐出租車出游成為城市市民經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的一種選擇，朋友們合乘一輛出租車

14、，AA制(即平均分?jǐn)?方式分?jǐn)傑囐Y是一種合理且現(xiàn)代的消費(fèi)方式有一次，甲、乙、丙三位朋友合乘一輛出租車，講好大家分?jǐn)傑囐Y，甲在全程的處下車，乙在全程的處下車，最后丙一人坐到了終點(diǎn)，共付了90元錢(qián)請(qǐng)你算一算，甲、乙應(yīng)該付給丙多少車費(fèi)?參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】1(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7) C (8)D (9)B (10)D2(1)9x24x10，9，4，1； (2)x24x0，1，4，0； (3)x212x270，1，12，27； (4)()y2()y0， ，3m1，m4(1)x1，x2；(2)x114，x214；(3)x14，x24；(4)x1，x2； (5)x113，x211；(6)x1，x25(1)x10，x212；(2)x16，x26；(3)x1，x2；(4)x1，x2； (5)x1，x2；(6)x1，x26(1)x1x21；(2)x144，x244；(3)x1，x2；(4)x1，x2；(5)x1，x2；(6)x10，x27；(7)x1x2；(8)x1