1、高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 1 of 16知識(shí)內(nèi)容、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位 i:(1)它的平方等于1，即 i21 ；(2) 實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.(3) i 與一 1 的關(guān)系：i 就是1的一個(gè)平方根，即方程2x21 的一個(gè)根，方程 x1 的另一個(gè)根是-i(4) i 的周期性： 4n 1.ii.4n 24n 3,i1,ii ,i4n1.實(shí)數(shù) a(b0)2.數(shù)系的擴(kuò)充:復(fù)數(shù) a bi虛數(shù) abi(b純虛數(shù) bi(a 0)0)非純虛數(shù) a bi(a 0)3.復(fù)數(shù)的定義:形如 a bi(a , b R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合

2、叫做 復(fù)數(shù)集，用字母C 表示4.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母z表示，即 z a bi(a,b R)，把復(fù)數(shù)表示成 a bi 的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.5.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù) a bi(a ,b R)，當(dāng)且僅當(dāng) b 0 時(shí)，復(fù)數(shù) a bi(a ,b R)是實(shí)數(shù)a;當(dāng) b 0 時(shí)，復(fù)數(shù)z a bi 叫做虛數(shù)；當(dāng) a 0 且 b 0 時(shí)，z bi 叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)是里數(shù)衛(wèi) 上 H 實(shí)數(shù) Q 也負(fù)賓數(shù)二純虛毅hi絲鋼是虛婦純虛敬的虛敬6.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N 荷 Z Q 荷 R C7.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相

3、等.這就是說(shuō)，如果 a , a ,b, d ,a b 0 時(shí)，z就是實(shí)數(shù) 0復(fù)數(shù)高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 2 of 16c, d R，那么 a bi c dia c, b d、復(fù)數(shù)的幾何意義1. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù) z a bi( a ,b R)與有序?qū)崝?shù)對(duì) a , b 是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù) z a bi(a ,b R)可用點(diǎn) Z a ,b 表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表 示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).2.對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為0,0，它所確定的復(fù)數(shù)是z

4、0 0i 0 表示是實(shí)數(shù).除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).3.復(fù)數(shù)z a bi一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z(a ,b)這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法.三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1.復(fù)數(shù)Z1與Z2的和的定義：ZZ2a bic diac b d i2.復(fù)數(shù)Z1與Z2的差的定義：ZZ2a bic diac b d i3.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿(mǎn)足交換律:Z1Z2Z2z4.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律:(ZZ2)Z3Z(Z2Z3)5.乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè) zia bi , Z2c di (a、b、c、d R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù), 那么它們的積 z,z2a bi c di ac bd bc a

5、d i其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類(lèi)似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把 虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).6.乘法運(yùn)算律：(1) z, Z2Z3Z1Z2za(2)(乙 Z2) Z3乙(Z2Z3)i2換成1，并且把實(shí)部與高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 3 of 16(3) Zi Z2Z3Zi Z2Zi Z3除法運(yùn)算規(guī)則:ac bd bc ad .bi) c di產(chǎn) ci點(diǎn)評(píng):是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)c di與復(fù)數(shù)c di，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的.32 的對(duì)偶式 32，它們之積為1是有理數(shù)，而 c di c dic2d2是正實(shí)數(shù)所以可以分母實(shí)數(shù)化

6、.實(shí)數(shù)化法.9.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于0的兩7.復(fù)數(shù)除法定義:滿(mǎn)足 c di xyia bi 的復(fù)數(shù)yi(x、yR）叫復(fù)數(shù) a bi 除以復(fù)數(shù) c di 的商，記為:(a bi) c di或者a bic di設(shè)復(fù)數(shù) a bi （a、R)，除以cdi(c，dR)，其商為 x yi (x、y R ),即(a bi) c diyix yidi cxdydx cy i. cx dy dxcy ibi由復(fù)數(shù)相等定義可知cxdx:;a，解這個(gè)方程組，得yac bd2 T2c dbc ad 2 T2c d于是有： （abi)diac bdc2

7、d2bc ad； 2ic d利用 cdidid2于是將丄上的分母有理化得:c di原式biac di(abi)(c di)ac bi ( di) (bc ad)i(ac(c di)(c di)bd) (bc ad)ic2d2c2d2acbd bcad.忑22i.cdcd(a把這種方法叫做分母高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 4 of 16個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 5 of 16【例 5】復(fù)數(shù) zm 2i1 2i（m R,i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（佢例題精講1.復(fù)數(shù)的概念【例 1】已知a1 ii2 bi （i 為虛數(shù)單位），那么實(shí)數(shù)a, b 的值分別為（）A.2, 5

8、B. -3, 1C. -1 . 1D . 2,-2【答案】D【例 2】計(jì)算:i0!+ i1!+ i2!+L +.100!i（i表示虛數(shù)單位）【答案】952i【解析】 4-i1 ,而 4 |k! (k4),故 i0! 1! 2! .+ i +i +L+ i100!i i ( 1) ( 1) 1 9795 2i【例 3】設(shè) z(2t25t3) (t22t 2)i ,t R，則下列命題中一定正確的是（）A.z 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在第象限B . z 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在第四象限C.z 不是純虛數(shù)D . z 是虛數(shù)【答案】D【解析】t22t 2(t1)210 .【例 4】在下列命題中， 正確命題的個(gè)數(shù)為（)1兩個(gè)復(fù)數(shù)不

9、能比較大小；2若（X21） （x23x 2）i 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x 1;3z 是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是z z R ；4若 a ,b 是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則（a b） （a b）i 是純虛數(shù)；5z R的一個(gè)充要條件是 z z .6z 1 的充要條件是 z1.zA . 1B. 2C. 3D . 4【答案】B【解析】復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，錯(cuò)；x 1時(shí)，（x21） （x23x 2）i 0,錯(cuò)；z 為實(shí)數(shù)時(shí),也有 z z R ,錯(cuò)；a b 0時(shí)，（a b） （a b）i 0,錯(cuò)；正確.2.復(fù)數(shù)的幾何意義A第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)m 4 0，而此不等式組無(wú)解.即在復(fù)平面上

10、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限m 1035【例 6】 若 一n, n,復(fù)數(shù)（cos sin ） （sin cos ）i 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）44A .第一象限B .第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限【答案】B【解析】 結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象知，當(dāng)一n,-n時(shí)，cos sin 0, sin cos 0 .44【例 7】 如果復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z i z i 2，那么 z i 1 的最小值是（）A. 1B.2C. 2D. 5【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z，因?yàn)?z i| |z i 2 ,所以點(diǎn)Z的集合是y軸上以乙（0,1）、乙（0,1）為端點(diǎn)的線(xiàn)段.z i 1 表示線(xiàn)段 Z1Z

11、2上的點(diǎn)到點(diǎn)（1, 1）的距離.此距離的最小值為點(diǎn)Z2（0, 1）到點(diǎn)（1, 1）的距離，其距離為1.【答案】D131,0 與點(diǎn)-,0 的距離22相等，故軌跡為直線(xiàn) x1 2）-故選 D.2【例 9】 已知復(fù)數(shù)（x 2） yi（x - y R）的模為4一，則1的最大值為 _13.13.i ,i22 2 2【例8】3z 一的復(fù)數(shù)2z 的集合是（1111i , - i2 2 2 2C.22i，213.1i :22 2.3.i2【答案】A【解析】由已知 zm 2i1 2i(m 2i)(1 2i)(12i)(12i)1-(m4)2(m 1)i5【解析】 復(fù)數(shù) z 表示的點(diǎn)在單位圓與直線(xiàn)z2 表示z到點(diǎn)

12、在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)如杲在第A第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)x高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 8 of 16【答案】.3【解析】/ x 2 yi 3,(x 2)2y23，故(x, y)在以 C(2,0)為圓心，3 為半徑的圓上，丄表示圓上的點(diǎn)(x, y)與x原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率.如圖，由平面幾何知識(shí)，易知丄的最大值為.、3 .x【例 10】復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足條件：2z 1 z i ,那么 z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()A 圓B.橢圓C.雙曲線(xiàn)D . 拋物線(xiàn)【答案】A【解析】A ;設(shè) zx yi,則有(2x1) 2yi|x (y 1)i，(2x 1)2(2y)2x2(y 1)2,化簡(jiǎn)得：2x 21y

13、-25,故為圓.339【點(diǎn)評(píng)】z zo的幾何意義為點(diǎn) z 到點(diǎn) Zo的距離；z zor(r 0)中 z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以復(fù)數(shù) z。所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為 r 的圓上的點(diǎn).【例 12】已知復(fù)數(shù) Z1, Z2滿(mǎn)足 z1 , Z21 ,且 Z1Z24 ,求蘭與 Z1Z2的值.Z2【答案】 Ji ； 4.3【解析】設(shè)復(fù)數(shù), Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 Z1, Z2,由于(7 1)2c、7 1)242, 故乙| 憶| I 乙z/,UUUUULUUUUUU UUUU乙7147故以 0 乙 ,OZ2為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而OZ1OZ2,則Z1ii ;Z27 13Z1Z2Z24 .【例11】復(fù)數(shù) Z1,

14、Z2滿(mǎn)足 Z1Z20 ,Z1Z2|ziZ2，證明:2Z12Z2【解析】設(shè)復(fù)數(shù) z, Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1, Z2,由乙 Z2UlUUZ2知,以 OZ1,UUUU 人OZ2為鄰邊的平行四邊形為矩形,UULU UULU ,乙OZ!OZ2,故可設(shè) - ki(k R , kZ20),2所以工 kZ22i2k20 .也可設(shè) z1a bi,Z2c di ,則由向量(a , b)與向量(c, d)垂直知ac bd0,Z1a bi(acZ2c dibd) (be ad)ic2d2be adi2icd20,故務(wù)Z22Z2高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 9 of 16【例13】已知 Zi, Z2C,引|Z21 ,

15、ZZ2. 3，求 ZiZ2一uuur uuur 人【解析】 設(shè)復(fù)數(shù)Z, Z2,ZiZ2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為乙，Z2, Z3,由列|Z21 知，以 0Z!, 0Z2為鄰邊的平行四邊形是菱形，記0所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為P，由乙 Z23 知，PZi0 120 （可由余弦定理得到），故 Z1OZ260,從而 Z1Z21 3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算12 62 (2i)1而29(丄)9( i)2 2A.2B.2C.2D. 4【答案】B【解析】(mmi)6m6(2i)38im664im68 m, 2 .【例 15】已知m R,若（m mi）664i ,則 m 等于（)【例14】已知復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足(2、 .3iZ(273i)4

16、,求 dZ 的最大值與最小值.【答案】dmax邁 d.in3【解析】設(shè) Zx yi ,則(x , y)滿(mǎn)足方程(x22y2) 1 .4d, x2y2x241 (x3x83283又1x5或 a0 且2()2()244 4k (2 2)2，解得k1.若，為虛數(shù)，則4 4k 0且，共軛，2()2()244 4k(2 三)2，解得k 3.綜上，k 1或k 3.【例20】已知乙2xi x21 ,Z2(x2a)i，對(duì)于任意x R圍.【答案】a 1,12【解析】v z1Z2, x42x1 (x2a)2, (1 2a)x2(1a2)0 對(duì)xR恒成立.當(dāng)12a0，即1 a -時(shí)，不等式恒成立；2當(dāng)10時(shí)，1 2

17、 a 012a21 a4(12a)(1 a2)02綜上,a1 ,，均有 zi| Z2成立，試求實(shí)數(shù) a 的取值范正：設(shè) xo是其實(shí)根，代入原方程變形為2Xo2axo1 (a x0)i0 ,由復(fù)數(shù)相等的定義，得2高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 14 of 16【例 23】用數(shù)學(xué)歸納法證明：(cosisin )ncos(n ) isin( n ) ,n N高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 15 of 16【解析】并證明(cos isin )1cosn 1時(shí)，結(jié)論顯然成立;若對(duì)n k時(shí)，有結(jié)論成立，即則對(duì)n k 1， (cos isin )kisin ，從而(cosis in )ncos (n ) isi n(cos i

18、sin )k1(cos isin由歸納假設(shè)知，上式（cos isin)cos(k(cos cosksin sin k ) icossin(k )cos(k 1)isin(k 1),從而知對(duì)n k命題成立.綜上知，對(duì)任意N，有(cosnisin )cos(k ) isin( k ),)(cos isinisin( k )sin cos k cos(n ) isin( n(cos isin )(cosisin)(cos( ) isin()(cos i故有(cos isin )1cosisin .(cos isin )n(cosisin )(cos( ) isin( )ncos( n ) isin(

19、 n ) cos(n ) isin( n ).若cos isin是方程 xnn 1n 2a1xa2xLan 1x an求證：a1sina2sin 2LanSin n0 .將解代入原方程得：(cosisi n )na1(cosn 1isin )Lan0 ,將此式兩邊冋除以（cosisin ）n，則有：1 a1(cosisin)1a2(cosisin )2Lan(cos即 1 a1(cosis in)a2(cos2is in 2 ) Lan(cosn(1 a1cosa2cos2Lancos n ) gsina2sin 2由復(fù)數(shù)相等的定義得 a1sina2s in 2L ansin n0易直接推導(dǎo)知

20、:isin【例24】0【解析】isin n )0，Lansin n )0，(a1,氏丄,anisin )n0，)k),n N .)cos0 isinOR）的解,【例 25】設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，且旦，則x y=_1 i 1 2i 1 3i【解析】由xy5知，x-(1yi) (152i)-(1 3i),1 i12i1 3i2510即（5x2y 5)(5x4y15)i0 ,5x2y 50解得x1 丄故，故 xy 4.5x 4y 150y5【答案】4高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 16 of 16【例 26】已知仝是純虛數(shù)，求z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡. z 1【答案】以1,0 為圓心，1為半徑的圓，并去掉點(diǎn)(0,0

21、)和點(diǎn)(1,0).2 2【解析】法一：設(shè) z x yi ( x, y R ),則丄 x yi x(x -牛是純虛數(shù)，z 1 x 1 yi (x 1) y故 x2y2x 0( y 0),-,0 為圓心，-為半徑的圓，并去掉點(diǎn)(0 , 0)和點(diǎn)(1, 0).2 2是純虛數(shù),z 120 , z(z 1) z(z 1)0 ,得到 2 z22設(shè) z x yi ( x, y R )，則 x y x ( y 0 )1-,0 為圓心，丄為半徑的圓，并去掉點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1, 0).2 2【例 27】設(shè)復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z 2，求z2z 4的最值.【解析】由題意，z z 4，貝 U z2z 4 z2z zz z

22、(z 1 z)設(shè) z a bi( 2wa2,2b 2 2、(a 1)1當(dāng) a 1-，即a 0時(shí)，w u2取得最小值1.a 1【例 33】已知復(fù)數(shù) zo1 mi(m 0) , z x yi 和 w x y i，其中 x , y, x , y 均為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位,且對(duì)于任意復(fù)數(shù) z ,有 w z0z , w 2 z .(1)試求 m 的值，并分別寫(xiě)出x和 y 用x,y表示的關(guān)系式；(2) 將(x , y)作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，(x , y)作為點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn) Q .當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn) y x 1 上移動(dòng)時(shí),【例32】對(duì)任意一個(gè)

23、非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mzw | w z2n 1, n N.(1 )設(shè)是方程 x1 _丄.2 的一個(gè)根，試用列舉法表示集合x(chóng)(2)設(shè)復(fù)數(shù)Mz，求證：M M【答案】(1)Mi)，# (1 i)；(2)略【解析】是方程 x2 的根,i)23(1i)時(shí)，(12)ni)1 _i?1 1#(1尋 1 i),時(shí),i)，i)，22(1i) i)i)，i)，i)冷(1i)使得2m 1z于是對(duì)任意n2n 1(2 m 1)(2 n 1)z由于(2m1)(2n 1)是正奇數(shù),2n 1i)高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)Page 22 of 16試求點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn) Q 的軌跡方程;(3)是否存在這樣的直線(xiàn)：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換

24、后得到的點(diǎn)仍在該直線(xiàn)上(3)假設(shè)存在這樣的直線(xiàn),/平行坐標(biāo)軸的直線(xiàn)顯然不滿(mǎn)足條件，所求直線(xiàn)可設(shè)為該直線(xiàn)上的任一點(diǎn) P(x , y)，其經(jīng)變換后得到的點(diǎn) Q(x 3x y k(x 3y) b，即(3k 1)y (k3)x b ,當(dāng)b 0時(shí)，方程組(1) 1無(wú)解，故這樣的直線(xiàn)不存在.k 府 k當(dāng)b 0，由(3k 1) k 3，得 3k22k 30 ,解得 k 或 k3.1k3故這樣的直線(xiàn)存在，其方程為y 乜 X 或 y 3x .3課后檢測(cè)【習(xí)題 1】 已知0 a 2，復(fù)數(shù) z 的實(shí)部為 a ,虛部為 1,則|z的取值范圍是()A .1 , 5B .1 , 3C.1,5D . 1,3?若存在，試求出所有這些直線(xiàn)；若不存在，則說(shuō)明理由.【答案】(1)xx_3y；( 2) y (2yV3x y3)x 2 32(3)這樣的直線(xiàn)存在，其方程為【解析】(1)由題設(shè),zozZ0|z2z ,于是由 14，且m因此由xyi(13i) (x yi)3y(.3x