1、第二類曲線積分第二類曲線積分第二節(jié)第二節(jié) 第十章第十章 一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 三、第二類曲線積分的計(jì)算三、第二類曲線積分的計(jì)算一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)1. 問(wèn)題引入問(wèn)題引入“分割，近似分割，近似, 求和求和, 取極限取極限” 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用l: a b,解決辦法解決辦法:求移動(dòng)過(guò)程中變力求移動(dòng)過(guò)程中變力),(, ),(),(yxqyxpyxf 聯(lián)想：恒力聯(lián)想：恒力沿直線做功沿直線做功所作的功所作的功w

2、. cosabfw abf abf2 取近似取近似把把l分成分成 n 個(gè)小弧段個(gè)小弧段,有向小弧段有向小弧段kkmm1),(kkyx 近似代替近似代替, ),(kk則有則有kkkkyqxp ),(),(kk所做的功為所做的功為,kw f 沿沿kkmm1 kkkkmmfw1k),( nkkww1則則用有向線段用有向線段 kkmm1 kkmm1 在上任取一點(diǎn)在上任取一點(diǎn)1 kmkmabxyl),(kkf ky 1 分割分割 kx 4 取極限取極限 nkw1),(),(kkkkkkyqxp nkw10lim kkkkkky)q(x)p,( 1kmkmabxyl),(kkfkykx( (其中其中 為為

3、 n n 個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度) )3 求和求和變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功設(shè)設(shè) l 為為xoy 平面內(nèi)從平面內(nèi)從 a 到到b 的一條的一條有向光滑弧有向光滑弧,若對(duì)若對(duì) l 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn)的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在都存在(與分割和取點(diǎn)無(wú)關(guān)與分割和取點(diǎn)無(wú)關(guān)), niiiiiiiyqxp10),(),(lim 在在l 上定義了一個(gè)有界上定義了一個(gè)有界向量函數(shù)向量函數(shù)極限極限),(, ),(),(yxqyxpyxf 2. 定義定義10.2 niiiirf10),(lim, jyixriii其中其中 lryxfd),(f(x,y)在有向曲線弧

4、在有向曲線弧 l 上的上的第二類曲線積分第二類曲線積分, lyyxqxyxpd),(d),(或或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，記作記作 nikkkkkkyqxp10),(),(lim,| max1inir 則稱此極限值為向量值函數(shù)則稱此極限值為向量值函數(shù)積積分分曲曲線線 lryxfd),(第二類曲線積分的向量形式第二類曲線積分的向量形式 lyyxqxyxpd),(d),(第二類曲線積分的坐標(biāo)形式第二類曲線積分的坐標(biāo)形式 lxyxpd),( lyyxqd),(對(duì)對(duì) x 的曲線積分的曲線積分;對(duì)對(duì) y 的曲線積分的曲線積分.注注 1 關(guān)于第二類曲線積分的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)關(guān)于第二類曲線積分的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)2

5、 若若 為空間曲線弧為空間曲線弧 , , ),(, ),(, ),(),(zyxrzyxqzyxpzyxf d),(d),(d),(dzzyxryzyxqxzyxprf3如果如果l 是是閉曲線閉曲線, 則對(duì)坐標(biāo)則對(duì)坐標(biāo)的曲線積分記為的曲線積分記為 llyyxqxyxprfd),(d),(d4對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意必須注意積分弧段的積分弧段的方向方向! !5 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功 lyyxqxyxpwd),(d),(線性性質(zhì)：線性性質(zhì)：)1(可加性：可加性：)2( 21d),(d),(d),(lllryxfryxfryxf lllryxfryxfryxfyxfd

6、),(d),(d),(),(2121組成組成和和由由21lll性質(zhì)性質(zhì)1r ，l1l2(3) 有向性有向性: 用用l 表示表示 l 的反向弧的反向弧 , 則則 llryxfryxfd),(d),(這是第一類和這是第一類和第二類曲線積第二類曲線積分的一個(gè)重要分的一個(gè)重要區(qū)別區(qū)別對(duì)坐標(biāo)的曲線對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分必須注意積分弧段的方積分弧段的方向向.,)()( tytxl ：設(shè)有向平面曲線弧設(shè)有向平面曲線弧的方向角的方向角同方向的切向量同方向的切向量處與處與上點(diǎn)上點(diǎn)lyxl),(二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系起點(diǎn)：起點(diǎn)： a a， 終點(diǎn)：終點(diǎn)： b b且且為端點(diǎn)的區(qū)間上

7、連續(xù)，為端點(diǎn)的區(qū)間上連續(xù)，在以在以batt,)(),( . 0)()(22 tt 定理定理，則，則為為 , lyyxqxyxpd),(d),( lsyxqyxpdcos),(cos),(曲線曲線l的方程的向量形式：的方程的向量形式：)(),()(tttrr :)()(lim)(0ttrttrtrt xyoabl)(trm(x, y)(ttr r )(tr 的終點(diǎn)處切向量，的終點(diǎn)處切向量，在在曲線曲線)(trl其其指向指向與與參數(shù)參數(shù) t 增大增大時(shí)曲線時(shí)曲線 l上的點(diǎn)移動(dòng)上的點(diǎn)移動(dòng)的的方向一致方向一致.)(ba )(ba )(tr 證證ttrrd)(d tttd)(),( )d,(dyx 22

8、)(d)(ddyxs |d|r.)(d的方向一致的方向一致同方向，從而與同方向，從而與與與故故ltrr 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)ba 1沿著沿著l的方向移動(dòng)時(shí)，參數(shù)的方向移動(dòng)時(shí)，參數(shù) t 增加增加.于是于是)1(dedsrr 0d t另一方面，另一方面，一方面一方面時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)ba 20d t沿著沿著l的方向移動(dòng)時(shí)，參數(shù)的方向移動(dòng)時(shí)，參數(shù) t 減少減少.)2(d)e(dsrr 于是于是.)(d的方向一致的方向一致方向相反，而與方向相反，而與與與故故ltrr 綜合綜合(1)、 (2)，得得srlded .e同方向的單位切向量同方向的單位切向量是與是與其中其中l(wèi)lttrrd)(d | )(|)(etrtrr

9、其中其中)()()(,)()()(2222tttttt )cos,(cose lssrld)cos,(cosded 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)babarre,e lryxfd),( llsyxfde),(),(, ),(),(yxqyxpyxf )d,(ddyxr )cos,(cose l lyyxqxyxpd),(d),(.dcos),(cos),( lsyxqyxp可以推廣到空間曲線上可以推廣到空間曲線上 從而從而,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt ,dcosdsx ,dcosdsy tttsd)()(d22 .”號(hào)”號(hào)時(shí)，取“時(shí)，取“當(dāng)當(dāng)”號(hào)；”號(hào)；時(shí)，取“時(shí)，取“當(dāng)

10、當(dāng) baba注注將積分將積分yyxqxyxpld),(d),( 化為對(duì)化為對(duì)弧長(zhǎng)的積弧長(zhǎng)的積分分, ,0222 xyx).0 , 2()0 , 0(bo到到從從解解(方法方法1)oyxb,2:2xxyl 221xxxy 其中其中l(wèi) 沿上半圓周沿上半圓周例例120:x)(ba 切向量切向量), 1()(yxrt 與與l方向一致方向一致.其方向余弦：其方向余弦：211cosy 221xxxy 22xx 21cosyy x 1syxqyxpyyxqxyxplldcos),(cos),(d),(d),( syxqxyxpxxld),()1(),(22 oyxb,sincos1: tytxl0:t)(b

11、a 切向量切向量)cos,sin()(tttr 與與l方向相反方向相反.與與l同方向的切向量：同方向的切向量：)cos,(sin)(tttrt tsincos 其方向余弦：其方向余弦：y tcoscos x 1 .,22xx (方法方法2)sxddcos ,22xx syddcos x 1 yyxqxyxpld),(d),( syxqyxpld),(),( 22xx )1(x ,22xxy xxxxyd21d2 sdxyd12 xxxd212 oyxbbols弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)(方法方法3)三、第二類曲線積分的計(jì)算三、第二類曲線積分的計(jì)算,),(, ),(上連續(xù)上連續(xù)在在lyxqyxp定理定理10.2

12、設(shè)設(shè) l 是一條平面有向光滑曲線弧，是一條平面有向光滑曲線弧， )()(tytx,:bat, 0)()(22 tt 其其參數(shù)方程為參數(shù)方程為時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)單調(diào)單調(diào)bat:.: ),(bayxml沿沿點(diǎn)點(diǎn)為為和和在以在以batt)(),( 連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且端點(diǎn)的區(qū)間上具有一階端點(diǎn)的區(qū)間上具有一階 lyyxqxyxpd),(d),(則有則有 battp )(),( )(t )(t td)(),(ttq 首先證明：首先證明： lxyxpd),(ttttpbad)()(),( 由兩類曲線的關(guān)系，得由兩類曲線的關(guān)系，得 llsyxpxyxpdcos),(d),(證證再由第一類曲線積分的計(jì)算法，

13、得再由第一類曲線積分的計(jì)算法，得 lsyxpdcos),( 時(shí)時(shí)；當(dāng)當(dāng)ba battp)(),( )()()(22ttt tttd)()(22 時(shí)；時(shí)；當(dāng)當(dāng)batt ,d)( .時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba abttp)(),( )()()(22ttt tttd)()(22 .,d)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)batt ttttpbad)()(),( 同理可證同理可證 lyyxqd),(tttqbad )(),( )(t lyyxqxyxpd),(d),(所以所以 battp )(),( )(t )(t td)(),(ttq lxyxpd),(ttttpbad)()(),( ,d),(d),( lyyxqxyxp計(jì)算計(jì)算 tt

14、ttqtttpbad)( )(),()()(),( 即可；即可；代入上式，且同時(shí)換限代入上式，且同時(shí)換限.注注 1 ),(),(tytxa不一定不一定小于小于 b !即計(jì)算定積分：即計(jì)算定積分：可可將將blbala的終點(diǎn)的終點(diǎn)上限上限的起點(diǎn)的起點(diǎn)下限下限2 如果如果 l 的方程為的方程為,:),(baxxy xxxqxxpbad )(,)(, )(x lyyxqxyxpd),(d),(3 對(duì)空間光滑曲線弧對(duì)空間光滑曲線弧 :zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),( )(t)(tttttrtttqd)(, )(),()(, )(),( )(t )(, )(),(tttpttztyt

15、x :)()()(思考思考定積分定積分第二類第二類曲線積分曲線積分是！是！ baxxfd)(是否可看作第二類曲線積分的特例是否可看作第二類曲線積分的特例 ? xo ba abxxfd)(abxo abab baxxfd)(,d lxyx其中其中l(wèi) 為沿拋物線為沿拋物線xy 2解解(方法方法1) 取取 x 為參數(shù)為參數(shù), 則則obaol :01:,: xxyao10:,: xxyob obaolxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxy xy 從點(diǎn)從點(diǎn)xxxd10 的一段的一段. )1,1()1,1(ba到到 )1 , 1(b)1, 1( aoyx例例2 計(jì)算計(jì)算注意積

16、分注意積分路徑的路徑的表示形式表示形式y(tǒng)yyyxyxld)(d2112 (方法方法2) 取取 y 為參數(shù)為參數(shù), 則則11:,:2 yyxl54d2114 yy)1 , 1(b)1, 1( aoyx-11注意積分注意積分路徑的路徑的表示形式表示形式其中其中 l 為為,:, 0aaxy ybaoaa x(1) 半徑為半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的圓心在原點(diǎn)的 上半圓周上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蚍较驗(yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2) 從點(diǎn)從點(diǎn) a ( a , 0 )沿沿 x 軸到點(diǎn)軸到點(diǎn) b ( a , 0 ). 解解 (1) l:,d2xyl 0:,sin,cos ttaytax xyld2ttadsin2203

17、3 32a (2) l : xyld2ttatad)sin(sin202 132 334a aaxd00 則則則則例例3 計(jì)算計(jì)算沿不同的路徑沿不同的路徑積分，其結(jié)果積分，其結(jié)果不同不同yxo,dd22yxxyxl 其中其中l(wèi)為為(1) 拋物線拋物線 ;10:,:2 xxyl(2) 拋物線拋物線 ;10:,:2 yyxl(3) 有向折線有向折線 .:aboal 解解 (1) 原式原式22xx xx d4103 (2) 原式原式y(tǒng)yy222 yy d5104 (3) 原式原式 yxxyxoadd22 102d)002(xxx1 )0, 1(a)1 , 1(b2yx 2xy 10(xxxd)22

18、10(yyd)4 yxxyxabdd22 10d)102(yy1 1 例例4 計(jì)算計(jì)算沿不同的路徑沿不同的路徑積分，所得到積分，所得到結(jié)果相同結(jié)果相同例例5 計(jì)算計(jì)算,dd3d223zyxyzyxx 其中其中是從點(diǎn)是從點(diǎn)a (3, 2, 1)到點(diǎn)到點(diǎn)b (0, 0, 0)的直線段的直線段ab.解解 直線直線ab為為:. 01:,2,3 ttztytxzyxyzyxxdd3d223 01223d2)3(2)2(33)3(tttttt 013d87tt487 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) lryxfd),( lyyxqxyxpd),(d),( nikkkkkkyqxp10),(),(lim1. 定義定義2. 性質(zhì)性質(zhì) lllryxfryxfryxfyxfd),(d),(d),(),(2121 21d),(d),(d),(lllryxfryxfryxf llryxfryxfd),(d),(3. 計(jì)算計(jì)算 )()(tytx,:t lyyxqxyxpd),(d),( ttp )(),()(t )(t td)(),(ttq 4. 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意必須注意積分弧段的積分弧段的方向方向! !5. 兩類曲線積分之間的關(guān)系兩類曲線積分之間的關(guān)系 lyyxqxy