1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)三角形四邊形動(dòng)點(diǎn)問題適用學(xué)科初中適用年級(jí)初二適用區(qū)域人教版課時(shí)時(shí)長（分鐘）60 分鐘知識(shí)點(diǎn)幾何綜合動(dòng)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)1、能掌握幾何動(dòng)點(diǎn)類問題的思想方法：數(shù)學(xué)思想：分類思想數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想2、培養(yǎng)學(xué)生的幾何動(dòng)點(diǎn)問題中動(dòng)中求靜的思考能力教學(xué)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力問題 . 教學(xué)難點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)，合作交流的意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于動(dòng)腦和動(dòng)手的良好品質(zhì). 教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1.復(fù)習(xí)所學(xué)過的幾何圖形及其性質(zhì)2.列出所有幾何圖形的面積邊長公式. 二、知識(shí)講解專題一： 一函數(shù)揭示了運(yùn)動(dòng)變化過程中量與量

2、之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動(dòng)點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么 ,我們?cè)鯓咏⑦@種函數(shù)解析式呢 ?下面結(jié)合中考試題舉例分析. 一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式。名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式。三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式。專題二：動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn) - 問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系； 分析過程中， 特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、 特殊圖形的性質(zhì)、 圖形的特殊位置。 ）動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年

3、考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、 直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、 以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題。（一）點(diǎn)動(dòng)問題。（二）線動(dòng)問題。（三）面動(dòng)問題。二、解決動(dòng)態(tài)幾何問題的常見方法有: 1、特殊探路，一般推證。2、動(dòng)手實(shí)踐，操作確認(rèn)。3、建立聯(lián)系，計(jì)算說明。三、專題二總結(jié)，本大類習(xí)題的共性：1代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)2以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函數(shù)值。專題三：

4、雙動(dòng)點(diǎn)問題點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問題稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)活多變而著稱的雙動(dòng)點(diǎn)問題更成為今年中考試 題的熱點(diǎn)， 現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞 . 1 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問題。2 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求結(jié)論開放性問題。3 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求存在性問題。4 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問題。雙動(dòng)點(diǎn)問題的動(dòng)態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,對(duì)同學(xué)們獲取

5、信息和處理信息的能力要求較高;解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過程,并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動(dòng)中取靜 ,靜中求動(dòng)。專題四：函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題專題五：以圓為載體的動(dòng)點(diǎn)問題動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，中考經(jīng)常考察，有一類動(dòng)點(diǎn)問題，題中未說到圓，卻與圓有關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為載體，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，問題便會(huì)迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。三、例題精析【例題 1】如圖，在直角梯形abcd 中，ad bc， b=90 ，ad=24cm，ab=8cm ，bc=26cm ，動(dòng)點(diǎn) p 從 a 開始沿 ad 邊向 d 以 1

6、cm/s的速度運(yùn)動(dòng)； 動(dòng)點(diǎn) q 從點(diǎn) c 開始沿 cb 邊向 b名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)以 3cm/s的速度運(yùn)動(dòng) p、q 分別從點(diǎn)a、c 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（1）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形pqcd 為平行四邊形？（2）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形pqcd 為等腰梯形？（3）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形pqcd 為直角梯形？解析 ：（1）四邊形pqcd 為平行四邊形時(shí)pd=cq （2）四邊形pqcd 為等腰梯形時(shí)qc-pd=2ce （3）四邊形pqcd 為直角梯形時(shí)qc-pd=ec 所有的關(guān)系式都可用含有t 的方程來表示，即此題只要解三個(gè)方程即可解答：解：

7、（1）四邊形 pqcd 平行為四邊形 pd=cq 24-t=3t 解得： t=6 名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)即當(dāng) t=6 時(shí)， 四邊形 pqcd 平行為四邊形（2）過 d 作 debc 于 e 則四邊形 abed 為矩形 be=ad=24cm ec=bc-be=2cm 四邊形 pqcd 為等腰梯形 qc-pd=2ce 即 3t- （24-t ）=4 解得： t=7 （s）即當(dāng) t=7 （s）時(shí)，四邊形pqcd 為等腰梯形（3）由題意知： qc-pd=ec時(shí)，四邊形 pqcd 為直角梯形即3t- （24-t ）=2 解得： t=6.5 （s）即當(dāng) t=6.5 （s）時(shí)，四邊形pqcd 為直角梯形點(diǎn)評(píng)：此

8、題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)【例題 2】如圖，在矩形abcd 中，bc=20cm ，p，q，m ，n 分別從 a，b，c，d 出發(fā)沿 ad ，bc，cb，da 方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止 已知在相同時(shí)間內(nèi)，若 bq=xcm （x 0） ，則 ap=2xcm，cm=3xcm，dn=x2cm（1）當(dāng) x 為何值時(shí)，以pq， mn 為兩邊，以矩形的邊（ad 或 bc）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；（2）當(dāng) x 為何值時(shí)，以p， q，m ，n 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3）以 p，q， m ，

9、n 為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，請(qǐng)說明理由解析 ：以 pq，mn 為兩邊，以矩形的邊（ad 或 bc）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形的必須條件是點(diǎn) p、n 重合且點(diǎn)q、m 不重合，此時(shí)ap+nd=ad即 2x+x2=20cm，bq+mc bc即 x+3x 20cm ； 或者點(diǎn) q、 m 重合且點(diǎn) p、 n 不重合， 此時(shí) ap+nd ad 即 2x+x2 20cm ，bq+mc=bc即 x+3x=20cm所以可以根據(jù)這兩種情況來求解x 的值以 p， q， m ，n 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話，因?yàn)橛傻谝粏柨芍c(diǎn)q 只能在點(diǎn)m的左側(cè) 當(dāng)點(diǎn) p 在點(diǎn) n 的左側(cè)

10、時(shí)， ap=mc ，bq=nd ；當(dāng)點(diǎn) p 在點(diǎn) n 的右側(cè)時(shí)， an=mc，bq=pd 所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)如果以 p， q， m ， n 為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，則必須使得ap+nd ad 即 2x+x2 20cm ，bq+mc bc 即 x+3x 20cm ，ap=nd即 2x=x2 ，bq=mc即 x=3x ，x 0這些條件不能同時(shí)滿足，所以不能成為等腰梯形解答：解： （1）當(dāng)點(diǎn) p 與點(diǎn) n 重合或點(diǎn)q 與點(diǎn) m 重合時(shí)， 以 pq ，mn 為兩邊， 以矩形的邊 （ad或 bc）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形當(dāng)點(diǎn) p 與點(diǎn) n 重合時(shí)，由x2+2

11、x=20，得 x1= -1 ， x2=- -1 （舍去）因?yàn)?bq+cm=x+3x=4（-1 ） 20 ，此時(shí)點(diǎn) q 與點(diǎn) m 不重合所以 x= -1 符合題意當(dāng)點(diǎn) q 與點(diǎn) m 重合時(shí)，由x+3x=20，得 x=5 此時(shí) dn=x2=2520，不符合題意故點(diǎn) q 與點(diǎn) m 不能重合所以所求 x 的值為-1 （2）由（ 1）知，點(diǎn)q 只能在點(diǎn)m 的左側(cè)，當(dāng)點(diǎn) p 在點(diǎn) n 的左側(cè)時(shí)，由 20- （x+3x ） =20- （2x+x2 ） ，解得 x1=0 （舍去），x2=2 當(dāng) x=2 時(shí)四邊形pqmn是平行四邊形當(dāng)點(diǎn) p 在點(diǎn) n 的右側(cè)時(shí)，由 20- （x+3x ） = （2x+x2 ）-

12、20 ，解得 x1=-10 （舍去），x2=4 當(dāng) x=4 時(shí)四邊形nqmp是平行四邊形名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)所以當(dāng) x=2 或 x=4 時(shí)，以 p，q，m ，n 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（3）過點(diǎn) q，m 分別作 ad 的垂線，垂足分別為點(diǎn)e， f由于 2xx，所以點(diǎn) e一定在點(diǎn)p 的左側(cè)若以 p，q，m ，n 為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn) f 一定在點(diǎn)n 的右側(cè)，且pe=nf ，即 2x-x=x2-3x解得 x1=0 （舍去），x2=4 由于當(dāng) x=4 時(shí)，以 p，q，m ，n 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以以 p，q，m ，n 為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形點(diǎn)評(píng)：本題考查到三角形、平行四

13、邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點(diǎn)【例題 3】如圖，在直角梯形abcd 中， ad bc，c=90 ，bc=16 ，dc=12 ，ad=21 ，動(dòng)點(diǎn) p 從點(diǎn) d 出發(fā)，沿射線da 的方向以每秒2 個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)q 從點(diǎn) c 出發(fā)，在線段cb 上以每秒1 個(gè)單位長的速度向點(diǎn)b 運(yùn)動(dòng)， p、q 分別從點(diǎn)d、c 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) b 時(shí)，點(diǎn) p 隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s） （1）設(shè)bpq 的面積為s，求 s 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系；（2）當(dāng) t 為何值時(shí)，以b、p、q 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)解析 ：（1） 若過點(diǎn) p 作 pm bc 于 m ，

14、則四邊形pdcm 為矩形，得出 pm=dc=12， 由 qb=16-t，可知： s= pm qb=96-6t；（2）本題應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，若pq=bq ，在 rt pqm 中，由 pq2=pm2+mq2，pq=qb ，將各數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t 求出；若 bp=bq ，在 rt pmb 中，由 pb2=bm2+pm2，bp=bq ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t求出；若 pb=pq ，pb2=pm2+bm2，pb=pq ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t 求出解答：解： （1）過點(diǎn) p 作 pm bc 于 m ，則四邊形pdcm 為矩形 pm=dc=12， qb=16-t， s= ?qb ?pm= （ 16-

15、t ） 12=96-6t（0 t） 名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（2）由圖可知， cm=pd=2t，cq=t ，若以 b、p、q 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.如圖，已知在矩形abcd中，ad=8 ，cd=4 ，點(diǎn)e從點(diǎn)d出發(fā)，沿線段da以每秒 1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)a方向移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)f從點(diǎn)c出發(fā)，沿射線cd方向以每秒2 個(gè)單位長的速度移動(dòng)，當(dāng)b，e，f三點(diǎn)共線時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)e移動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（1）設(shè)四邊形bcfe的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，以e，f，c三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；解析（1）ed=t，

16、cf=2t， s=sbce+ sbcf=1284+122tt=16+ t2即s=16+ t2 （0 t 4） ；（2）若ef=ec時(shí)，則點(diǎn)f只能在cd的延長線上，ef2=222(24)51616tttt，ec2=222416tt，251616tt=216tt=4 或t=0（舍去）；若ec=fc時(shí)，ec2=222416tt，fc2=4t2，216t=4t2433t；若ef=fc時(shí)，ef2=222(24)51616tttt，fc2=4t2，251616tt=4t2t1=168 3（舍去），t2=168 3當(dāng)t的值為 4，433，168 3時(shí)，以e，f，c三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形名師總結(jié)優(yōu)秀知

17、識(shí)點(diǎn)【鞏固】2.如圖 1，在矩形abcd 中， ab=12cm，bc=6cm ，點(diǎn) p 從 a 點(diǎn)出發(fā)，沿a bcd路線運(yùn)動(dòng)，到d 點(diǎn)停止；點(diǎn)q 從 d 點(diǎn)出發(fā)，沿dcba 運(yùn)動(dòng)，到a 點(diǎn)停止若點(diǎn)p、點(diǎn) q 同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)p 的速度為每秒1cm ，點(diǎn) q 的速度為每秒2cm ，a 秒時(shí)點(diǎn) p、點(diǎn) q 同時(shí)改變速度，點(diǎn)p 的速度變?yōu)槊棵隻（ cm ） ，點(diǎn) q 的速度變?yōu)槊棵隿（ cm ） 如圖 2 是點(diǎn) p出發(fā) x 秒后apd 的面積 s1（cm2）與 x（秒）的函數(shù)關(guān)系圖象；圖3 是點(diǎn) q 出發(fā) x 秒后aqd 的面積 s2（cm2）與 x（秒）的函數(shù)關(guān)系圖象根據(jù)圖象：（1）求 a、b 、c

18、的值；（2）設(shè)點(diǎn) p 離開點(diǎn) a 的路程為 y1（cm ） ，點(diǎn) q 到點(diǎn) a 還需要走的路程為y2（cm ） ，請(qǐng)分別寫出改變速度后y1、y2與出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并求出p 與 q 相遇時(shí) x 的值【答案】 (1) a=8；b=2；c=1 (2) y1=2x 8（x8）;y2=22 x（x8）; 出發(fā) 10 秒時(shí)， p 與 q 相遇名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)【解析】（1）觀察圖象得，s apq=pa?ad=（1a）6=24 ，解得 a=8 （秒）b=2 （厘米 / 秒）（22 8）c= （12 2+6 ） 28 解得 c=1 （厘米 / 秒）（2）依題意得： y1=1 8+2 （x

19、 8） ，即： y1=2x 8（x 8） ，y2= （30 2 8） 1（x8）=22 x（x8）又據(jù)題意，當(dāng)y1=y2時(shí)， p 與 q 相遇，即2x 8=22 x，解得 x=10 （秒）出發(fā) 10 秒時(shí)， p與 q 相遇【拔高】3. 如 圖 1，在矩形 abcd中，點(diǎn) p從 b點(diǎn)出 發(fā)沿著四 邊按 bcda方向 運(yùn)動(dòng) ，開始以每秒m個(gè)單 位 勻速運(yùn)動(dòng) ，a 秒后 變?yōu)?每秒 2 個(gè)單 位勻速運(yùn)動(dòng) ，b 秒后又恢 復(fù)為 每秒 m個(gè)單 位勻速運(yùn)動(dòng) 在 運(yùn)動(dòng)過 程中， abp的面 積 s與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t 的函 數(shù)關(guān) 系如 圖 2 所示（1）求矩形abcd的長和寬；（2）求 m 、a、b 的值【答案】

20、(1) 長方形的 長為 8，寬為 4 (2) m=1;a=4；b=11 名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)【解析】（1）從圖 象可知， 當(dāng) 6t 8 時(shí)， abp面積不變即 6 t8 時(shí)，點(diǎn) p 從點(diǎn) c 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)d，且這時(shí)速度為每秒2 個(gè)單位 cd=2 （86）=4 ab=cd=4 當(dāng) t=6 時(shí)（點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)c） ，s abp=16 ab?bc=16 4bc=16 bc=8 長方形的長為8，寬為 4（2）當(dāng) t=a 時(shí)， s abp=8=16 即點(diǎn) p 此時(shí)在 bc 的中點(diǎn)處 pc=bc=8=4 2（6a） =4 a=4 bp=pc=4 m=bp a=4 4=1 ，當(dāng) t=b時(shí)， s abp=ab?a

21、p=4 4ap=4 ，ap=2 b=13 2=11 ；課程小結(jié)本節(jié)重點(diǎn)講解?？碱}型即一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)類綜合題，著重講解幾何中解決動(dòng)點(diǎn)問題的思路，講解過程中需讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜。名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.如圖，在梯形abcd 中， ad bc，b=90 ， ab=14cm，ad=15cm，bc=21cm ，點(diǎn)m 從點(diǎn) a 開始，沿邊ad 向點(diǎn) d 運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s ；點(diǎn) n 從點(diǎn) c 開始，沿邊cb 向點(diǎn) b運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s 、點(diǎn) m 、n 分別從點(diǎn)a、c 出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒（1）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形mncd是平行四邊形？（2）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形mncd是等腰梯形？【答案】 (1) t=5時(shí)，四邊形mncd是平行四邊形(2) t=9時(shí)，四邊形mncd是等腰梯形【解析】（1）md nc ，當(dāng) md=nc，即 15-t=2t，t=5 時(shí)，四邊形mncd是平行四邊形；（2）作 debc，垂足為e，則 ce=21-15=6，當(dāng) cn-md=12時(shí)，即 2t- （15-t ）=12 ，t=9 時(shí)，四邊形mncd是等腰梯形【鞏固】2.正方形abcd邊長為 4，m、n分別是bc、cd上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)m點(diǎn)在bc上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 保持am和