1、§ 8.7空間向量的坐標表示、運算及應(yīng)用1. 空間向量基本定理如 果三 個向量a， b， c不 共面 ，那么對空 間任 一向量p ，存 在有序?qū)崝?shù)組 ，使 得 其中， a， b， c 叫做空間的一個 ， a，b， c 都叫做 2. 空間直角坐標系(1) 如果空間的一個基底的三個基向量 ，且長都為 ，則這個基底叫做單位正交基底，常用 i ， j ， k 來表示 ( 其中| i | j | | k | 1) (2) 在空間選定一點o和一個單位正交基底 i ，j ， k ，以 o為原點，分別以i ，j ，k 的方向為正方向建立三條數(shù)軸： ，它們都叫做坐標軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標

2、系oxyz， 點 o叫做原點，向量i ， j ， k 都叫做坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xoy平面、yoz平面、 zox平面(3) 建系時，一般使xoy 135° ( 或 45° ) ， yoz 90°，建立 手直角坐標系(4) 在空間直角坐標系中有一點a，若oaxi yj zk，則有序?qū)崝?shù)組 叫做點 a在此空間直角 坐標系中的坐標， 記作 其中 x 叫做點 a 的橫坐標，y 叫做點 a的縱坐標，z 叫做點 a 的 3. 空間向量的直角坐標運算設(shè) a ( x1， y1， z1) ，b ( x2， y2，z2) ， a， b 是非零向量，則(

3、1) 向量加法： a b (2) 向量減法： a b (3) 數(shù)乘： a (4) 數(shù)量積： a·b (5) 平行： ab( b0) ? ? x1 x2， ， (6) 垂直： ab? ? (7) 向量 a 的模| a| (8) 向量 a 與 b 夾角公式：a· bcos a， b |a| | |b(9) 點坐標和向量坐標：若點a( x1， y1， z1) ， b( x2， y2， z2) ，則 ab ，線段 ab的長 ab|4. 直線的方向向量(1) 與直線 l 的非零向量a 叫做直線l 的方向向量(2) 空間中任意一條直線l ，可以通過l 上的一個定點a 和 l 的一個方向

4、向量a 來確定 設(shè)點 p是 l 上的任意一點，則l 有向量表示形式 ，其中 t 為實數(shù)，這種形式叫做直線的點向式注意同一條直線的點向式表示不唯一5. 平面的法向量和法向量的求法(1) 平面的法向量已知平面，直線 l ，取直線l 的方向向量a，則 叫做平面 的法向量(2) 平面的法向量的求法設(shè)出平面的法向量為n ( x， y，z) ；找出 ( 求出 ) 平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標a ( a1， b1， c1) ， b ( a2， b2， c2) ；根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x， y， z 的方程組；解方程組，取其中的一個解，即得法向量由于一個平面的法向量有一個最簡單的作為平面的法向量6. 利用

5、空間向量表示立體幾何中的平行、垂直和夾角 個，故可在方程組的解中取設(shè)直線 l ， m的方向向量為a， b，平面 ， 的法向量分別為u， v，則(1) 線線平行： l m? ? (2) 線線垂直： l m? ? (3) 線面平行： l ? ? (4) 線面垂直，方法一：l ? ? ； 方法二：若e1，e2 為平面 的一組基底，則ae1，l ?ae2? a· e1 a·e2 0.(5) 面面平行： ? ? (6) 面面垂直： ? ? 2(7) 線線夾角： l ， m的夾角為 0 (8) 線面夾角： l ， 的夾角為 0 2， cos ， sin (9) 面面夾角： ， 的夾角為

6、 0 2， cos 注意： (1) 這里的線線平行包括線線重合，線面平行包括線在面內(nèi)，面面平行包括面面重合；(2) 這里的線線夾角、線面夾角、面面夾角都是按照相關(guān)定義給出的，即0 2 ，而二面角的大小是指兩個半平面的張開程度，這可以用其平面角 的大小來定義，它的取值范圍為 ，若設(shè) u， v 的夾角為，當 u，v 均指向二面角內(nèi)部或外部時( 如圖1) ，二面角的大小為 ， cos cos ( ) cos u·v| u| |v| ；當 u，v 一個指向二面角內(nèi)，另一個指向二面角外時( 如圖 2) ，二面角的大小為 ，cos cos u·v | u| | v| .7. 距離(1)

7、 點到直線的距離設(shè)過點 p的直線 l 的方向向量為單位向量n，a為直線 l 外一點，點 a到直線 l 的距離 d ( 如圖 3) 圖 3圖 4(2) 點到平面的距離設(shè) p 為平面 內(nèi)的一點， n 為平面 的法向量， a 為平面 外一點，點a 到平面 的距離 d(如圖 4) (3) 線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為 自查自糾1. x，y， zp xa yb zc基底基向量2 (1) 兩兩垂直1(2) x 軸， y 軸， z 軸(3) 右(4)(x， y， z)a( x， y，z)豎坐標3 (1)( x1 x2， y1 y2， z1 z2)(2)(x1 x2， y1 y2，z1 z2)(3)(x1，

8、 y1， z1)(4) x1x2y1y2 z1z2(5) aby1 y2z1 z2(6) a·b 0x1x2y1y2 z1z2 0111(7)a· ax2 y2 z2(8)x1x2 y1y2z1z2x2222221 y1 z1x2 y2 z2222(9)(x2 x1， y2 y1，z2 z1)（x2 x1）（ y2y1）（ z2z1 ）4 (1) 平行且非零(2) ap t an·a a1x b1yc1z 0，5 (1) 向量 a(2)無數(shù)n·b a2x b2yc2z 06 (1) a bakb， kr(2) aba· b 0(3) aua&#

9、183; u0(4) a ua ku，k r(5) uvu kv， k r(6) u vu·v 0| a· b| a·u| u· v|(7)| a| | b|(8)| a| | u|(9)| u| | v|0 7 (1)|pa|2_|pa·|2pann(2)· |(3) 點到面的距離| n|在空間直角坐標系中，已知點p( x，y，z) ，給出下列4 條敘述：點 p關(guān)于 x 軸的對稱點的坐標是( x， y，z) ；點 p關(guān)于 yoz平面的對稱點的坐標是( x， y， z) ；點 p關(guān)于 y 軸的對稱點的坐標是( x， y，z) ；點 p

10、關(guān)于原點的對稱點的坐標是( x， y， z) 其中正確的個數(shù)是()a 3b 2c 1d 0解： 易知錯誤，僅正確，故選c.若向量 a (1 ，1，x) ， b (1 ，2， 1) ，c (1 ，1，1) ，且( c a) ·2b 2，則 x ()a 4b 2c 4d 2解： a (1 ， 1， x) ， b (1 ， 2， 1) ， c (1 ，1 ，1) ， c a (0 ， 0， 1 x) ， 2b (2 ， 4， 2) (ca) ·2b 2(1 x) 2，解得 x 2. 故選 d.若直線 l 的方向向量為a (1 ，0， 2) ，平面 的法向量為 n ( 2， 0，

11、4) ，則 l 與 的位置關(guān)系為()a l b l c l ? d l 與 斜交解： a (1 ， 0， 2) ， n( 2， 0， 4) ， n 2a，即 a n. l . 故選 b.( 2015·哈爾濱質(zhì)檢) 已知空間中三點a(1 ，0，0) ，b(2 ，1， 1) ， c(0 ， 1， 2) ，則點 c到直線 ab的距離為 ab· ac422解： ab (1 ，1， 1) ，ac( 1， 1， 2) ，cos ab，ac 3·3， sin ab，ac1| ab| · | ac|666，點 c到直線 ab的距離 d | ac| · sin

12、ab， ac33 . 故 填 3 .已知 2a b (0 ， 5，10) ，c (1 ， 2，2) ，a· c 4，| b| 12，則以 b， c 為方向向量的兩直線的夾角為 解： 由題意得， (2 a b) · c 0 10 20 10，即 2a·c b· c 10.又 a·c 4， b· c 18.b· c 181 cosb， c | b| c| 12 ，×32 b，c 120°，兩直線的夾角為60°. 故填 60° .類型一空間向量坐標的基本運算(1) 若( ka b) (a 3

13、b) ，求實數(shù) k 的值；(2) 若( ka b) (a 3b) ，求實數(shù) k 的值 解： ka b ( k2， 5k3， k5) ， a 3b (7 ， 4， 16) (1) (ka b) (a 3b) ，已知 a (1 ， 5， 1) ，b ( 2，3， 5) k 25k 3 k 517 4 16 ，解得 k 3.(2) (ka b) (a 3b) ， ( k2) ×7 (5 k3) ×( 4) ( k5) ×( 16) 0， 106解 得 k 3 .【點撥】 利用向量平行的性質(zhì)：a b( b0) ? a b? x1 x2，y1 y2，z1 z2 可求解第 (

14、1) 問的 k 值；利用向量垂直的性質(zhì)：a b? a· b 0? x1x2y1y2 z1z2 0 建立方程可求第(2) 問的 k 值4) ，設(shè) ， .已知空間三點a( 2，0， 2) ，b( 1，1，2) ， c( 3，0，aabbac(1) 若| c| 3 且 c bc，求 c；(2) 求 a 和 b 的夾角的余弦值；bcbc(3) 若 ka b 與 ka 2b 互相垂直，求k 的值 解： (1) ( 2， 1， 2) ，c ，222 c mbc m( 2， 1，2) ( 2m， m，2m)( m r) | c| （ 2m）（ m）（ 2m） 3| m| 3， m± 1.

15、 c ( 2， 1， 2) 或 c (2 ， 1， 2) (2) a (1 ， 1，0) ， b( 1， 0，2) ， a·b (1 ， 1，0) ·( 1， 0， 2) 1.又| a| 12| b| （ 1221 0 ） 0222，225，a· b1 cosa， b | a| b| 10101010 .故 a 和 b 的夾角的余弦值為10 .(3) 由(2) 知| a| 2， | b| 5， a· b 1.2 222 ( kab) ·(ka 2b) k a ka· b 2b 2k k 10 0，52解得 k 2 或 k.類型二空間兩

16、直線的平行與垂直設(shè) a， b 是不相交的兩條直線l 1， l 2 的方向向量，試判斷下列各條件下兩條直線l 1， l 2 的位置關(guān)系：132(1) a( 2， 1，3) ， b 1， ， 2 ；(2) a( 5， 0， 2) ， b 1， 3，5 ；2(3) a( 2， 1，4) ， b ( 3，2， 1) .解： (1) 由 a ( 2， 1， 3) 2 113 2b，得 ab，又兩條直線l ， l沒有交點，所以l ， 2， 2121l 2.(2) 由于 a· b5×10×32×520，所以 a b，從而 l 1 l 2.(3) 由 a ( 2， 1，

17、 4) ，b ( 3， 2， 1) 可知，不存在任何實數(shù) ，使 a b，且 a·b0，則這兩條直線 l 1， l 2 不相交、不平行也不垂直，故兩條直線l 1， l 2 是不垂直的異面直線【點撥】 先考查兩個方向向量是否平行或者垂直，將空間幾何問題代數(shù)化，用直線的方向向量之間的計算代替?zhèn)鹘y(tǒng)的空間幾何推理，這是空間向量的最基本的作用，使用得當非常簡便如圖所示，正方體abcd- a b c d的棱長為1， e，f分別是 bc， cd上的點，且be cf a(0< a<1) ，則 d e與 b f 的位置關(guān)系是 ()a平行b垂直c相交d與 a 值有關(guān)解： 建立如圖所示空間直角坐

18、標系，則d(0 ， 0，1) ， e(1 a， 1， 0) ， b (1 ， 1， 1) ，f(0 ， 1a， 0) ， d e (1 a， 1， 1) ， b f ( 1， a， 1) d e·b f (1 a) ×( 1) 1×( a) (- 1) ×( 1) a 1 a10. d e b f，即 d e b f.故選 b.類型三直線和平面的平行與垂直( 2015·汕頭模擬 ) 如圖，在長方體abcd- a1b1c1d1 中，底面 abcd是邊長為2 的正方形， o為 ac與 bd的交點， bb12， m是線段 b1d1 的中點(1) 求證

19、： bm平面 d1ac；(2) 求證： d1o平面 ab1c.證明： (1) 建立如圖所示的空間直角坐標系，則點o(1 ， 1， 0) ， d1(0 ， 0，2) od1( 1， 1，2) 又點 b(2 ， 2， 0) ， m(1 ，1，2) ，bm ( 1， 1，2) ， od1bm.又 od1 與 bm不共線， od1bm.又 od1? 平面 d1ac，bm?平面 d1ac， bm平面 d1ac.(2) 連接 ob1，易知點b1(2 ， 2，2) ，a(2 ， 0，0) ， c(0 ， 2， 0) ，ob1 (1 ，1，2) ， ac ( 2， 2， 0) ， od1·ob1 0

20、，od1· ac 0， od1ob1， od1 ac，又 ob1ac o， d1o平面 ab1c.【點撥】 用向量證明直線與平面平行，可以通過證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，也可以通過證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，當然，直線要在平面外用向量證明直線和平面垂直，可以通過證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量分別垂直，也可以通過證明該直線的方向向量和平面的法向量平行( 2015·安徽淮南二模) 在直三棱柱abc- a1b1c1 中，ab ac aa1 3， bc 2， d是 bc的中點， f 是 cc1 上一點，且 cf 2.(1) 求證：

21、b1f平面 adf；(2) 若c1p1 c1a1，求證： pf平面 adb1. 3證明： abac， d是 bc的中點， ad bc，取 b1c1 的中點 d1 ，則 dd1平面 abc，分別以cb， ad， dd1 為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標系，abac aa1 3， bc 2， a(0 ， 22， 0) ， b(1 ， 0， 0) ， c( 1， 0， 0) ， a1(0 ， 22， 3) ， b1(1 ， 0， 3) ， c1( 1，0， 3) ， cf 2， f( 1，0， 2) (1) b1f ( 2，0， 1) ，da (0 ， 22，0) ，df ( 1， 0

22、，2) ， b1f·da 0， b1f·df 0， b1f平c面 adf.(2) 1p1 c1a11(1 ， 22， 0) 122， 0 ，3333， p 222， 3 ， pf 1， 22， 1 .3333設(shè)平面 adb1 的法向量為n( x0， y0， z0) ，則n· da 0，有n· ab1 0， 22y00，x0 22y03z0 0，取 z01，則 n ( 3， 0， 1) pf·n 0， pf?平面 adb1 ， pf平面 adb1.類型四平面和平面的平行與垂直( 2015·安陽模擬 ) 在四棱錐p- abcd中，底面ab

23、cd為正方形， pd平面 abcd， e， f 分別為棱 ad， pb的中點，且pd ad. 求證：平面cef平面 pbc.證明： 建立如圖所示空間直角坐標系，則 a(1 ，0，0) ，p(0 ，0，1) ，c(0 ，1，0) ，b(1 ，1，0) ，e12，0， 0 ，111f 2， 2， 2 ，設(shè)平面cef的一個法向量為n1 ( x，y， z) ，n1·ef 0，則得n1·ec 0，11y z 0， 2212x y 0，11取 x 1，則 n1 1， 2， 2 .同理求得平面pbc的一個法向量為n2 0，112，2 . n1· n21×0 n1 n2

24、.111× ×222120，平面 cef平面 pbc.【點撥】 利用空間向量證明面面垂直的基本方法：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可如 圖 ， 在 直 三 棱 柱 abc- a1 b1 c1 中 ， abc 90°， bc 2， cc1 4，點 e 在線段 bb1 上，且 eb1 1， d， f，g分別為 cc1， c1b1， c1a1 的中點(1) 求證：平面a1b1d平面 abd；(2) 求證：平面egf平面 abd.證明： 以 b 為坐標原點， ba， bc， bb1 所在直

25、線分別為x， y， z 軸建立如圖所示空間直角坐標系，則b(0 ，0， 0) ， d(0 ， 2， 2) ， b1(0 ， 0， 4) ， e(0 ， 0， 3) ，f(0 ， 1，4) a設(shè) ba a，則 a( a， 0， 0) ， g 2，1， 4 ， a1( a， 0， 4) babdb1d(1) ( a， 0， 0) ， (0 ， 2， 2) ， (0 ， 2， 2) ，11 bd·ba 0，bd· bd 0.11 bdba， bdbd，即 b1d ba， b1d bd.又 ba bd b， b1d面 abd. b1d? 面 a1b1d，平面a1b1d平面 abd.

26、(2) eg a，1， 1 ，ef (0 ， 1，1) ， bd (0 ， 2， 2) ，21 b1d·eg 0，b1d· ef 0. b1deg， b1d ef. egef e， b1d平面 egf.又由 (1) 知 b1d平面 abd，平面egf平面 abd.類型五空間距離正方體 abcd- a1b1 c1d1 的棱長為1，e， f 分別為 bb1，cd的中點，求點f 到平面 a1d1e 的距離解： 以 a 為坐標原點， ab，ad，aa1 所在直線分別為x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系， 如圖所示， 則 a1(0 ，110，1) ，e 1， 0，f1， 0 ，

27、d(0 ，1，1) ，122 ae 1， 0， 1 ， ad (0 ， 1， 0) 121 1設(shè)平面 a1d1e 的一個法向量為n ( x，y， z) ，1n·ae 0，則即· x 1z0，2na1d1 0，y 0，令 z 2，則 x1. n (1 ， 0， 2) a又 1f1， 1， 12點 f 到平面 a1d1e的距離為1| af· n| d| n|12 2535 10 .【點撥】 利用空間向量求距離的基本方法：(1) 兩點間的距離111222121212設(shè)點 a( x ， y ， z ) ，點 b( x ， y ，z ) ，則 | ab| | ab| （ x

28、 x ） 2（ y y ）2（ z z ） 2.(2) 點到平面的距離如圖所示， 已知 ab為平面 的一條斜線段， n 為平面 的法向量，則 b到平面 的距離為 | bo| |·abn| n|.如圖， bcd與 mcd都是邊長為2 的正三角形，平面mcd平面 bcd， ab平面 bcd， ab 23. 求點 a 到平面 mbc的距離解： 取 cd中點 o，連接 ob， om，則 ob cd， om cd.又平面 mcd平面 bcd，則 mo平面 bcd.以 o為原點，直線oc， bo， om為 x 軸， y 軸， z 軸，建立如圖所示空間直角坐標系易知 ob om3，則各點坐標分別為

29、o(0 ， 0，0) ， c(1 ， 0， 0) ， m(0 ， 0，3) ， b(0 ，3， 0) ，a(0 ，3， 23) 設(shè)平面 mbc的一個法向量m ( x，y， z) bc(1 ，3， 0) ， bm (0 ，3，3) ，m·bc 0，即m·bm 0，x3y 0， 3y3z 0.取 z 1，則 m(3， 1， 1) 又 ab(0 ， 0， 23) ，點 a到平面 mbc的距離| ab·m| 23|2d| m|5 515.類型六空間角度( 2015·天津 ) 如圖，在四棱柱abcd- a1b1c1d1 中，側(cè)棱a1a底面 abcd， ab ac，

30、 ab1， ac aa1 2， adcd5，且點 m和 n分別為 b1c 和 d1d的中點(1) 求證： mn平面 abcd；(2) 求二面角d1- ac- b1 的正弦值；(3) 設(shè) e為棱 a1b1 上的點，若直線ne和平面 abcd所成角的正弦值為13，求線段a1e 的長解： 如圖，以a 為原點建立空間直角坐標系，依題意可得a(0 ， 0， 0) ， b(0 ， 1，0) ， c(2 ，0， 0) ，d(1 ，1 2，0) ，a1(0 ，0，2) ，b1(0 ，1，2) ，c1(2 ，0，2) ，d1(1 ， 2，2) m，n分別為 b1 c和 d1d 的中點， m 1，n(1 ， 2，

31、1) ， 1 ，2(1) 證明： 依題意，可得n (0 ， 0，1) 為平面 abcd的一個法向量，mn5，0， 02·mn由此可得 n0. 又直線mn?平面 abcd， mn平面 abcd.1(2) ad (1 ， 2，2) ，ac (2 ， 0，0) 設(shè) n1 ( x1， y1， z1) 為平面 acd1 的一個法向量，則 x1 2y1 2z1 0，n1· ad10，即n1· ac0，2x1 0.不妨設(shè) z1 1，可得 n (0 ， 1， 1) n2· ab10，y22z2 0，設(shè) n2 ( x2， y2，z2) 為平面 acb1 的一個法向量，則z

32、2 1，可得 n2 (0 ， 2， 1) n2· ac 0，由ab1 (0 ，1， 2) ，得2x2 0.不妨設(shè)n1· n212因此有 cos n1，n2 | n | · | n | 1010 ，于是sin n1， n231010.310二面角d1- ac- b1 的正弦值為10.(3) 依題意，可設(shè) a1e a1b1，其中 0 ， 1 ，則 e(0 ， ，2) ，從而 ne ( 1， 2，1) 又 n (0 ，·0，1) 為平面 abcd的一個法向量， cosne，nnen11222 ，解得 ±7 2. 又 0 ， 1 ， 7 2.線段 a1

33、e 的長為7 2.| ne| ·|n|（ 1） （ 2） 13【點撥】 (1) 當直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線與平面平行(2) 求二面角的正弦值，可分三步，第一步：求出兩個平面的法向量；第二步：求出兩個法向量夾角的余弦值；第三步：由二面角范圍0 ，3知正弦值為正， 由余弦值可得正弦值(3) 直線 ne和平面 abcd所成角的正弦值為1，則直線 ne的方向向量 ne與平面 abcd的法向量的夾角余弦值為1，由此確定點e 的位置3( 2014·天津 ) 如圖，在四棱錐p- abcd中，pa底面 abcd， ad ab， ab dc， ad dc ap 2， ab1，

34、點 e為棱 pc的中點(1) 證明： be dc；(2) 求直線 be與平面 pbd所成角的正弦值；(3) 若 f 為棱 pc上一點，滿足bfac，求二面角f- ab- p 的余弦值解： 以 a 為原點建立空間直角坐標系，可得b(1 ， 0，0) ，c(2 ，2， 0) ，d(0 ，2，0) ， p(0 ， 0，2) 由 e 為棱 pc的中點，得e(1 ， 1， 1) (1) 證明： 向量 be (0 ， 1， 1) ，dc (2 ， 0，0) ，故 be· dc 0. 所以 bedc. (2) 向量 bd ( 1， 2， 0) ， pb (1 ，0， 2) 設(shè) n ( x， y，z

35、) 為平面 pbd的法向量，則n· bd 0，即· 0， x 2y 0，x 2z 0.不妨令 y 1，可得 n (2 ，1， 1)npbn· be2 3為平面 pbd的一個法向量于是有cos n， be3| n| be|6×. 直線 be與平面 pbd所成角的正32弦值為3 .(3) 向量 bc (1 ，2， 0) ，cp ( 2， 2， 2) ， ac (2 ， 2， 0) ， ab (1 ，0， 0) ，由點 f 在棱 pc上，設(shè) ，0 1. 故 (1 2，2 2，2) 由 bf ac，cfcpbfbccfbc223cp113得bf· ac

36、0，因此 2(1 2) 2(2 2) 0. 解得 ， 即 bf ， ，. 42設(shè) n1 ( x， y， z) 為平面 fab的法向量，則n1·ab 0，即x 0，113不妨令 z 1，可得 n1 (0 ， 3， 1) 為平面 fab的一個法向量取平面 abp的法向量n2 (0 ， 1， 0) ，則n1·bf 0， 2xy z0. 2212cos n ， n n1·n2 3310.| n1| n2|10×110310易知二面角f- ab- p 是銳角，其余弦值為10.1. 在涉及正方體、長方體、直棱柱等幾何體時，通過建立空間直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標運算解

37、決幾何問題簡便有效，具體步驟為：(1) 建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2) 求相關(guān)點的坐標；(3) 表示向量的坐標；(4) 向量的坐標運算；(5) 根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義表述有關(guān)問題yz2. 通過空間向量的坐標運算可解決立體幾何中平行與垂直等位置關(guān)系問題，利用數(shù)量積可計算空間角和距離等問題，要注意空間角度與向量角度之間的區(qū)別和聯(lián)系，求距離往往利用公式| a|a· ax222計算，也可利用 | a· e| | a| cos |( e 為單位向量， 為 a，e 的夾角 ) 來求一個向量在另一條直線上的射影長3. 用向量方法證明空間中的平行關(guān)系(1) 線線平行證明兩直線的方向向量平

38、行(2) 線面平行證明線面平行有三種方法：一是證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；二是在平面內(nèi)找一向量與直線的方向向量共線；三是證明直線的方向向量可以利用平面中的兩不共線向量線性表示(3) 面面平行證明面面平行有兩種方法：一是證明兩個平面的法向量平行；二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題4. 用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系(1) 線線垂直證明兩直線的方向向量垂直(2) 線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量平行根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直的問題(3) 面面垂直根據(jù)面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直的問題證明兩個平面的法向量互相垂直5. 用向量

39、方法求空間角(1) 兩條異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求，但二者不完全相同，兩異面直線所2成角的取值范圍是0， ，而兩向量所成角的取值范圍是0 ， ，所以當兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角(2) 利用空間向量求直線與平面所成的角，可以有兩種方法：通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角；分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量，再轉(zhuǎn)化為求這兩個方向向量的夾角( 或其補角 ) 注意：直線與平面所成角的取值范圍是0， 2.(3) 利用空間向量求二面角，也可以有兩種方法：分別在二面角- l -

40、的面 ， 內(nèi)，沿 ， 延伸的方向作向量n1l ， n2 l ，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大?。煌ㄟ^法向量求解設(shè)m1 ， m2 ，則兩向量的夾角與該二面角相等或互補注意：二面角的取值范圍是0 ， 6. 空間距離空間中的距離有：點到點的距離、點到線的距離、點到面的距離、線到線的距離、線到面的距離、面到面的距離求距離的一般步驟是：一作作出表示距離的線段；二證證明它就是所要求的距離；三算 計算其值(1) 求空間中點到點的距離，可以利用兩點間的距離公式，或轉(zhuǎn)化為解三角形(2) 利用三棱錐的底面與頂點的轉(zhuǎn)換，可求三棱錐的高，即用等體積法求點到面的距離(3) 空間中的各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化

41、為點點距、點線距、點面距，若用向量方法求空間距離，則點點距、點線距最終都可用空間向量的模來求解，而點面距則可由平面的法向量來求解1已知向量a(1 ， 1，0) ， b ( 1， 0， 2) ，且 kab 與 2a b 互相垂直，則k 的值是 ()137a 1b. 5c. 5d. 5解： 易知 ka b k(1 ， 1， 0) ( 1， 0， 2) ( k1， k， 2) ，2ab2(1 ， 1，0) ( 1， 0， 2) (3 ， 2， 2) kab 與 2ab 互相垂直， ( kab) ·(2 a b) ( k 1， k， 2) ·(3 ， 2， 2) 0， 7解得 k.

42、 故選 d. 52已知點a(2 ， 5， 1) ， b(2 ， 2， 4) ， c(1 ， 4， 1) ，則向量a30°b45°c60°d90°ab與ac的夾角為 ()解： 由已知得ab (0 ， 3，3) ， ac( 1， 1， 0) ，ab· ac3 1 cosab， ac .32×2向量| ab| ac|2abac 與 的夾角為60° . 故選 c.3已知 ab (1 ，5， 2)，bc (3 ，1，z)，bp ( x 1，y， 3) 若abbc，且bp平面 abc，則bp ()20a.7 ，157 ， 3b.407 ，157 ， 333c.7 ，157 ， 3d.337 ，157 ， 3解： ab bc， ab· bc 0，即 1×35×12× z 0，解得 z4. 又bp平面 abc，bp· ab 0，有即bp· bc 0，40（x 1） 5y 6 0， 3（ x 1） y 120，x 7 ，解得15 bp337 ，157 ， 3 . 故選 d.y 7 .4. 長方體 abcd- a1 b1c1d