1、第二章 連續(xù)時間傅里葉變換1周期信號的頻譜分析傅里葉級數FS(1) 狄義赫利條件：在同一個周期T,內，問斷點的個數有限；極大值和極小值 的數目有限；信號絕對可積TJf(t)dt 。傅里葉級數：正交函數線性組合。正交函數集可以是三角函數集1，cosn it,sinn it：n N)或復指數函數集ejnit:n Z,函數周期為Ti,角頻率為i 2 fi 0Ti(3) 任何滿足狄義赫利條件周期函數都可展成傅里葉級數。(4) 三角形式的FS:(i) 展開式：f(t) a0(ancon 1t bn sin n 1t)(ii) 系數計算公式：(a) 直流分量：a0 f (t)dtTi Ti(b) n 次諧

2、波余弦分量：an f(t)cosn itdt, n NT1 Ti(c) n次諧波的正弦分量：bn f(t)sinn itdt, n NTi Ti(iii) 系數an和bn統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數系數，簡稱傅里葉系數。(iv) 稱fi 1/Ti為信號的基波、基頻；nfi為信號的n次諧波。(v) 合并同頻率的正余弦項得：(a) f (t) cocn cos(n itn)(b) f (t) dodnsin(n itn)n和n分別對應合并后n次諧波的余弦項和正弦項的初相位。(vi) 傅里葉系數之間的關系：(a)aocodo(b)ancn cos n d n sin n(c)bncn sin n dn

3、 cosn(d)codo ao(e)c2d2a2b2(f)nb. arctg n an(g)nan arctg nbn復指數形式的FS:(i) 展開式：f(t)Fnejn lt(ii) 系數計算：Fn 上 T f(t)e jn ltdt, n ZT1 Ti(iii) 系數之間的關系：a0,n 0Fn1,-(anjbn), n 0* *FnF n,F nFnFnFn2國2dn21 a2時，(n 0)FnF ncndn， (n 0)FnF nanFnF nbn/jc22 dna2bi224FnF n 4Fn(n °)(iv) Fn關丁 n是共扼對稱的，即它們關丁原點互為共軸。(v) 正負

4、n (n非零)處的Fn的幅度和等丁 Cn或dn的幅度。(6) 奇偶信號的FS:(i) 偶信號的FS:22an f (t)cosn1tdt -bn 一 f (t)sin n 1tdt 0 -cn dn anT1T1'T1'Fn為2叫* Fn ( Fn實，偶對稱)；n 0 ； n -(ii) 偶的周期信號的FS系數只有直流項和余弦項。(iii) 奇信號的FS：2a0 an 0 ； bn 了 T f (t)Sinn 1tdt ； Cn dn bn 2jFn ；T1 11Fn F n 1 jbn ( Fn 純虛，奇對稱)； n 一 ； n 022(iv) 奇的周期信號的FS系數只有正弦

5、項。(7) 周期信號的傅里葉頻譜：(i) 稱Fn為信號的傅里葉復數頻譜，簡稱傅里葉級數譜或FS譜。(ii) 稱|Fn為信號的傅里葉復數幅度頻譜，簡稱FS幅度譜。(iii) 稱n為傅里葉復數相位頻譜，簡稱 FS相位譜。(iv) 周期信號的FS頻譜僅在一些離散點角頻率n 1(或頻率nf)上有值。(v) FS也被稱為傅里葉離散譜，離散間隔為 1 2 /T1。(vi) FS譜、FS幅度譜和相位譜圖中表示相應頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的 離散線段被稱為譜線、幅度譜線和相位譜線，分別表示FS頻譜的值、幅度 和相位(vii) 連接譜線頂點的虛曲線稱為包絡線，反映了各諧波處FS頻譜、幅度譜和相位譜隨分量的變化情

6、況。(viii) 稱Cn為單邊譜，表示了信號在諧波處的實際分量大小。(ix) 稱Fn為雙邊譜，其負頻率項在實際中是不存在的。正負頻率的頻譜幅 度相加，才是實際幅度。(8) 周期矩形脈沖序列的FS譜的特點:(i) 譜線包絡線為Sa函數；(ii) 譜線包絡線過零點：(其中i J為譜線間隔)：Tik ,或 n i 當，k Z,k 0 Ti即當 n 1 2k / 時，an cn Fn 0。(iii) 在頻域，能量集中在第一個過零點之內。(iv) 帶寬 2 /或f 1/只與矩形脈沖的脈寬有關，而與脈高和周期均無關。(定義02 /為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度，簡稱帶寬) 周期信號的功率：P f(t)|Fn

7、2(10)帕斯瓦爾方程：1 f 2(t)dtFn2非周期信號的頻譜分析 一傅里葉變換(FT)(1)信號f (t)的傅里葉變換：F( ) f (t)e j tdt F f (t)是信號f(t)的頻譜密度函數或FT頻譜，簡稱為頻譜(函數)。 頻譜密度函數F()的逆傅里葉變換為：f(t) -1F( )ej td ?F 1 F()稱e j t為FT的變換核函數，ej t為IFT的變換核函數。FT與IFT具有唯一性。如果兩個函數的FT或IFT相等，則這兩個函數必然相等。FT具有可逆性。如果F f(t) F(),貝U必有F 1 F( ) f(t);反之亦然。(6) 信號的傅里葉變換一般為復值函數，可寫成

8、F()F( )ej ()(i) 稱F()為幅度頻譜密度函數，簡稱幅度譜，表示信號的幅度密度隨頻 率變化的幅頻特性；(ii) 稱()Arg F()為相位頻譜密度函數，簡稱相位譜函數，表示信號 的相位隨頻率變化的相頻特性。FT頻譜可分解為實部和虛部：F( ) Fr( ) jFi()F( ) Fr2( ) Fi2( ), ( ) arctan牛)F r () Fr( ) F( )cos ( ), Fi( ) F( )sin ()(8) FT存在的充分條件：時域信號f (t)絕對可積，即 f (t) dt 。注意：這不必要條件。有一些并非絕對可積的信號也有FT。FT及IFT在赫茲域的定義：F(f) f

9、 (t)e j2 ftdt ; f (t)F(f )ej2 ftdf(10) 比較FS和FT:FSFT分析對象周期信號非周期信號頻率定義域離散頻率，諧波頻率處連續(xù)頻率，整個頻率軸函數值意義頻率分量的數值頻率分量的密度值3典型非周期信號的 FT頻譜單邊指數信號：f(t) e atu(t)(a 0)F()f(t)e j幅度譜:F()tdt e01a22at j t e dt°e(aj)tdt /相位譜:Arg F()A aAr3arctg a偶雙邊指數信號:F()f (t) e at (a f (t)e j tdt °eate j0e ( aj )tdt幅度譜:F()e (a

10、j )tdt 02aa200)tat j tdt e e dt011a j a j2a廠2 ,為實偶函數。相位譜：偶雙邊指數信號及其頻譜如圖2所示。圖2 (a)偶雙邊指數信號(b)頻譜矩形脈沖信號：f(t) EG (t)(脈寬為、脈高為E)F( ) f(t)e j tdt /2 Ee j tdt /2Ecos tdt /2/2E sin t幅度譜:相位譜:/2/2E Sa,為實函數。F()E Sa 24k0,2(2k 1)(對應F()0)k Z2(2k 1)()0)圖3 (a)矩形脈沖信號(b)頻譜4(k 1)(對應 F ()(iv) 帶寬為b信號等效脈寬:信號等效帶寬:F(0)/ f(0)

11、1 Bf -矩形脈沖FT的特點：(i) FT 為Sa函數，原點處函數值等丁矩形脈沖的面積；(ii) FT 的過零點位置為 2k / (k 0)；(iii) 頻域的能量集中在第一個過零點區(qū)間2 / ,2 /之內2 /或Bf 1/，只與脈寬 有關，與脈高E無關。圖4 (a)信號的等效脈寬(b)等效帶寬(4)符號函數：不滿足絕對可積條件，但存在 FT。F()Sgn(t)e幅度譜:F()相位譜:j tdt f2n/2,/2,符號函數及其頻譜如圖005所示。符號函數(b)頻譜圖 5 (a)(5) 沖激信號：F E (t) E (t)e j tdt Eej 0 E均勻譜/白色譜：頻譜在任何頻率處的密度都是

12、均勻的。強度為E的沖激函數的頻譜是均勻譜，密度就是沖激的強度。1EF E( ) 2-()j0處有一個沖激，該沖激來自u(t)中的直流分量。單位沖激信號及直流信號的頻譜函數總結：FT定義FE (t) EFT可逆性F 1 E E()FE 2 E()FT可逆性F1E() 2IFT定義不滿足絕對可積條件，但存在 FT(6)階躍信號:F()在單位階躍信號及其幅度譜如圖6所示。10t圖6單位階躍函數及其幅度譜4 FT的性質線性性：Fanfn (t)anF fn(t)線性性包括：齊次性 F af(t) aF f(t);疊加性 F f(t) f2(t)F f(t) F f2(t) 0(2) 奇偶虛實性：偶偶奇

13、 奇實偶實偶(FT可變?yōu)橛嘞易儞Q)實奇虛奇(FT可變?yōu)檎易儞Q)實信號的FT:(實信號可分解為：實偶+實奇)實偶+j實奇實部是偶函數，虛部是奇函數：實實偶EXP(實奇) )F( ) |F()。偶共扼對稱：F( ) F*()幅度譜為偶函數，相位譜為奇函數： 虛信號的FT具有奇共扼對稱性：F()偶共鑰對稱或奇共鑰對稱的函數滿足幅度對稱： 實信號或虛信號的FT幅度譜偶對稱，幅度譜函數是偶函數。 反褶和共軸性：11i +1*F 1F( ) f(t)F( )ej td F F () 22)e j td表示按自變量 進行傅里葉變換,FT來實現。FT的對偶特性：FF(t)若f(t)為偶函數，則若f(t)為奇

14、函數，則尺度變換特性：Ff(at)f g( ) g(IFT可以通過結果是t的函數。2 f()F F(t) 2 f();F F(t) 2 f()。 1F , (a 0) a a時域頻域原信號f(t)F()反褶f(-t)F(-)共扼f *(t)F*(-)反褶+共扼f *(-t)F * ()對偶性： I 一 *傅里葉正逆變換的變換核函數是共鑰對稱的：e j t此性質表明：時域壓縮對應頻域擴展、時域擴展對應頻域壓縮。時移特性：F f (t t0) F( )e j to F f(t)e j t0時移不影響幅度譜，只在相位譜上疊加一個線性相位。 與尺度變換特性綜合：(a 0)F f(at t0)1 F e

15、 j t0/aa a(7) 頻移特性：F f (t)ej 0t F( 0)與尺度變換特性綜合：F 1 f - ej 0t/a F a 0 , (a 0) a a頻譜搬移：時域信號乘以一個復指數信號后，頻譜被搬移到復指數信號的頻率位置處。利用歐拉公式，通過乘以正弦或余弦信號達到頻譜搬移目的(8) 微分特性：時域微分：F f(t) j F() dt頻域微分：口 F ( jt)f(t) d如果連續(xù)運用微分特性，則d nF 二 f(t) (j )nF() dtn% F(t f( )d (j ) 1F(9) 積分特性：)F(0)()時域積分：F如果在0處有界(或F(0)tf( )d(j ) 1F()頻域

16、積分:F( )d f(0)(t)(10)卷積定理：時域卷積定理:頻域卷積定理:f1(t)f2(t)fl(t) f2(t)F f1(t) F f2(t)1F f1(t) F f2(t)2'2*F f1(t) F f2(t)(11)時域相關性定理：若f2(t)是實偶函數，則致0自相關的傅里葉變換：F Rf (t) F f(t)F* f(t)數與其幅度譜的平方是一對傅里葉變換對)2dtF Rf1 f2 (t)F Rf1 f2(t)F1( )F2()。此時,相關性定理與卷積定理|F f(t)。即函數的自相關函(12)帕斯瓦爾定理:f(t)2F( ) d2F(2 f) df5周期信號的FT(1)

17、正余弦信號的FT:ej 0t e jF cos ot F 2F sin 0t j (0)(ot0)余弦信號和正弦信號的頻譜如圖F cos 0t0)(0)7所示:jF sinot(-)圖7余弦信號和正弦信號的FT(2) 一般周期信號的FT:(i)設周期為I的周期信號f(t)在第一個周期內的函數為f0(t),則f (t)f0(tnT1)f0(t)* (tnT1)f°(t) (tnT)f°(t)T1(t)nnn(ii)周期單位沖激序列的FT: f T1(t)1( n 1)11()(a) FT 的對偶性(ejn 1t2 ( n i)(iii)(iv)(v)(b)沖激申FS為:T1(

18、t)n/、1 Ti/2jn 1t1(c) n T/2 Ti(t)e j 1dtTi Ti/2Ti(d) FT的線性性一般周期信號的FT:jn neitF( ) F fo(t) F "t)Fo( ) i (n_ . i _ ,、Fn Fo(n i) Fo(n i)2Ti關系圖：n i)niFo(n i)( n i)6抽樣信號的FT抽樣信號的FT:Fs()iTSnF(n s)(2)理想抽樣前后信號頻譜的變化如圖 9所示：結論i：按間隔Ts進行沖激申抽樣后信號的傅里葉變換，是周期函數，是原函數傅里葉變換的Ts分之一按周期s 2 /Ts所進行的周期延拓。(4)結論2：時域離散頻域周期f (t)F ()F(0)/Ts(c)f C,- s - c 0 - c s圖9理想抽樣信號的FT7抽樣定理(1) 抽樣定理：要保證從信號抽樣后的離散時間信號無失真地恢復原始時間 連續(xù)信號(即抽樣不會導致任何信息丟失),必須滿足：信號是頻帶受 限的(信號頻率區(qū)間有限)；采樣率s至少是信號最高頻率的兩倍。(2) 概念(名詞):抽樣周期：進行理想采樣的沖激申的周期Ts。抽樣頻率：fs 1/Ts抽樣