1、1 / 11 專題 5 函數(shù)中恒成立與存在性問題 一、 函數(shù)中恒成立與存在性問題知識(shí)框架 二、函數(shù)中恒成立問題 【一】分離參數(shù)法【一】分離參數(shù)法 1.例題 【例 1】不等式3ln1xx eaxx+對(duì)任意(1,)x+恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ） a(,1 e b2(,2e c(, 2 d(, 3 【例 2】已知函數(shù)( )lnf xaxxx=+的圖象在點(diǎn)ex =（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3 (1)求實(shí)數(shù)a的值； 利用分離參數(shù)法來確定不等式利用分離參數(shù)法來確定不等式(),0f x,（ dx,為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)的取值范圍的基的取值范圍的基本步驟本步驟: 將參數(shù)

2、與變量分離,即化為( )( )gf x（或( )( )gf x）恒成立的形式； 求( )f x在xd上的最大（或最?。┲?； 2 / 11 (2)若2( )f xkx對(duì)任意0 x 成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知函數(shù)( )logaf xx=,( )2log (22)ag xxt=+ ,其中0a 且1a ,tr (1)若4t =,且1 ,24x時(shí),( )( )( )f xg xf x=的最小值是2,求實(shí)數(shù)a的值； (2)若01a,且1 ,24x時(shí),有( )( )f xg x恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 【練習(xí) 2】若(0,)x+，1lnxexxax+恒成立，則a的

3、最大值為（ ） a1 b1e c0 de 【練習(xí) 3】已知ar，設(shè)函數(shù)+=1,ln1,22)(2xxaxxaaxxxf若關(guān)于x的不等式0)(xf在r上恒成立，則a的取值范圍為（ ） a0,1 b0,2 c0,e d1,e 【二】函數(shù)性質(zhì)法【二】函數(shù)性質(zhì)法 3 / 11 1.例題 【例 1】定義域?yàn)閞的函數(shù)( )fx滿足()( )22f xf x+=，當(dāng)0,2x時(shí)，( )232,0,11,1,22xxx xf xx= ，若當(dāng))4, 2x 時(shí)，不等式( )2142mf xm+恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） a2,3 b1,3 c1,4 d2,4 【例 2】若對(duì)ix，()2,xm+，且12xx，

4、都有122121lnln1xxxxxx，則m的取值范圍是（ ）注:（ e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，即2.71828e =） a1,e+ b), e + c)1,+ d)1, + 【例 3】已知函數(shù)21ln21)(2+=xxaxxf，對(duì)任意 x1，)，當(dāng)mxxf)(恒成立時(shí)實(shí)數(shù) m 的最 大值為 1，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 2.鞏固提升綜合練習(xí) 利用函數(shù)性質(zhì)求解恒成立問題，常見的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值。因含有參數(shù)，大多要分類討論. xd,均有 f(x)a 恒成立,則 f(x)mina； xd,均有 f(x)a 恒成立,則 f(x)maxg(x)恒成立,則 f(x)= f(x)- g(x

5、) 0, f(x)min 0； xd,均有 f(x)g(x)恒成立,則 f(x)= f(x)- g(x) 0, f(x) max g(x ),f(x) g(x) 4 / 11 【練習(xí) 1】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） a(e，- b），（e- c），（2-e d2-e， 【練習(xí) 2】已知定義在r上的偶函數(shù)( )fx在0,)+上遞減，若不等式2 (ln1)(ln1)faxxf axx+( )31f對(duì)1,3x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） a2,e b1 ,)e+ c1 , ee d1 2ln3 ,3e+ 【練習(xí) 3】若，滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_ 【三】數(shù)形結(jié)

6、合法【三】數(shù)形結(jié)合法 1.例題 【例 1】已知函數(shù)( )222f xxkx=+,在1x恒有( )f xk,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的,即不能用分離參數(shù)法解決問題時(shí)，可以利用函數(shù)圖象來解：即不能用分離參數(shù)法解決問題時(shí)，可以利用函數(shù)圖象來解： 利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題,應(yīng)先構(gòu)造函數(shù),作出符合已知條件的圖形,再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系,得出答案或列出條件,求出參數(shù)的范圍. （1）對(duì)于一次函數(shù),)(nmxbkxxf+=有： 0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立 （2）對(duì)于二次函數(shù))0()(2+=ac

7、bxaxxf, 5 / 11 【例 2】已知函數(shù) f(x) |x32x2x|， x1，lnx， x1，若對(duì)于tr，f(t)kt 恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是_ 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知定義在r上的奇函數(shù)( )f x滿足:當(dāng)0 x 時(shí),( )3f xx=,若不等式()()242ftfmmt+對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） a(),2 b()2,0 c. ()(),02,+ d() (),22, + 【練習(xí) 2】若不等式()2211xm x 對(duì)任意1,1m 恒成立,實(shí)數(shù) x 的取值范圍是 . 【練習(xí) 3】已知函數(shù)23ln ,1( ),46,1x xf xxxx=+

8、 若不等式( ) |2|f xxa對(duì)任意(0,)x+上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ） a13,3e b3,3ln5+ c3,4ln2+ d13,5e 三、函數(shù)中存在性問題 6 / 11 1.例題 【例 1】 已知函數(shù) f(x)x|x2a ，若存在 x1，2 ，使得 f(x)0，x0. (1) 對(duì)任意2 , 1x，都有)()(xgxf恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2) 對(duì)任意2 , 11x，任意4 , 22x，都有)()(21xgxf恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3) 對(duì)任意2 , 11x，存在4 , 22x，使)()(21xgxf成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (4) 存在2 , 11x，

9、任意4 , 22x，使)()(21xgxf成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知二次函數(shù) () = 2+ + ( 0) 的圖象過點(diǎn) (1,0)若對(duì)任意的 1 0,2，存在 2 0,2，使得 (1)+ (2) 32，求 的取值范圍. . dx 1, ex 2, 使得)()(21xgxf成立,則minmin)()(xgxf . dx 1, ex 2, 使得)()(21xgxf成立,則maxmax)()(xgxf. .dx 1, ex 2, 均 使得)()(21xgxf=成 立 , 則ba. （ 其中)(xfyya=、 )(xgyyb=） 9 / 11 【練習(xí) 2】 已知

10、函數(shù) () =122 (2 + 1) + 2ln( ) （1）若曲線 = () 在 = 1 和 = 3 處的切線互相平行，求 的值； （2）求 () 的單調(diào)區(qū)間； （3）設(shè) () = 2 2，若對(duì) 1 (0,2，均存在 2 (0,2，使得 (1) (2)，求 的取值范圍 五、課后自我檢測(cè) 1已知函數(shù)( )lnf xaxxx=+的圖象在點(diǎn)ex =（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3 (1)求實(shí)數(shù)a的值； (2)若2( )f xkx對(duì)任意0 x 成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 2.已知函數(shù)( )logaf xx=,( )2log (22)ag xxt=+ ,其中0a 且1a ,tr (1)若4t

11、=,且1 ,24x時(shí),( )( )( )f xg xf x=的最小值是2,求實(shí)數(shù)a的值； 10 / 11 (2)若01a,且1 ,24x時(shí),有( )( )f xg x恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 3.設(shè)函數(shù)( )()21xf xexaxa=+,其中1a ,若存在唯一的整數(shù)t,使得( )0f t ,則a的取值范圍是（ ） a3,12e b33,24e c33,24e d3,12e 4.已知函數(shù) f(x)x3ax210,若在區(qū)間1,2內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù) x,使得 f(x)0成立,求實(shí)數(shù) a的取值范圍 5.若不等式()2211xm x 對(duì)任意1,1m 恒成立,求實(shí)數(shù) x的取值范圍. 6.若不等式()()21 313ln1 ln33xxax+對(duì)任意的(,1x 恒成立,則a的取值范圍是（ ） a. 10,3 b. 10,3+ c. )2,+ d. (,2 11 / 11 7.已知函數(shù)( )222 ,02 ,0 xx xf xxx x+=,若關(guān)于的不等式( )( )20fxaf x+恰有 個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最大值是（ ） a. b. c. 5 d. 8.已知函數(shù)( )1xf xxe=+,若對(duì)任意xr, ( )f xax恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） a. (),1 e b. (1,1e c. )1,1e