1、勾股定理習題集一、選擇題（本大題共13 小題，共 39.0 分）1. 下列命題中，是假命題的是 (?)A. 在 ?中，若 ?= ?- ?，則 ?是直角三角形B. 在?2= (?+ ?)(?-?)，則 ?是直角三角形中，若 ?C. 在 ?中，若 ?： ?： ?=3： 4： 5，則 ?是直角三角形D. 在 ?中，若 a： b： ?= 3 ： 4：5，則 ?是直角三角形2.ab c?的對邊，則下列條件中： ?= 4，?= 71；已知 ?中， 、 分別為 ?、 ?、21；222?= 8：? ：?3 2 ? ?= 345?2=1：；?： ： ； ?= 2 ?= 2 ?.其中能判斷 ?是直角三角形的有(?

2、)個A. 1B. 2C. 3D. 43.下列四組線段中，可以構成直角三角形的是(?)A. 2，5，7B. 4，5，6C. 2， 3 ，5D. 32，42 ，524. 如圖，直線 l 上有三個正方形 ?，?，?，若 ?，?的面積分別為 5 和 11，則 b 的面積為 (?)A.4B.6C.16D.555.一位工人師傅測量一個等腰三角形工件的腰， 底及底邊上的高， 并按順序記錄下數據，量完后，不小心與其他記錄的數據記混了，請你幫助這位師傅從下列數據中找出等腰三角形工件的數據(?)A. 13 ，10，10B. 13 ，10，12C. 13 ，12 ，12D. 13 ，10 ，116. 直角三角形兩條

3、直角邊的和為7，面積為 6，則斜邊為 (?)A. 37B. 5C. 25D. 77. 如圖，在四邊形ABCD 中， ?= ?= 90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，若?1 + ?4= 100，?3 = 36 ，則 ?2 = (?)A. 136B. 64C. 50D. 818. 如圖，在矩形 ABCD 中，?= 8 ，?= 4，將矩形沿 AC 折疊，點 D 落在 ?處，則重疊部分 ?的面積是 (?)A.8B.D.10C. 20329. 如圖，第 1 個正方形 (設邊長為 2) 的邊為第一個等腰直角三角形的斜邊，第一個等腰直角三角形的直角邊是第 2 個正方形的邊， 第 2

4、個正方形的邊是第2 個等腰三角形的斜邊 依此不斷連接下去.通過觀察與研究，寫出第 2016 個正方形的邊長?為(?)2016第1頁，共 19頁A.C.1 2015?=4()201621 2016?2016 = 4( 2)B.D.?2016=2(220153)?2016=2(220162)10. 如果將長為 6cm，寬為 5cm 的長方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長不可能是(?)A. 8cmB. 52?C. 5.5?D. 1cm11.?= 12，則?(?)中， ?= 15 ，?= 13，高的周長為A. 42B. 32C. 42或 32D.37或3312.如圖，在 ?中， ?= 90°

5、6，?=是?的平分線 .若， ?=8，?分別是AD和AC上的動點，則 ?+ ?的最小值是 (?)?， ?A. 2.4B. 4C. 4.8D. 513. 如圖所示， ?的頂點AB、C在邊長為1的正方形網格的格點上，?于、點 D，則 BD 的長為 (?)A. 545B. 32 524C. 55D. 33二、填空題（本大題共15 小題，共 45.0 分）14. 如圖， ?= 13 ，?= 12 ， ?= 90°，?= 3， ?= 4.則陰影部分的面積=_ 15. 若一個三角形的三邊之比為5：12：13，且周長為 60cm，則它的面積為 _ ?216. 如圖，在?中， ?= ?= 13 ，?

6、=10，?是 AB 的中點，過點 D 作 ?于點 E，則 DE 的長是 _第2頁，共 19頁17. 如圖，所有的四邊形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的邊長為3cm，則圖中所有正方形的面積之和為_2 ?18. 如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D 的邊長分別是3、 5、 2、 3，則最大正方形E 的面積是 _ 19. 如圖是由一系列直角三角形組成的螺旋形，?= ?= ? = ? ? = 1，則第 n 個直角12?三角形的面積為_ 20. 如圖，在 ?中， ?= ?= 5， ?= 6，點 M 為 BC

7、 中點，?于點 N，則 MN 的長是 _ 21. 如圖，點 P 是等邊 ?內一點，連接 ?，?，?，?： PB： ?= 3： 4： 5，以 AC 為邊作 ? ?，連接 ?，則有以下結論： ?是等邊三角形； ?是直角三角形；°° ?= 150； ?= 105其中一定正確的是_ . (把所.有正確答案的序號都填在橫線上)22. 如圖所示，是用 4個全等的直角三角形與1 個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案， 已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用表?，?示直角三角形的兩直角邊 (?>?)，下列四個說法：22? +?=49， ?- ?= 2， 2?+ 4= 49， ?+

8、?= 9.其中說法正確的結論有 _ 23. 已知，如圖長方形 ABCD 中，?= 3?， ?= 9?，將此長方形折疊，使點 B 與點 D 重合，折痕為 EF ，則 ?的面積為 _ 24. 若直角三角形的兩條邊長為 ?，?，且滿足 (?- 3) 2 + |?- 4| = 0，則該直角三角形的第三條邊長為 _ 25. 如圖，矩形 ABCD 中， ?= 12?，?= 24?，如果將該矩形沿對角線 BD 折疊，那么圖中陰影部分的面積_ 第3頁，共 19頁26.如果一架25 分米長的梯子，斜邊在一豎直的墻上，這時梯足距離墻角7 分米，若梯子的頂端沿墻下滑4 分米，那么梯足將向右滑_ 分米27.如圖，點E

9、是正方形ABCD內的一點，連接AE、BE、CE，將 ?繞點 B 順時針旋轉°90 到 ?的位置 .若 ?=1，?= 2 ，?= 3，則 ?= ?度 .28.已知a是 13的整數部分，3+ 3= ?+ ?，其中 b 是整數，且 0 < ?< 1，那么以 a、b 為兩邊的直角三角形的第三邊的長度是_ 三、計算題（本大題共2 小題，共12.0 分）29.?°°，如圖，在，?=30 ，?中， ?= 120垂足為，求 AB 的長?，?= 1?30. 如圖，折疊矩形的一邊 AD，使點 D 落在 BC 邊的點 F 處，已知 ?= 8?，?= 10?，求 EC 的長四

10、、解答題（本大題共8 小題，共64.0 分）31. 如圖，在筆直的鐵路上 A、 B 兩點相距 25?，?、D為兩村莊， ?= 10?，?= 15?，?于?， ?于 B，現(xiàn)要在 AB 上建一個中轉站 E，使得 C、D 兩村到 E 站的距離相等 .求 E 應建在距 A 多遠處？32. 如圖，在 ?中， ?= 15 ，?= 14 ，?= 13 ，求?的面積某學習小組經過合作交流， 給出了下面的解題思路， 請你按照他們的解題思路，完成解答過程(1) 作?于 D，設 ?= ?，用含 x的代數式表示 CD ，則 ?=_ ；(2)請根據勾股定理，利用AD 作為“橋梁”建立方程，并求出x 的值；(3)利用勾股

11、定理求出 AD 的長，再計算三角形的面積第4頁，共 19頁33. 如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處( 與墻面和地面均沒有縫隙 ) ，有一只螞蟻從柜角 A 處沿著木柜表面爬到柜角?處.1(1) 請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；(2) 當?= 4，?= 4 ，?1= 5 時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；(3) 求點 ?到最短路徑的距離134. 在°?、? ?a bc，設?中， ?= 90，、的對邊長分別為、的面?積為 S，周長為l(1) 填表：三邊 a、 b、 c?+ ?- ?3452、 、5、 12、 1348、 15、 176?(2)如果 ?+ ?- ?= ?，觀察上表猜想

12、：?= _ ， ( 用含有 m 的代數式表示 ) ；?(3)說出 (2) 中結論成立的理由35. 點 ?，?的位置如圖，在網格上確定點C°，使 ?= ?， ?= 90(1) 在網格內畫出 ?；(2) 直接寫出 ?的面積為 _第5頁，共 19頁36. 如圖，將長方形 ABCD 沿直線 AE 折疊，頂點 D 恰好落在 BC 邊上點 F 處 .已知 ?= 3?，?= 8?求.：(1)?的長；(2) 陰影部分的面積37. 小明和同桌小聰在課后復習時，對課本“目標與評定”中的一道思考題，進行了認真的探索【思考題】如圖，一架2.5米長的梯子AB 斜靠在豎直的墻AC 上，這時 B 到墻 C 的距離

13、為 0.7 米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B 將向外移動多少米？(1) 請你將小明對“思考題”的解答補充完整：解：設點 B 將向外移動 x 米，即 ?1= ?，則 ?1?= ?+20.72- 0.4= 20.7 ，?1 ?= ?- ?=1 2.5 -而 ? = 2.5?222得方1，在? + ?1= ?1 ?111 1 中，由 ?1程 _，解方程得 ? = _， ? = _ ，12點 B 將向外移動 _米 .(2) 解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：【問題一】在“思考題”中，將“下滑 0.4米”改為“下滑 0.9米”，那么該題的答案會是 0.9 米嗎？為什么？【問題二】在“

14、思考題”中，梯子的頂端從A 處沿墻 AC 下滑的距離與點B 向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？請你解答小聰提出的這兩個問題38. 如圖，有一段15m 長的舊圍墻AB，現(xiàn)打算利用該圍墻的一部分( 或全部 ) 為一邊，再用 32m 長的籬笆圍成一塊長方形場地CDEF (1) 怎樣圍成一個面積為 126?2 的長方形場地？(2) 長方形場地面積能達到 130?2嗎？如果能，請給出設計方案，如果不能，請說明理由第6頁，共 19頁答案和解析【答案】1.C2.C3. C4. C5. B6. B7. B8.B9.B10. A11. C12. C13.A14. 2415. 1206016. 1317. 2

15、718. 4719.20.?212521. 22. 223. 6?24.5 或725.290?26.827.13528.7或 529.解：在 ?中， ?=°°120 ，?= 30， ?= 180°°30°= 30°°90°°- 120-，?= 120-=30；即 ?=?，?= ?= 1?在 ?中， ?=?tan30 °= 330. 解： 四邊形 ABCD 為矩形，?= ?= 8 ，?= ?=10， ?= ?=°?= 90 ，折疊矩形的一邊AD，使點 D 落在 BC 邊的點 F 處，?=

16、 ?= 10 ，?= ?在 ?中，2222，?= ?= 10 - 8-= 6?= ?- ?= 4 ，設 ?= ?，則 ?= 8 - ?，?= 8 - ?，在 ?中，222 ，?+ ?= ?222，解得 ?= 3，?+4=(8- ?)?的長為 3cm31. 解：設 ?= ?，則 ?= 25 - ?，由勾股定理得：在 ?中，22222? = ?+ ? = 10+ ?，在 ?中，22222，? = ?+ ? = 15+ (25 - ?)由題意可知： ?= ?，所以： 10222+2，+?=15(25 - ?)第7頁，共 19頁解得： ?= 15?(6. 分 )所以， E 應建在距A 點 15km 處

17、32.14- ?33.解： (1) 如圖，?木柜的表面展開圖是矩形或1?1故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的或?1；(2) 螞蟻沿著木柜表面矩形爬過的路徑的2+(4+5)2=97長是 ?1= 4螞蟻沿著木柜表面矩形矩形?的長1?1爬過的路徑 ?1=97 ，螞蟻沿著木柜表面?爬過的路徑?221?1的長是?= (4+ 4)+5=8912，故最短路徑的長是?> ?89122 =(3) 作 ?于 E，11 ?=11是公共角， 1?1， ?11，?1?1?1?1即? ?1 =1 1，?11則 ?1 ?=? ?=14?52089 為所求1189=?189?34. 435. 536. 解： (

18、1) 如圖， ?= ?= 8， ?= 3， ?= ?= 8 - 3 = 5 ；由勾股定理得： ?= 4 ；由題意得：°?= ?(設為 ?)， ?= ?= 90 ；° ?= ?= 90 ； ?+ ?= ?+ ?， ?= ?，而 ?= ?，? ?，?=，解得： ?= 10?= ?= 10 (2) 由題意得： ?= ?，?陰影 = ?矩形- 2? ?1= 10×8- 2×2×10×5= 80- 50= 3037. (?+ 0.7) 2 + 2 2 = 2.52 ；0.8； -2.2( 舍去 ) ； 0.838. 解： (1)設 ?= ?，則

19、 ?= (32 -2?)?，依題意得： ?(32- 2?)=126 ，216?+ 63 =0，整理得 ? -第8頁，共 19頁解得 ?= 7，1 = 9，?2當 ?1= 9時， (32 -2?)= 14當 ?2= 7時 (32-2?)=18 > 15 ( 不合題意舍去 )能圍成一個長 14m，寬9m 的長方形場地(2) 設 ?= ?，則 ?= (32 - 2?)?，依題意得 ?(32- 2?)= 130整理得2? - 16?+ 65 = 0=(-16)2 - 4 ×1 ×65 = -4 < 0故方程沒有實數根，長方形場地面積不能達到130?2【解析】1. 解：

20、A、在 ?中，若 ?= ?- ?，則 ?是直角三角形，是真命題；、在 中，若2(?-?)，則 ?是直角三角形，是真命題；B? = (?+ ?)C、在 ?中，若 ?： ?： ?= 3 ： 4： 5，則 ?是直角三角形，是假命題；D 、在 ?中，若 a： b： ?= 3 ： 4：5，則 ?是直角三角形，是真命題；故選 C分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案此題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題 .判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理2.22289172212172解： ? + ? =4=(2)，? = (8 2)=(2)222

21、? + ? = ?，此三角形是直角三角形，故本小題正確；2：2：2 ?=設2，則2?= ? ?= ?+ 2?= 3?，222 ，? + ?= ?1 ：3： 2，23?，? = 2?，此三角形是直角三角形，故本小題正確； ?： ?： ?= 3： 4：5，設 ?= 3?，則 ?= 4?， ?= 5?° ?+ ?+ ?= 180 ，°3?+ 4?+ 5?= 180 ，解得 ?= 15°，°°° ?= 45，?= 60，?= 75，此三角形不是直角三角形，故本小題錯誤； ?= 2 ?= 2 ?，設 ?= ?= ?，則 ?= 2?，°

22、?+ ?+ 2?= 180 ，?= 45 °解得：，° ?= 2?= 90 ，此三角形是直角三角形，故本小題正確故選 C分別根據三角形內角和定理、勾股定理的逆定理對各選項進行逐一分析即可本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長，滿足222，? ? ?+ ?= ?那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵3. 解： A、 2 2 + 52 7 2，不能構成直角三角形，故不符合題意；B、 42 + 52 6 2 ，不能構成直角三角形，故不符合題意；第9頁，共 19頁C、 ( 2) 2 + (3) 2 = (5) 2 ，能構成直角三角形，故符合題意；D 、(3 2

23、) 2 + (4 2 )2 (5 2 ) 2，不能構成直角三角形，故不符合題意故選： C由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長222，那么這個滿足 ?+ ?= ?，?，?三角形就是直角三角形4. 解： ?、 b、c 都是正方形，°，；?= ? ?= 90 ?+ ?= ?+ ?= 90°， ?= ?， ?= ?=°，90 ，?= ? ?，；?= ?，?= ?在 ?中，由勾股定理得：22222?=?+ ? = ?+ ?，即?= ?+ ?= 11 + 5= 16，? ?故選： C運用正方形邊長相等，結合

24、全等三角形和勾股定理來求解即可此題主要考查對全等三角形和勾股定理的綜合運用， 結合圖形求解， 對圖形的理解能力要比較強5. 解：由題可知，在等腰三角形中，底邊的一半、底邊上的高以及腰正好構成一個直角三角形，且 (102+122= 132，符合勾股定理，故選B2 )根據等腰三角形的三線合一，得底邊上的高也是底邊上的中線.根據勾股定理知：底邊的一半的平方加上高的平方應等于腰的平方，即可得出正確結論考查了等腰三角形的三線合一以及勾股定理的逆定理6. 解：設一直角邊為 x，則另一直角邊為 7 - ?，1根據題意得 2 ?(7- ?)= 6，解得： ?= 4或?= 3，則另一直角邊為3和4，根據勾股定理

25、可知斜邊長為22= 5 ，3+ 4故選： B設一直角邊為x，則另一直角邊為 7 -?，可得面積是 1?(7- ?)，根據“面積為 6”作為2相等關系，即可列方程，解方程即可求得直角邊的長，再根據勾股定理求得斜邊長此題主要利用三角形的面積公式尋找相等關系，同時也考查了勾股定理的內容 .找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵7. 解：由題意可知：2，?2，?2，?2，= ?1 = ?2= ?3= ?4如果連接 BD ，在直角三角形ABD 和 BCD 中，22222 ，? = ?+ ? = ?+ ?即 ?，1+ ?4= ?3 + ?2因此 ?2 =100 -36 = 64，故選

26、B連接 BD，即可利用勾股定理的幾何意義解答本題主要考查的是勾股定理的靈活運用，解答的關鍵是利用兩個直角三角形公共的斜邊8. 解：重疊部分 ?的面積是矩形 ABCD 的面積減去 ?與?的面積再除以 2，矩形的面積是 32，?/?，第10 頁，共 19頁 ?= ?，?由?翻折而成， ?= ?， ?=?，?= ?，?= ?- ?= 8 -?，222?= ?+ ?222? = (8 -?) + 4?= 5 ，?= 3? ?= ? ?- ? ?= 10故選 B解決此類問題，應結合題意，最好實際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關系本題通過折疊變換考查學生的邏輯思維能力9. 解：第 2016 個正方形的邊

27、長 ?2016 = 2(22015 )2故選 B第一個正方形的邊長是2，設第二個的邊長是22，則，即第二個的x，則 2?= 222y，則22?= 2(22(22 ，同理可以邊長是： 2( 2 )1 ；設第三個的邊長是2?= ?，則2 )?=2 )2，則第 n 個是： 2(2得到第四個正方形的邊長是2( 2)32 )?-1正確理解各個正方形的邊長之間的關系是解題的關鍵， 大正方形的邊與相鄰的小正方形的邊，正好是同一個等腰直角三角形的斜邊與直角邊10. 解：易知最長折痕為矩形對角線的長，根據勾股定理對角線長為：2+ 52= 6167.8 ，故折痕長不可能為8cm故選： A根據勾股定理計算出最長折痕

28、即可作出判斷考查了折疊問題，勾股定理，根據勾股定理計算后即可做出選擇，難度不大11. 解：此題應分兩種情況說明：(1) 當 ?為銳角三角形時，在?中，2222?= 9，?= ?-? =15?- 12在 ?中，2222= 5?= ?-? =13?- 12?= 5 + 9 = 14?的周長為： 15 + 13 + 14 = 42；(2) 當 ?為鈍角三角形時，在 ?中，?=2222，?= 9- ?= 15 ?- 12在 ?中，?=2222，?= 5- ?= 13 ?- 12?= 9 - 5 = 4?的周長為： 15 + 13 + 4 = 32當 ?為銳角三角形時，?的周長為42；當 ?為鈍角三角形

29、時，?的周長為 32故選 C本題應分兩種情況進行討論：(1) 當 ?為銳角三角形時， 在 ?和?中，運用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相加即為BC 的長，從而可將 ?的周長求出；(2) 當 ?為鈍角三角形時， 在 ?和?中，運用勾股定理可將BD和CD第11 頁，共 19頁的長求出，兩者相減即為BC 的長，從而可將?的周長求出此題考查了勾股定理及解直角三角形的知識，在解本題時應分兩種情況進行討論，易錯點在于漏解，同學們思考問題一定要全面，有一定難度12. 解：如圖，過點 C 作 ?交 AB 于點 M，交 AD 于點 P，過點 P 作 ? ?于點 Q，?是 ?的平分線?= ?，這時 ?+ ?

30、有最小值， 即 CM 的長度，?=6 ，?= 8， ?= 90°，?= 2222= 10?+ ?= 6+ 811? ?=2 ?= 2 ?，?=? 6×824，=5?10即 ?+?的最小值為 24 5故選： C過點C作 ?交AB于點M，交AD于點PP作 ?于點Q，由AD是?，過點的平分線 .得出 ?= ?，這時 ?+ ?有最小值，即CM 的長度，運用勾股定理求出=1?=1?CM的值，即 ?+ ?的最小值2AB ，再運用 ? ? 2，得出本題主要考查了軸對稱問題，解題的關鍵是找出滿足?+ ?有最小值時點P和Q的位置113. 解： ?的面積 = 2 ×?×?= 2，由勾股定理得，?= 12 + 22 = 5 ，1則 2 ×5 ×?= 2，解得 ?= 45 5，故選： A根據圖形和三角形的面積公式求出 ?的面積，根據勾股定理求出 AC，根據三角形的面積公式計算即可本題考查的是勾股定理的應用， 掌握在任何一個直角三角形中， 兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關鍵14. 解：在 ?中， ?=22，+ ?=