1、第一章質點運動學1 -1質點作曲線運動,在時刻t 質點的位矢為r,速度為v ,速率為v,t 至(t t)時間內的位移為r, 路程為s, 位矢大小的變化量為r ( 或稱r),平均速度為,平均速率為(1) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) r= s = r(B) r s r,當t0 時有dr= ds dr(C) r r s,當t0 時有dr= dr ds(D) r s r,當t0 時有dr= dr = ds(2) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) = ,= (B) , (C) = , (D) ,= 分析與解(1) 質點在t 至(t t)時間內沿曲線從P 點運動到P點,各量關系如圖所示, 其中路程s P

2、P, 位移大小rPP,而r r-r表示質點位矢大小的變化量,三個量的物理含義不同,在曲線運動中大小也不相等(注：在直線運動中有相等的可能)但當t0 時,點P無限趨近P點,則有drds,但卻不等于dr故選(B)(2) 由于r s,故,即但由于drds,故,即由此可見,應選(C)1 -2一運動質點在某瞬時位于位矢r(x,y)的端點處,對其速度的大小有四種意見,即(1)；(2)；(3)；(4)下述判斷正確的是()(A) 只有(1)(2)正確 (B) 只有(2)正確(C) 只有(2)(3)正確 (D) 只有(3)(4)正確分析與解表示質點到坐標原點的距離隨時間的變化率,在極坐標系中叫徑向速率通常用符號

3、vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個分量；表示速度矢量；在自然坐標系中速度大小可用公式計算,在直角坐標系中則可由公式求解故選(D)1 -3質點作曲線運動,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a表示切向加速度對下列表達式,即(1)d v /dt a；(2)dr/dt v；(3)ds/dt v；(4)d v /dta下述判斷正確的是()(A) 只有(1)、(4)是對的 (B) 只有(2)、(4)是對的(C) 只有(2)是對的 (D) 只有(3)是對的分析與解表示切向加速度a,它表示速度大小隨時間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個分量,起改變速度大小的作用；在極坐標

4、系中表示徑向速率vr(如題1 -2 所述)；在自然坐標系中表示質點的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度a因此只有(3) 式表達是正確的故選(D)1 -4一個質點在做圓周運動時,則有()(A) 切向加速度一定改變,法向加速度也改變(B) 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變(C) 切向加速度可能不變,法向加速度不變(D) 切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量a起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用質點作圓周運動時,由于速度方向不斷改變,相應法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的至于a是否改變,則要視質點的速率情況而定質點作勻速率

5、圓周運動時, a恒為零；質點作勻變速率圓周運動時, a為一不為零的恒量,當a改變時,質點則作一般的變速率圓周運動由此可見,應選(B) *1 -5如圖所示,湖中有一小船,有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運動設該人以勻速率v0 收繩,繩不伸長且湖水靜止,小船的速率為v,則小船作()(A) 勻加速運動, (B) 勻減速運動, (C) 變加速運動,(D) 變減速運動, (E) 勻速直線運動,分析與解本題關鍵是先求得小船速度表達式,進而判斷運動性質為此建立如圖所示坐標系,設定滑輪距水面高度為h,t 時刻定滑輪距小船的繩長為l,則小船的運動方程為,其中繩長l 隨時間t 而變化小船速度,式

6、中表示繩長l 隨時間的變化率,其大小即為v0,代入整理后為,方向沿x 軸負向由速度表達式,可判斷小船作變加速運動故選(C)討論有人會將繩子速率v0按x、y 兩個方向分解,則小船速度,這樣做對嗎？1 -6已知質點沿x 軸作直線運動,其運動方程為,式中x 的單位為m,t 的單位為 s求：(1) 質點在運動開始后4.0 s內的位移的大??；(2) 質點在該時間內所通過的路程；(3) t4 s時質點的速度和加速度分析位移和路程是兩個完全不同的概念只有當質點作直線運動且運動方向不改變時,位移的大小才會與路程相等質點在t 時間內的位移x 的大小可直接由運動方程得到：,而在求路程時,就必須注意到質點在運動過程

7、中可能改變運動方向,此時,位移的大小和路程就不同了為此,需根據(jù)來確定其運動方向改變的時刻tp ,求出0tp 和tpt 內的位移大小x1 、x2 ,則t 時間內的路程,如圖所示,至于t 4.0 s 時質點速度和加速度可用和兩式計算解(1) 質點在4.0 s內位移的大小 (2) 由 得知質點的換向時刻為 (t0不合題意)則所以,質點在4.0 s時間間隔內的路程為 (3) t4.0 s時1 -7一質點沿x 軸方向作直線運動,其速度與時間的關系如圖(a)所示設t0 時,x0試根據(jù)已知的v-t 圖,畫出a-t 圖以及x -t 圖分析根據(jù)加速度的定義可知,在直線運動中v-t曲線的斜率為加速度的大小(圖中A

8、B、CD 段斜率為定值,即勻變速直線運動；而線段BC 的斜率為0,加速度為零,即勻速直線運動)加速度為恒量,在a-t 圖上是平行于t 軸的直線,由v-t 圖中求出各段的斜率,即可作出a-t 圖線又由速度的定義可知,x-t 曲線的斜率為速度的大小因此,勻速直線運動所對應的x -t 圖應是一直線,而勻變速直線運動所對應的xt 圖為t 的二次曲線根據(jù)各段時間內的運動方程xx(t),求出不同時刻t 的位置x,采用描數(shù)據(jù)點的方法,可作出x-t 圖解將曲線分為AB、BC、CD 三個過程,它們對應的加速度值分別為 (勻加速直線運動) (勻速直線運動) (勻減速直線運動)根據(jù)上述結果即可作出質點的a-t 圖圖

9、(B)在勻變速直線運動中,有由此,可計算在02和46時間間隔內各時刻的位置分別為用描數(shù)據(jù)點的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作02和46時間內的x -t 圖在24時間內, 質點是作的勻速直線運動, 其x -t 圖是斜率k20的一段直線圖(c)1 -8已知質點的運動方程為,式中r 的單位為m,t 的單位為求：(1) 質點的運動軌跡；(2) t 0 及t 2時,質點的位矢；(3) 由t 0 到t 2內質點的位移r 和徑向增量r； *(4) 2 內質點所走過的路程s分析質點的軌跡方程為y f(x),可由運動方程的兩個分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到對于r、r、r、s 來說,物理含義不同,可根據(jù)其定義

10、計算其中對s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微元ds,則,最后用積分求解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得質點軌跡方程為這是一個拋物線方程,軌跡如圖(a)所示(2) 將t 0和t 2分別代入運動方程,可得相應位矢分別為 , 圖(a)中的P、Q 兩點,即為t 0和t 2時質點所在位置(3) 由位移表達式,得其中位移大小而徑向增量*(4) 如圖(B)所示,所求s 即為圖中PQ段長度,先在其間任意處取AB 微元ds,則,由軌道方程可得,代入ds,則2內路程為1 -9質點的運動方程為式中x,y 的單位為m,t 的單位為試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析由運動

11、方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運動合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為當t 0 時, vox -10 m·-1 , voy 15 m·-1 ,則初速度大小為設vo與x 軸的夾角為,則123°41(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為設a 與x 軸的夾角為,則-33°41(或326°19)1 -10一升降機以加速度1.22 m·-2上升,當上升速度為2.44 m·-1時,有一螺絲自升降機的天花板上松脫,天花板與升降機的底面相距2.74 m計算：(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時間；

12、(2)螺絲相對升降機外固定柱子的下降距離分析在升降機與螺絲之間有相對運動的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機豎直向上的勻加速度運動和初速不為零的螺絲的自由落體運動,列出這兩種運動在同一坐標系中的運動方程y1 y1(t)和y2 y2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問題即可解；另一種方法是取升降機(或螺絲)為參考系,這時,螺絲(或升降機)相對它作勻加速運動,但是,此加速度應該是相對加速度升降機廂的高度就是螺絲(或升降機)運動的路程解1(1) 以地面為參考系,取如圖所示的坐標系,升降機與螺絲的運動方程分別為當螺絲落至底面時,有y1 y2 ,即 (2) 螺絲相對升降機外固

13、定柱子下降的距離為解2(1)以升降機為參考系,此時,螺絲相對它的加速度大小ag a,螺絲落至底面時,有(2) 由于升降機在t 時間內上升的高度為則 1 -11一質點P 沿半徑R 3.0 m的圓周作勻速率運動,運動一周所需時間為20.0,設t 0 時,質點位于O 點按(a)圖中所示Oxy 坐標系,求(1) 質點P 在任意時刻的位矢；(2)5時的速度和加速度分析該題屬于運動學的第一類問題,即已知運動方程r r(t)求質點運動的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)在確定運動方程時,若取以點(0,3)為原點的Oxy坐標系,并采用參數(shù)方程xx(t)和yy(t)來表示圓周運動是比較方便的然后,運用坐

14、標變換x x0 x和y y0 y,將所得參數(shù)方程轉換至Oxy 坐標系中,即得Oxy 坐標系中質點P 在任意時刻的位矢采用對運動方程求導的方法可得速度和加速度解(1) 如圖(B)所示,在Oxy坐標系中,因,則質點P 的參數(shù)方程為,坐標變換后,在Oxy 坐標系中有,則質點P 的位矢方程為(2) 5時的速度和加速度分別為 1 -12地面上垂直豎立一高20.0 m 的旗桿,已知正午時分太陽在旗桿的正上方,求在下午200 時,桿頂在地面上的影子的速度的大小在何時刻桿影伸展至20.0 m？分析為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長與時間的函數(shù)關系,即影子端點的位矢方程根據(jù)幾何關系,影長可通過太陽光線

15、對地轉動的角速度求得由于運動的相對性,太陽光線對地轉動的角速度也就是地球自轉的角速度這樣,影子端點的位矢方程和速度均可求得解設太陽光線對地轉動的角速度為,從正午時分開始計時,則桿的影長為shtgt,下午200 時,桿頂在地面上影子的速度大小為當桿長等于影長時,即s h,則即為下午300 時1 -13質點沿直線運動,加速度a4 -t2 ,式中a的單位為m·-2 ,t的單位為如果當t 3時,x9 m,v 2 m·-1 ,求質點的運動方程分析本題屬于運動學第二類問題,即已知加速度求速度和運動方程,必須在給定條件下用積分方法解決由和可得和如aa(t)或v v(t),則可兩邊直接積分

16、如果a 或v不是時間t 的顯函數(shù),則應經過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學操作后再做積分解由分析知,應有得 (1)由 得 (2)將t3時,x9 m,v2 m·-1代入(1) (2)得v0-1 m·-1,x00.75 m于是可得質點運動方程為1 -14一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運動,現(xiàn)測得其加速度aA -Bv,式中A、B 為正恒量,求石子下落的速度和運動方程分析本題亦屬于運動學第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分解選取石子下落方向為y 軸正向,下落起點為坐標原點(1) 由題意知 (

17、1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度 由此可知當,t時,為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度(2) 再由并考慮初始條件有得石子運動方程1 -15一質點具有恒定加速度a 6i 4j,式中a的單位為m·-2 在t0時,其速度為零,位置矢量r0 10 mi求：(1) 在任意時刻的速度和位置矢量；(2) 質點在Oxy 平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的示意圖分析與上兩題不同處在于質點作平面曲線運動,根據(jù)疊加原理,求解時需根據(jù)加速度的兩個分量ax 和ay分別積分,從而得到運動方程r的兩個分量式x(t)和y(t)由于本題中質點加速度為恒矢量,故兩次積

18、分后所得運動方程為固定形式,即和,兩個分運動均為勻變速直線運動讀者不妨自己驗證一下解由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0 0時v0 0,積分可得又由及初始條件t0 時,r0(10 m)i,積分可得由上述結果可得質點運動方程的分量式,即x 103t2y 2t2消去參數(shù)t,可得運動的軌跡方程3y 2x -20 m這是一個直線方程直線斜率,33°41軌跡如圖所示1 -16一質點在半徑為R 的圓周上以恒定的速率運動,質點由位置A 運動到位置B,OA 和OB 所對的圓心角為(1) 試證位置A 和B 之間的平均加速度為；(2) 當分別等于90°、30°、10°和1

19、76;時,平均加速度各為多少？ 并對結果加以討論分析瞬時加速度和平均加速度的物理含義不同,它們分別表示為和在勻速率圓周運動中,它們的大小分別為, ,式中v可由圖(B)中的幾何關系得到,而t 可由轉過的角度 求出由計算結果能清楚地看到兩者之間的關系,即瞬時加速度是平均加速度在t0 時的極限值解(1) 由圖(b)可看到v v2 -v1 ,故而所以 (2) 將90°,30°,10°,1°分別代入上式,得,以上結果表明,當0 時,勻速率圓周運動的平均加速度趨近于一極限值,該值即為法向加速度1 -17質點在Oxy 平面內運動,其運動方程為r2.0ti (19.0

20、-2.0t2 )j,式中r 的單位為m,t的單位為s求：(1)質點的軌跡方程；(2) 在t11.0s 到t2 2.0s 時間內的平均速度；(3) t1 1.0時的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 時質點所在處軌道的曲率半徑分析根據(jù)運動方程可直接寫出其分量式x x(t)和y y(t),從中消去參數(shù)t,即得質點的軌跡方程平均速度是反映質點在一段時間內位置的變化率,即,它與時間間隔t 的大小有關,當t0 時,平均速度的極限即瞬時速度切向和法向加速度是指在自然坐標下的分矢量a 和an ,前者只反映質點在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質點速度方向的變化,它可由總加速度a 和a 得到

21、在求得t1 時刻質點的速度和法向加速度的大小后,可由公式求解(1) 由參數(shù)方程x 2.0t,y 19.0-2.0t2消去t 得質點的軌跡方程：y 19.0 -0.50x2 (2) 在t1 1.00 到t2 2.0時間內的平均速度(3) 質點在任意時刻的速度和加速度分別為則t1 1.00時的速度v(t)t 12.0i -4.0j切向和法向加速度分別為(4) t 1.0質點的速度大小為則1 -18飛機以100 m·-1 的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100 m時,駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標處,問：(1) 此時目標在飛機正下方位置的前面多遠？ (2) 投放物品時,駕駛員看目標

22、的視線和水平線成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？分析物品空投后作平拋運動忽略空氣阻力的條件下,由運動獨立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運動,在豎直方向作自由落體運動到達地面目標時,兩方向上運動時間是相同的因此,分別列出其運動方程,運用時間相等的條件,即可求解此外,平拋物體在運動過程中只存在豎直向下的重力加速度為求特定時刻t時物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時刻它們與重力加速度之間的夾角或由圖可知,在特定時刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角,可由此時刻的兩速度分量vx 、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g 的切向和法向分量求得解(1

23、) 取如圖所示的坐標,物品下落時在水平和豎直方向的運動方程分別為x vt,y 1/2 gt2飛機水平飛行速度v100 m·s-1 ,飛機離地面的高度y100 m,由上述兩式可得目標在飛機正下方前的距離(2) 視線和水平線的夾角為(3) 在任意時刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標,物品在拋出2s 時,重力加速度的切向分量與法向分量分別為1 -19如圖(a)所示,一小型迫擊炮架設在一斜坡的底端O 處,已知斜坡傾角為,炮身與斜坡的夾角為,炮彈的出口速度為v0,忽略空氣阻力求：(1)炮彈落地點P 與點O 的距離OP；(2) 欲使炮彈能垂直擊中坡面證明和必須滿足并與v0 無關分析這是一個斜

24、上拋運動,看似簡單,但針對題目所問,如不能靈活運用疊加原理,建立一個恰當?shù)淖鴺讼?將運動分解的話,求解起來并不容易現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標系,則炮彈在x 和y 兩個方向的分運動均為勻減速直線運動,其初速度分別為v0cos和v0sin,其加速度分別為gsin和gcos在此坐標系中炮彈落地時,應有y 0,則x OP如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應滿足vx 0,直接列出有關運動方程和速度方程,即可求解由于本題中加速度g 為恒矢量故第一問也可由運動方程的矢量式計算,即,做出炮彈落地時的矢量圖如圖(B)所示,由圖中所示幾何關系也可求得 (即圖中的r 矢量)(1)解1由分析知,炮彈在圖(a)所示坐標系中兩個分

25、運動方程為 (1) (2)令y 0 求得時間t 后再代入式(1)得解2做出炮彈的運動矢量圖,如圖(b)所示,并利用正弦定理,有從中消去t 后也可得到同樣結果(2) 由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應滿足y 0 和vx 0,則 (3)由(2)(3)兩式消去t 后得由此可知只要角和滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0 的大小無關討論如將炮彈的運動按水平和豎直兩個方向分解,求解本題將會比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗一下1 -20一直立的雨傘,張開后其邊緣圓周的半徑為R,離地面的高度為h,(1) 當傘繞傘柄以勻角速旋轉時,求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為的圓周上；(2) 讀者能否由此定性構想一種

26、草坪上或農田灌溉用的旋轉式灑水器的方案？分析選定傘邊緣O 處的雨滴為研究對象,當傘以角速度旋轉時,雨滴將以速度v 沿切線方向飛出,并作平拋運動建立如圖(a)所示坐標系,列出雨滴的運動方程并考慮圖中所示幾何關系,即可求證由此可以想像如果讓水從一個旋轉的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對噴頭上小孔的分布還要給予精心的考慮解(1) 如圖(a)所示坐標系中,雨滴落地的運動方程為 (1) (2)由式(1)(2)可得 由圖(a)所示幾何關系得雨滴落地處圓周的半徑為(2) 常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(0 45°)其上有大量小孔噴

27、頭旋轉時,水滴以初速度v0 從各個小孔中噴出,并作斜上拋運動,通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面上則以角噴射的水柱射程為為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但很多,而且還不能均勻分布,這是噴頭設計中的一個關鍵問題1 -21一足球運動員在正對球門前25.0 m 處以20.0 m·-1 的初速率罰任意球,已知球門高為3.44 m若要在垂直于球門的豎直平面內將足球直接踢進球門,問他應在與地面成什么角度的范圍內踢出足球？ (足球可視為質點) 分析被踢出后的足球,在空中作斜拋運動,其軌跡方程可由質點在豎直平面內的運動方程得到由于水平距離x 已知,球門高度又限定了在y 方向的范圍

28、,故只需將x、y 值代入即可求出解取圖示坐標系Oxy,由運動方程,消去t 得軌跡方程以x 25.0 m,v 20.0 m·-1 及3.44 my0 代入后,可解得7111°1 6992°2792°2 1889°如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對應有兩個不同的投射傾角(如圖所示)如果以7111°或 18.89°踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制, 角也并非能取71.11°與18.89°之間的任何值當傾角取值為27.92° 6992

29、°時,踢出的足球將越過門緣而離去,這時球也不能射入球門因此可取的角度范圍只能是解中的結果1 -22一質點沿半徑為R 的圓周按規(guī)律運動,v0 、b 都是常量(1) 求t 時刻質點的總加速度；(2) t 為何值時總加速度在數(shù)值上等于b？(3) 當加速度達到b 時,質點已沿圓周運行了多少圈？分析在自然坐標中,s 表示圓周上從某一點開始的曲線坐標由給定的運動方程s s(t),對時間t 求一階、二階導數(shù),即是沿曲線運動的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量為anv2 /R這樣,總加速度為a aeanen至于質點在t 時間內通過的路程,即為曲線坐標的改變量sst -s0因圓周長為2R

30、,質點所轉過的圈數(shù)自然可求得解(1) 質點作圓周運動的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為, 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2) 要使ab,由可得(3) 從t0 開始到tv0 /b 時,質點經過的路程為因此質點運行的圈數(shù)為1 -23一半徑為0.50 m 的飛輪在啟動時的短時間內,其角速度與時間的平方成正比在t2.0 時測得輪緣一點的速度值為4.0 m·-1求：(1) 該輪在t0.5的角速度,輪緣一點的切向加速度和總加速度；(2)該點在2.0內所轉過的角度分析首先應該確定角速度的函數(shù)關系kt2依據(jù)角量與線量的關系由特定時刻的速度值可得相應的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)

31、k,(t)確定后,注意到運動的角量描述與線量描述的相應關系,由運動學中兩類問題求解的方法(微分法和積分法),即可得到特定時刻的角加速度、切向加速度和角位移解因R v,由題意t2 得比例系數(shù)所以 則t0.5 時的角速度、角加速度和切向加速度分別為總加速度在2.0內該點所轉過的角度1 -24一質點在半徑為0.10 m的圓周上運動,其角位置為,式中 的單位為rad,t 的單位為(1) 求在t 2.0時質點的法向加速度和切向加速度(2) 當切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時, 值為多少？(3) t 為多少時,法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對應關系,應用運動學求解的方法即可得到解(1) 由于,則角速度在t 2 時,法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為(2) 當時,有,即得 此時刻的角位置為(3) 要使,則有t 0.551 -25一無風的下雨天,一列火車以v120.0 m·-1 的速度勻速前進,在車內的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降求雨滴下落的速度v2 (設下降的雨滴作勻速運動)分析這是一個相對運動的問題設雨滴為研究對象,地面為靜止參考系,火車為動參考系v1 為相對 的速度,v2 為雨滴相對的速度,利用相對運