1、云 南 大 學數學分析習作課（3）論文題 目： 利用冪級數求和函數問題的探究 學 院： 數學與統(tǒng)計學院 專 業(yè)： 數學與應用數學 姓名、學號： 王茂銀 20111910116 任課教師： 黃輝老師 時 間： 2012年12月14日 摘要 如何對冪級數進行求和？冪級數是一種較簡單的函數項級數，在冪級數理論中，對給定冪級數討論其收斂性，求收斂冪級數的和函數是重要內容之一，冪級數求和的求解是一類難度較大技巧性較高的問題，更好地了解和掌握冪級數求和的方法和技巧對于學習冪級數具有更好的指導意義和學習價值，求冪級數和函數的方法與技巧是多種多樣的，一般要綜合運用求導、拼湊、分解等來求解，因此它是一個難度較大

2、、技巧較高的有趣的數學問題。關鍵詞：冪級數；和函數；收斂；級數。一、冪級數的基本概念 1、冪級數的定義 設是定義在數集上的一個函數列，則稱 為定義在上的函數項級數，記為。 具有形如 的函數項級數稱為在點處的冪級數。 特別地，在中，令，即上述形式化為 稱為在0點的冪級數。 2、冪級數的和函數若對冪級數中的都有，則稱為冪級數的和函數。 冪級數的部分和記為 且部分和有如下性質2、 冪級數收斂的判別冪級數求和是建立在級數收斂的基礎上的，所以需先判斷一個級數是否收斂，可以通過以下定理判斷級數收斂性。 柯西-阿達馬定理：冪級數 在內絕對收斂，在內發(fā)散。 其中，是冪級數的收斂半徑阿貝爾第一定理：若在點 收斂

3、，那么它必在內絕對收斂，又若在點發(fā)散，則它必在也發(fā)散。（對冪級數，如果存在，則此級數的收斂半徑也可以這樣計算又若=0，則，若=，則.)阿貝爾第二定理：若的收斂半徑為，則次級數在內的任一閉區(qū)間上一直收斂，也就是在內一致收斂；又若級數在點收斂，則它必在一致收斂.同理，當級數在收斂時可得類似結論。注：冪級數的性質 設冪級數的收斂半徑為，則其和函數在內連續(xù).又若冪級數在（或）收斂，則在（或）連續(xù)。 設冪級數的收斂半徑為，其和函數為，則在內冪級數可以逐項積分和逐項微分.即對內任意點,有以及且逐項積分和逐項求導后的級數（顯然是冪級數），其實力半徑認為。三、冪級數求和函數的方法方法一：定義法對于冪級數，若前

4、項和函數列有極限，即 存在，則此冪級數收斂，且所以，冪級數的和 例1：求冪級數的和函數，其中，。 解：當時 方法二：分項組合法通過觀察冪級數具有某些明顯的特征，比如可以將已知級數的通項拆項組 合，再計算所拆得各項的和函數，從而求得該級數的和函數。 例2：求的和函數。 解:易知該級數的收斂域為 當時， 當時 所以 方法三：逐項求導與逐項積分法若冪級數的通項系數是自然數或相鄰的自然數相乘的形式，可考慮用“先 積分，再求導”的做法；若冪級數的通項系數是自然數的倒數或相鄰的自然數 乘積的倒數，可考慮用“先求導，再積分”的做法。 性質：（即冪級數中時）設冪級數在內的 和函數為，則在內每一點都是可導的，且

5、有逐項求導公式： 求導后的冪級數與原冪級數有相同的收斂半徑。在內可以積分，且有逐項積分公式： 其中是內任意一點，積分后的冪級數與原冪級數有相同的收斂半徑 。 例3：求冪級數的和函數。 解：易知該級數的收斂域為，在任意區(qū)間上可以逐項積分 令 所以 從而可得所求和函數 例4：求冪級數的和函數。 解：易知收斂區(qū)間為 當時， 當時 設 得出 綜上所述 方法四：代數方程法此種方法目的在于建立以所求冪級數的和為變量的代數方程，并解之，從而得到原冪級數的和函數。 例5：設有等差數列 ： 等比數列 ： 則各項為等差數列、等比數列對 應項的乘積所構成的級數為 求其和函數,其中為常數。 解：易知此級數的收斂域為

6、所以 例6：求冪級數 的和函數，其中 為 的 次多項式。 解：記 則 其中 為的次多項式 再使用一次以上的運算方法可得 - 得 其中 為的次多項式 反復使用以上的方法可以得到 這樣就可以求得 。方法五：微分方程法（引用）在冪級數中，有一類含有階乘運算的冪級數，這種冪級數的和函數的求法，也就是把冪級數的和函數微分后，再與原來冪級數作某種運算，得到一個含有冪級數和函數以及和函數導數的關系式，即微分方程，最后求解此微分方程即得和函數。 第一類：比較常見的冪級數例如這種類型的，只要對其進行逐項求導，找出各導函數之間滿足的方程，得到一個關于導函數的微分方程。 例：求冪級數的和。思路：先設函數，分別對函數

7、對x進行一階求導，二階求導，得到，將，相加即得方程，由已學知識可知，故得微分方程，故只需次微分方程即可，這是二階線性常系數非齊次微分方程，可求得，所以冪級數的和為。 第二類：例如這種類型的級數，在求和的時候采用其他常用的方法是很難求出的，因為的系數的分子是等差數列前n項的和，而分母則是公差的n次冪與n！的積，要逐項求導則需要n次才能把n！約掉，但此時已近很復雜了，且不能順利求和，于是我們想辦法來求所給級數在它的收斂域內所代表的可微函數所滿足的微分方程。當然這個微分方程的階數越低越好。事實上，令對其逐項微分可得， (1-x) = = = = 這說明所給無窮級數表示函數滿足一階微分方程 解次微分方

8、程并注意到則可求得 即 這種方法用起來，對某些無窮級數還是很有效的，例如對無窮 與無窮級數。 在求和的時候只要令，就可得與的微分方程，再分別求出和即可。 例7：求冪級數在下列情況下的和函數： ，即公差為的等差數列，其中為常數； ，即公比為的等比數列，其中為常數。 解：易知該級數的收斂域為 則 這是一個滿足初始條件的一階常系數的線性微分方程，解此微分方程得 易知該級數的收斂域為 這是一個滿足初始條件的一階常系數的線性微分方程，解此微分方程得 方法六：柯西法如果級數與都絕對收斂，作這兩個級數的乘積，其中，則也絕對收斂，且必有。 例8:求冪級數的和函數 解：令 則為絕對收斂級數 再令為 的泰勒級數：

9、 此級數在內是絕對收斂的。 從而 所以方法七：楊輝三角法（引用）我們首先來考察下楊輝三角里數字排列的規(guī)則。一般的楊輝三角是如下的圖形： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 5 10 1 . 第n行 1 . ,. 1 第n+1行 1 . . 1 . 從上面的圖形中可以看到：這三角形兩斜邊都是1，其余的數都是等于它肩上的兩個數 相加。在一般的情形就一下恒等式等式： (1) 將(1)式推廣下就有 (2) 當時有： ； 當時有： ； 當時有： 所以從理論上可以化解任何一個以k的多項式為一般項的高階等差級數。例如：的和。可以將寫成，而，k為一般項的級數，因而可以很容

10、易的求解出其和。 我們把高階等差級數和等比級數結合起來（在此稱為混合冪級數）考慮，很自然地得出如下的一般式：，當時，那么以上就是我們討論過的高階等差級數。 鑒于關于高階等差級數和混合冪級數的討論，我們對倒數級數也進行 了一定的討論。一般的倒數有如下的等式： 通過 計算我們可以得到一下結論： 利用此等式可以求解類似的 級數。方法八：差分算子求和法(引用）（通項系數是以為自變量的有限次多項式的冪級數求和問題可用此法）若為任意實函數，為差分算子，則定義函數的一階差分為階差分為 定理：設為次多項式，則當時收斂，而且其和 函數 證明：當時，冪級數 收斂，現在定義單位算子及位移算子分別為 則 即 由于 所

11、以 例9：求冪級數 的和函數 解：令 則 故 所以由定理得 則 四、冪級數求和函數的綜合題 例10：求冪級數和函數 其中 解：令 其中 所以 以上三式相加得 這是一個滿足初始條件的二階常系數的線性微分方程，解 此微分方程得 從而 例11：求 的和函數 。 解：易知該冪級數的收斂域為 令 則 令 所以 以上八種方法給冪級數求和方法提供了更廣闊的思路和求解途徑，為冪級數求和的研究提供了一條新的研究方向；對于我們求解冪級數和有更好的指導意義，對于我們數學專業(yè)學生，可以更好地掌握和了解冪級數求和問題，在冪級數求和的學習過程中有更清晰和更廣的思路，也有利于我們更好的學習和掌握冪級數。參 考 文 獻（1）復旦大學數學系陳傳璋編，數學分析第三版. 北京：高等教育出版社.2011.（2）中國人民大學數學教研室編, 微積分. 中國人民大學出版社 出版.（3）微積分學和數學分析指導. 白紅，吳勃英，劉銳 編. 北京: 科學出版社.2001.（4）盧丁著，趙慈庚等譯.數學分析原理M.機械工業(yè)出版社，2004 （5）王元等.華羅庚科普著作選集M.上海:上海教育出版社,1984（6）裴禮文數學分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版 杜，1993.（7）黎力軍.冪級數的算子求和法J.邵陽高專學報, 1994（8）柯朗，約翰著