1、第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正一、教學(xué)目的和要求了解離散系統(tǒng)的基本概念；信號的采樣與保持。二、重點、難點信號的采樣與保持。三、教學(xué)內(nèi)容： 引入 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別，對于計算機控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計。一 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一處或幾處信號是一串脈沖或數(shù)碼，稱之為離散系統(tǒng)。學(xué)習(xí)離散系統(tǒng)分析設(shè)計方法的目的：用于計算機控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計。周期采樣：如果在有規(guī)律的間隔上，系統(tǒng)取到了離散信息，則這種采樣成為周期采樣。反之，如果信息之間的間隔是時變的，或隨機的，則稱為非周期采樣，或隨機采樣。采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu) 如圖7-1所示為典型的采樣控制系統(tǒng)原理框圖，圖中，e(t)是連續(xù)信號，s為

2、采樣開關(guān)， e*(t) 離散信號。圖71采樣控制系統(tǒng)采樣：在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程稱為采樣過程，簡稱采樣。實現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器或采樣開關(guān)(s)。 在實際系統(tǒng)中，由于對象的控制往往是連續(xù)的，因此脈沖序列信號經(jīng)過脈沖控制器實現(xiàn)各種控制算法(相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng)中的校正) 校正仍為脈沖序列信號，因此必須將其轉(zhuǎn)化為連續(xù)的模擬信號，保持器即可實現(xiàn)這功能。所以采樣器和保持器是采樣控制系統(tǒng)中的兩個特殊環(huán)節(jié)(與連續(xù)系統(tǒng)相比)。在圖7-1中，采樣誤差信號e*(t)是通過采樣開關(guān)s對連續(xù)信號e(t) 采樣而獲得的。如下圖所示。連續(xù)信號及保持器的輸入與輸出若采樣周期為t，則采樣頻率為，,而采樣

3、角頻率為。實際應(yīng)用由于采樣開關(guān)閉合的時間極短，采樣持續(xù)時間遠(yuǎn)小于t。為了簡化系統(tǒng)的分析，可認(rèn)為趨于零，這樣可以把采樣器(s)的輸出近似看成一串強度等于矩形脈沖面積的理想脈沖e*(t)。在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號的過程稱為信號的復(fù)現(xiàn)過程。實現(xiàn)信號系統(tǒng)的裝置叫保持器。當(dāng)采樣頻率足夠高時，保持器的輸出eh(t) 接近于連續(xù)信號。采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖圖72誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)二 數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)是以數(shù)字計算機為控制器的閉環(huán)控制系統(tǒng)，其典型原理結(jié)構(gòu)圖如7-3所示。圖7-3以數(shù)字計算機為控制器的閉環(huán)控制系統(tǒng)（1）a/d轉(zhuǎn)換器把連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換成離散的數(shù)字信號的裝置。它包括兩

4、個過程：一是采樣過程，即每隔對連續(xù)信號進行一次采樣，使e(t) e*(t)；二是量化過程，即把e*(t)表示成二進制數(shù)字，便于數(shù)字控制器進行計算。（2）d/a轉(zhuǎn)換器把離散信號連續(xù)模擬信號的裝置。也經(jīng)過兩個過程：一是解碼過程，把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為離散的模擬信號；二是把離散的模擬信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬信號，以便于直接控制連續(xù)的被控對象。（3）數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖 如圖7-4所示圖7-4數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖三 離散控制系統(tǒng)的特點（1）由數(shù)字計算機構(gòu)成的數(shù)字校正裝置，效果比連續(xù)式校正裝置好，且由軟件實現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。（2）采樣信號，特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提

5、高了系統(tǒng)的抗擾能力。（3）允許采用高靈敏度的控制元件，以提高系統(tǒng)的控制精度。（4）可用一臺計算機分時控制若干個系統(tǒng)，提高了設(shè)備的利用率，經(jīng)濟性好。（5）對于具有傳輸延遲，特別是大延遲的控制系統(tǒng)，可以引入采樣的方式穩(wěn)定。（6）采樣系統(tǒng)的研究方法：采用z變換，研究方法：連續(xù)系統(tǒng)研究方法的推廣。四 信號的采樣與保持1、采樣過程 采樣器連續(xù)信號脈沖序列信號的裝置，又稱采樣開關(guān)，采樣器的采樣過程可以用一個周期性閉合的采樣開關(guān)s來表示。如圖7-5所示。圖7-5實際的采樣過程當(dāng)<<t時，認(rèn)為，則上述的e*(t)可以看成是由單位脈沖序列與e(t)的調(diào)制而得到的，因此采樣過程可以看成是一個幅值調(diào)制過

6、程。理想開關(guān)好象是一個載波為的幅值調(diào)速器。如圖7-6所示。圖 7-6 理想采樣過程 這樣，調(diào)制后的各脈沖強度(即面積)可以用其高度來表示，它們等于相應(yīng)采樣瞬時t=nt時e(t)的幅值。 其數(shù)學(xué)描述為：e*(t)= e(t) 而 其中是出現(xiàn)時刻t=nt時，強度(面積)為1的單位脈沖，且連續(xù)信號在時才出現(xiàn)，又有因e(t)只有在采樣瞬時(時刻)才有定義，故上式可寫成：這里 e(t)=0，t<0時的任何時刻。在實際控制中這一點是可以實現(xiàn)的。2、采樣過程的數(shù)學(xué)描述 （1）、采樣過程的拉氏變換因： (位移定理)所以注意： (1) 不能給出兩樣時刻之間的信息(2) 與非常類似，但是一個脈沖序列。例：設(shè)

7、，求e*(t)的拉氏變換。解：（） （2）、采樣信號的頻譜 前面討論了采樣過程的數(shù)學(xué)描述，那么，采樣周期如何決定？多大的采樣周期或采樣頻率才能使采樣信號無失真地恢復(fù)到原來的 連續(xù)信號？與之間有什么樣的關(guān)系？因它是一個以t為周期的周期函數(shù)，可以展開付氏級數(shù)形式，即式中：采樣角頻率；付氏級數(shù)，其值為 因僅在時有值，且，所以故 所以：時域描述這是描述采樣過程性質(zhì)的一個非常重要的式子。它表明，是以為周期的周期函數(shù)，同時，還描述了與之間的重要關(guān)系。如果沒有右半s平面的極點，則可令，得到采樣信號的付氏變換其中，為連續(xù)信號的付氏變換，上式描述了連續(xù)信號和離散信號頻譜之間的關(guān)系。一般情況下，連續(xù)信號的頻譜是單

8、一的連續(xù)頻譜，其帶寬是有限的，即上下限頻率分別可表示為和-，如圖7-7(a)所示，而的頻譜，則是以為周期的無窮多個頻譜之和，如圖7-7(b)所示。0h-h圖7-7(a)連續(xù)信號頻譜0h-h-ss2s圖7-7(b)采樣信號頻譜圖7-7在圖7-7(b)中，n=0的頻譜稱為采樣頻譜的主分量，如曲線1所示，它與連續(xù)頻譜形狀一致，僅在幅值上變化了倍；其余頻譜都是由于采樣而引起的高頻頻譜，稱為采樣頻譜的補分量，如圖線2所示。圖7-7(b)表明的是采樣頻率大于兩倍這一情況。如果加大采樣周期t，相應(yīng)減小，當(dāng)時，采樣頻譜中的補分量相互交迭，致使采樣器輸出信號發(fā)生畸變。如圖7-8所示。在這種情況下，即使使用圖7-

9、9所示的理想濾波器也無法恢復(fù)原來的連續(xù)信號的頻譜。因此要想從中完全實現(xiàn)，對應(yīng)有一定的要求。0圖7-8s<2h采樣信號頻譜0ss2圖7-9理想濾波器的頻率特性五、香農(nóng)采樣定理 香農(nóng)采樣定理指出：如果采樣器的輸入信號具有有限帶寬，并且有直到的頻率分量，則只要采樣周期滿足下列條件信號可以完滿地從采樣信號中恢復(fù)過來。即只有當(dāng)時，才能無失真地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號，這就是著名的香農(nóng)采樣定理。簡稱采樣定理。這是設(shè)計采樣系統(tǒng)的一個非常重要的依據(jù)。從香農(nóng)定理可知，在滿足的條件下，離散信號的頻譜互不重疊。這時可用一個理想的濾波器濾去高頻頻譜分量，保留主頻譜，從而無失真的保留原有的連續(xù)信號。但是，上述理想濾波

10、器實際上是不存在的，也是不能實現(xiàn)的。有些是系統(tǒng)中連續(xù)部分本身就是一個濾波器，而大部分是要尋求在特性上接近理想濾波器而物理上又是可以實現(xiàn)的濾波器。在采樣系統(tǒng)中應(yīng)用的保持器也是這樣一種實際的濾波器。六、信號保持把數(shù)字信號轉(zhuǎn)化為連續(xù)信號的裝置，稱為保持器零階保持器 是一種按常值外推的保持器。保持器單位脈沖響應(yīng)保持器的頻率特性：零階保持器頻率特性與理想濾波器頻率特性不同，不能實現(xiàn)完全復(fù)現(xiàn)。零階保持器有相角延遲（近似可視為一個環(huán)節(jié)）對系統(tǒng)性能不利。7-2 z變換理論一、教學(xué)目的和要求了解分析和設(shè)計離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具。二、重點z變換理論。三、教學(xué)內(nèi)容：采樣信號的拉氏變換是s的超越函數(shù)，不便于分析處理，故引

11、入z變換的工具。一z變換的定義設(shè)連續(xù)函數(shù)是可拉氏變換的，則拉氏變換定義為 由于時，有，故上式亦可寫成而有因故所以也可以直接由延遲定理根據(jù)直接求因為s的超越函數(shù)。為方便于應(yīng)用，令，式中，t為采樣周期，z是在平面上定義的一個變量（因s為復(fù)變量），通常稱z變換算子。計作，后一記號是為書寫方便，并不意味是連續(xù)信號的z變換，而是仍指采樣信號的變換。應(yīng)指出：因z變換所考慮的是連續(xù)函數(shù)經(jīng)采樣后的采樣函數(shù)，或是連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的采樣值，它并不反映各采樣時刻之間的值。從這個意義上講，和具有相同的z變換。即對應(yīng)的z變換是唯一的，但一個離散函數(shù)所對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)卻不是唯一的，而是有無窮多個，即不對應(yīng)唯一的z變換。二

12、、z變換方法：（1）級數(shù)求和法（即根據(jù)定義求）例：求的變換。解：因在所有采樣時刻上的值均為，故有若，則 例：已知求。解： （）（2）部分分式法方法：已知分解。例：，求。解： 由上結(jié)果： 故 可查7-2表使用。三、z變換性質(zhì)(1)、線性定理若，a為常數(shù)，則 （2）、實數(shù)位移定理設(shè)，則延遲定理或滯后定理 超前定理（3）復(fù)數(shù)位移定理 設(shè)，則 （4）終值定理 設(shè)，則 （5）卷積定理設(shè)和為兩個采樣函數(shù)，其離散卷積定義為 則卷積定理為：若必有。四、z反變換即（1）、部分分式法 ；然后查表求出。（2）、冪級數(shù)法設(shè)（）按升冪長除 （） 五、關(guān)于z變換的說明（1）z變換的唯一性 唯一，但不唯一。（2）z變換的取

13、值區(qū)間。作業(yè)：7-8(2),(3)7-3 脈沖傳遞函數(shù)一、教學(xué)目的和要求掌握離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立。二、重點求傳遞函數(shù)方法。三、教學(xué)內(nèi)容： 1、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義線性離散系統(tǒng)、非線性離散系統(tǒng)、線性定常離散系統(tǒng)2、線性定常系數(shù)差分方程及其解法（1）迭代法。（2）z變換法。3、脈沖傳遞函數(shù)（1）、脈沖傳遞函數(shù)的定義：零初始條件下，離散系統(tǒng)輸出脈沖序列z變換與輸入脈沖序列z變換之比。g(z)是離散信號到離散信號之間的傳遞關(guān)系；是線性系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）與采樣開關(guān)組合體的脈沖傳遞函數(shù)。（2）g(z)的求法：（3）g(z)的性質(zhì)：g(z)是復(fù)變量z的有理分式； 是系統(tǒng)響應(yīng)序列的z變換；書上例7-18、7-19

14、4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（1）環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)相隔時：（2）環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)相隔時：一般，（3）帶有零階保持器時的情況零階保持器不斷增加系統(tǒng)的階次；不改變系統(tǒng)開環(huán)極點；它只影響開環(huán)零點。5、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 由于采樣開關(guān)的位置不同，所以離散閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式不是統(tǒng)一的，圖7-19是常見的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，圖中輸入端和輸出端的采樣開關(guān)是為了方便分析而虛設(shè)的。所有采樣開關(guān)都是同步的，且具有相同的采樣周期t。由圖可見： c*(t)c(t)c(z)b(z)b*(t)(z)e(z)e*(t)r(z)r*(t)e(t)r(t)g(s)h(s)典型閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖或?qū)懗桑喝變換：系統(tǒng)輸出：所以： 則： 得：

15、由于： 故： 定義：為閉環(huán)離散系統(tǒng)對輸入量的誤差脈沖傳遞函數(shù)。而 為閉環(huán)離散系統(tǒng)對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 若，則與連續(xù)系統(tǒng)類似，令或的分母為零，便可得到閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程：注意：若處沒有采樣開關(guān)，則,將無法求出。熟悉典型閉環(huán)離散系統(tǒng)及輸出z變換函數(shù)（表7-3）作業(yè)：7-137-4 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、教學(xué)目的和要求掌握離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷與分析。二、重點離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件與三種穩(wěn)定性判據(jù)。三、教學(xué)內(nèi)容：1、s域到z域的映射令，映射到z域則為令，當(dāng)變到時，在z平面上的軌跡是單位圓，方向由負(fù)到正變化(逆時針方向變化)當(dāng)從時為一周，當(dāng)從時為又一周。從為主要帶，其余周期為次

16、要帶。s1-1-11js2s23s23s2次要帶次要帶主要帶圖7-341、等線映射s上的等垂線平面上為同心圓，半徑為，當(dāng)時為單位圓，當(dāng)時在單位圓處，當(dāng)時為單位圓內(nèi)。s平面j0-圖7352、等線 在t一定下，等水平線映射到z平面上的軌跡是一簇以原點出發(fā)的射線，其相角從正實軸計量。的水平線z的負(fù)實軸 t圖736 3、等線1=0=+s4s23s4圖737j 線的描述s上 即： 于是： 可見，除和900外，當(dāng)為常數(shù)時，左半s平面上的等線，映射到z平面上單位圓內(nèi)一簇收斂螺旋線，其起點為z平面上正實軸的1處，終點為z平面上的原點。(當(dāng)取時如何?)j圖7-38j+1z綜上分析，有了以上的映射關(guān)系，s平面上周

17、期帶在z平面上的映射，設(shè)s平面上的主要帶如圖7-38(a)所示，通過變換，映射到z平面上的單位圓及單位圓內(nèi)的負(fù)實軸，如圖7-38(b)所示。類似的，由于 因此，s上所有次要帶，在s上的映射為相同的單位圓及單位圓內(nèi)的負(fù)實軸。2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件若多數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為對s左半平面映射到z平面上的單位圓內(nèi)，對應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域；對s右半平面映射到z平面上的單位圓外，對應(yīng)不穩(wěn)定區(qū)域；s平面上虛軸，映射為z平面上的單位圓，對應(yīng)臨界穩(wěn)定，因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)離散特征方程的全部特征根均分布在z單位圓內(nèi)，或者特征方程根的模均小于1，即，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。應(yīng)當(dāng)指出：二階連續(xù)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但

18、引入采樣器后，二階離散系統(tǒng)卻有可能是不穩(wěn)定的。3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)1、變換與勞斯穩(wěn)定判據(jù)為了使z上單位圓在新的坐標(biāo)軸為虛軸，而單位圓內(nèi)的新坐標(biāo)系的左半平面，單位圓外為新坐標(biāo)系的右半平面，需要引入變換，這種新的坐標(biāo)變換稱之為雙線性變換，或稱為變換。(注意這里的變換是線性的)若令(或)，則有。z與互為線性變換，故變換又稱雙線性變換令則故xyz0jvu因上式分母始終為正，故等價為，該式表明，平面的虛軸對應(yīng)z平面上的單位圓；等價于，對應(yīng)z圓內(nèi)；等價于，對應(yīng)z圓外。圖7-39這樣，轉(zhuǎn)換為平面上，故可以用routh判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這種方法相應(yīng)稱為域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。2、朱利穩(wěn)定判據(jù)避免直接解根，由

19、d(z)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)特征根為：列朱利矩陣：元素定義：，系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：4、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1、穩(wěn)態(tài)誤差主要取決于兩個方面，一個是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，一個是輸入信號的性質(zhì)。這里主要討論用終值定理求解的問題。為討論方便取,則 其中 =如果的極點全部位于z平面的單位圓內(nèi)，即系統(tǒng)穩(wěn)定，則可用z變換終值定理求解。定義： 或e(z)=在z平面上，極點z是與s平面中相對應(yīng)(因z當(dāng)z1時，必有s0)和連續(xù)系統(tǒng)一樣，離散系統(tǒng)可以按其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)g(z)有0、1、2、個z=1的極點而分別稱為0、型系統(tǒng)。2 、離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)型別v000i0000作業(yè)：7-167-5 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正一

20、、教學(xué)目的和要求掌握離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析和數(shù)字校正方法。二、重點最少拍系統(tǒng)設(shè)計、無波紋最少拍系統(tǒng)設(shè)計。三、教學(xué)內(nèi)容： 1、離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、既有采樣器，又有保持器的情況。由于當(dāng)時長除展開得這樣可求得 2. 采樣器和保持器對動態(tài)性能的影響討論連續(xù)系統(tǒng)和相應(yīng)的離散系統(tǒng)（分帶零階保持器和不帶零階保持器的兩種情況）的階躍響應(yīng)指標(biāo)，設(shè)；連續(xù)系統(tǒng)：離散系統(tǒng)i（不帶zoh）離散系統(tǒng)ii（帶zoh）三種情況的性能指標(biāo)如表71所示 系統(tǒng)類型時域指標(biāo)連續(xù)系統(tǒng) 離散系統(tǒng)（只有采樣器） 離散系統(tǒng)（既有采樣器又有保持器）峰值時間（s） 3.6 3 4調(diào)節(jié)時間(s) 5.3 5 12超調(diào)量 16.3% 20.7%

21、40.4%振蕩次數(shù) 0.5 0.5 1.5比較可見：(1)、連續(xù)系統(tǒng)具有最小超調(diào)量，且k的穩(wěn)定范圍為。(2)、只有采樣器的系統(tǒng)，超調(diào)量要大些，相對穩(wěn)定性要差些，k的穩(wěn)定范圍為，原因是采樣丟失了一些信息。(3)、加零階保持器時，各指標(biāo)都增大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性大大降低。k的取值范圍在。原因除了(2)中的外，還因為引入了零階保持器后，系統(tǒng)增加了一個極點，相當(dāng)于引入了一個滯后環(huán)節(jié)，故相對穩(wěn)定性進一步惡化。3.閉環(huán)極點與動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系設(shè)可表示成以下形式 設(shè)無重極點,且閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(單位圓內(nèi)) 當(dāng)時展開得 即 式中 故 以下幾種情況的討論，根據(jù)在單位圓內(nèi)的位置，可以確定的動態(tài)響應(yīng)形勢正實軸上的閉環(huán)單極點，

22、設(shè)為正實數(shù)，對應(yīng)的瞬態(tài)分量為 若令 ，則上式可寫成 所以，當(dāng)為正實數(shù)時，正實軸上的閉環(huán)極點對應(yīng)指數(shù)規(guī)律變化的動態(tài)過程形式。若，單位圓外，按指數(shù)規(guī)律發(fā)散的脈沖序列；若，單位圓上，為等幅脈沖序列；若，單位圓內(nèi)，按指數(shù)規(guī)律收斂的脈沖序列，且越接近原點，越大，衰減越快。(2) 負(fù)實軸上的閉環(huán)單極點由式可見，當(dāng)n為奇數(shù)時為負(fù)；當(dāng)n為偶數(shù)時為正，因此負(fù)實軸極點對應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)是交替變號的雙向脈沖序列。若，單位圓外，交替發(fā)散。若,單位圓上，是交替變號的等幅脈沖序列；若單位圓內(nèi)，是交替變號的衰減脈沖序列；且越接近原點，衰減越快。 對應(yīng)實軸上的閉環(huán)極點其動態(tài)響應(yīng)形式如下圖所示。n××××××n 從圖中可見，當(dāng)閉環(huán)實極