1、地下水運(yùn)動(dòng)中計(jì)算地下水運(yùn)動(dòng)中的專(zhuān)門(mén)問(wèn)題§ 6.1 飽和帶的地下水運(yùn)動(dòng)在地下水面以上的非飽和帶 (即包氣帶)也 有水的運(yùn)動(dòng)。在許多情況下，研究非飽和帶的地 下水運(yùn)動(dòng)具有很大的意義。例如，在地下水資源 評(píng)價(jià)中，必須研究“三水”(即大氣水、地表水 相地下水)的相互轉(zhuǎn)化，而非飽和帶的地下水運(yùn) 動(dòng)是其轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)。入滲的水必須經(jīng)過(guò)非飽 和帶才能到達(dá)潛水面，故研究水在非飽和帶的運(yùn) 動(dòng)，對(duì)于入滲的計(jì)算很重要。其次，各種施加在 地表的污染物將隨入滲的水一起運(yùn)動(dòng)， 經(jīng)過(guò)非飽 和帶進(jìn)入地下水中。因此研究地下水污染時(shí)，也 必須研究非飽和帶中水的運(yùn)動(dòng)。6.1.1 非飽和帶水分的基本知識(shí)1 .含水率、飽和度

2、和田間持水量在非飽和帶中，空隙空間的一部分充填了 水，其余部分充填了空氣。水分和空氣的相對(duì)份 量是變化的?？梢杂枚€(gè)變量來(lái)表示水分含量的 多少。一為含水率，表示單位體積中所占的體 積：(6-1)式中，為含水率，無(wú)量綱；(Vw)0為典型單元體 中水的體積；V0為典型單元體的體積；另一個(gè) 為飽和度Sw,表示巖石的空隙空間中水所占據(jù)部分所占的比例:（6-2）式中，Sw為飽和度，無(wú)量綱；（V0）0為典型單元 體中的空隙體積。顯然）含水率 不能大于空隙度 n。而飽和 度Sw不能大于1。兩者之間有下列關(guān)系：=nSw（6-3）因?yàn)槔昧说湫蛦卧w的概念.上述定義對(duì)于任 一點(diǎn)都是適用的。在長(zhǎng)時(shí)間重力排水后仍然

3、保留在土中的水量 稱(chēng)為田間持水量。此時(shí)，水以簿膜水的形式和在 顆粒接觸點(diǎn)附近以孤立的懸掛環(huán)形式存在。 從圖 6-1可以看出，空隙度減去田間持水量，相當(dāng)于 排水空隙度，即排水時(shí)的有效空隙度。2 .毛管壓力當(dāng)多孔介質(zhì)空孔隙中有兩種不相混溶的流 體（如水和空氣）接觸時(shí)，這兩種液體之間的壓力 存在著不連續(xù)性。此壓力差的大小取決于該點(diǎn)界 面的曲率（它又取決于飽和度，這個(gè)壓力差 Pc 稱(chēng)為毛管壓強(qiáng)：Pc Pa Pw（6-4）式中,Pa空氣的壓強(qiáng),Pw水的樂(lè)壓強(qiáng)。如假設(shè)孔隙中的空氣是在101325Pa。個(gè)大氣壓） 下、并取大氣壓強(qiáng)作為測(cè)量流休壓強(qiáng)的基準(zhǔn)，則pa = 0,于是:Pc Pw(6-5)故非和帶孔隙

4、中的水處于小于大氣壓強(qiáng)的情況下。正如在毛細(xì)管現(xiàn)象中見(jiàn)到的一樣，在周?chē)嬉陨系拿軆?nèi)的壓強(qiáng)是負(fù)的。和飽和帶的情況一樣，可以定義非飽和帶水 流中任何點(diǎn)的水頭(毛管水頭)：=鱉十"=立_與=憶由入"y 7 九= a(6-6)式中，為水的容重；hcPcPw(6-7)某些作者用符號(hào)表示壓力稱(chēng)為毛管壓力水頭 水頭的負(fù)值，即：Pw(6-8)H z(6-9)對(duì)于飽和一非飽和流動(dòng)，可以寫(xiě)出統(tǒng)一的水頭表 達(dá)式；H zE(6-10)式中，壓強(qiáng)少可正可負(fù)。在飽和帶中，P為水的 壓強(qiáng)，取正值；在非飽和帶，P為毛管壓強(qiáng)的負(fù) 數(shù)，取負(fù)值。其余符號(hào)同前?？恐小?飽恒1皮Su| - H -='圖6

5、-2 土壤水分特征曲 線(xiàn)(據(jù) Richards 和 Weaner)圖6-1非飽和帶的含水量曲線(xiàn)3 . 土壤水分特征曲線(xiàn)反映毛管壓強(qiáng)pc或毛管壓力水頭hc和土壤 含水率 或飽和度Sw關(guān)系的曲線(xiàn)，稱(chēng)為水分特征 曲線(xiàn)(圖6-2)o它表示非飽和帶中水分的能量和 數(shù)量之間的關(guān)系，反映了包氣帶中水的基本特 征。從曲線(xiàn)上還可以看出，即使在相當(dāng)高的壓強(qiáng) 下，土樣中仍保持一定的水，含水率不再進(jìn)一步 減小。這個(gè)含水率記作。，相應(yīng)的飽和度為：Sw0 - n不同土的水分特征曲線(xiàn)是不同的。在同樣條 件下，粘性土要比砂保持更多的水分，具有更高 的含水率。土的顆粒級(jí)配，對(duì)持征曲線(xiàn)的形狀也 有影響，如圖6-2的曲線(xiàn)I和II。

6、溫度的變化對(duì)它也有影響。溫度升高時(shí)，表面張力降低，在同 樣吸力下含水率要低一些。水分持征曲線(xiàn)斜率的負(fù)倒數(shù)稱(chēng)為容水度，記作C:C dHd dhc(6-11)容水度不是常數(shù), 化，記作C()或?qū)⒔泶栉珉娂硷@的內(nèi)目小士能 哥 R 假 用! 率'.梅半咪案的效.崔林本部練祝曲端喳限眠雄性立它隨含水率或毛管壓強(qiáng)而變C(hc)o它表示毛管壓力水頭變化一個(gè)單位時(shí)從單位體積土中釋放出的水體積, 是計(jì)算非飽和帶水運(yùn)動(dòng)的重要參數(shù)。圖6-3吸濕和排水情況下的水分特征曲線(xiàn)(據(jù)J.Bear)實(shí)驗(yàn)表明：同一土樣在同樣的溫度下，排水過(guò) 程和吸濕過(guò)程的水分特征曲線(xiàn)是不同的(圖6-3)。 在同一 pc或hc下，排水

7、時(shí)的含水率要大于吸濕 時(shí)的含水率。這種現(xiàn)象稱(chēng)為滯后現(xiàn)象。土壤從飽 和到干燥或從干燥到飽和的水分持征曲線(xiàn)稱(chēng)為 主線(xiàn)。土樣從部分濕潤(rùn)到開(kāi)始排水或從半干燥狀 態(tài)重新潤(rùn)濕時(shí)，水分特征曲線(xiàn)是順著一些中間曲 線(xiàn)由一條主線(xiàn)移至另一條主線(xiàn)，這些中間曲線(xiàn)稱(chēng) 為掃描曲線(xiàn)。因此，水分持征曲線(xiàn)隨土壤的干、 濕歷史的不同而變化。故容水度C（）不是含水率 的單值函數(shù)。4.非飽和流動(dòng)中的給水度概念已經(jīng)介紹過(guò)給水度的概念。給水度是單位體積 含水層中所排出的重力水的體積。但實(shí)際上，當(dāng) 潛水面下降時(shí)，其間的水并未全部排出，只是由 飽和帶的水變成非飽和帶的水，水分分布曲線(xiàn)發(fā) 生相應(yīng)的改變。實(shí)際排出的水體積只相當(dāng)于排水 前后兩條水分

8、分布曲線(xiàn)間的那一部分面積。為 此，需要這樣來(lái)定義給水度：從地表一直延伸到 含水層底板的一個(gè)單位水平面積垂直土柱， 當(dāng)潛 水面降低一個(gè)單位時(shí)，由重力所排出的水的體 積。由于重力排水的遲后，給水度 也是時(shí)間t 的函數(shù)。只有當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間排水后才趨近于某一常數(shù) 值。6.1.2非飽和帶水運(yùn)動(dòng)的基本方程1 .運(yùn)動(dòng)方程1931年）Richards提出）Darcy定律可引伸 應(yīng)用于非飽和帶水的運(yùn)動(dòng)。但此時(shí)的滲透率k和 滲透系數(shù)K不再是常數(shù)，而與土壤的含水率有 關(guān)。當(dāng)含水率（或飽和度）減小時(shí)，一部分空隙為空氣充填，因而過(guò)水?dāng)嗝鏈p小，滲流途徑的彎曲 程度增加，導(dǎo)致滲透率或滲透系數(shù)減小。因此， 該情況下k和K可記作含水

9、率 函數(shù) k( ), K()或 k(Sw), K(Sw) 帶中的Darcy定律表達(dá)式為：v=K(或飽和度Sw的這樣，非飽和)J(6-12)v唱L(E z),kr(Sw) k(衛(wèi)z)如用滲透率來(lái)表達(dá)時(shí)，則有:(6-13)式中：k 一飽和土的滲透率；Sw的k(Sw)非飽和土的滲透率，為飽和度 函數(shù)；k (S ) k(Sw)kr(Sw)一相對(duì)滲透率，,鼠)k ;水的動(dòng)力粘滯系數(shù)。相對(duì)滲透率為非飽和 土的滲透率和同一種土 飽和時(shí)的滲透率的比值， 為含水率或飽和度Sw 的函數(shù)。非飽和砂的相對(duì) 滲透率和飽和度Sw的 關(guān)系表不在圖6-4中。當(dāng) 飽和度(含水率)減少時(shí)， 大孔隙首先開(kāi)始排水，滲 透在較小的孔隙

10、中進(jìn)行， 過(guò)水?dāng)嗝鏈p小，滲流途徑 的彎曲度增加，相對(duì)滲透 率急劇減小。到達(dá)A點(diǎn)， 孔隙中的水變得不連續(xù) 了，相對(duì)滲透率等于零。 此時(shí)的飽和度為身Sw0, 相應(yīng)的含水率為0=n Sw0 oIl圖6-4非飽和砂的相對(duì)滲透率與飽和度的關(guān)系(據(jù) Wyckoff 和 Botset, 1936)2 .基本微分方程在第一章中，我們已經(jīng)得到了滲流的連續(xù)性方 程(1-65)式。對(duì)于非飽和流動(dòng)，把等式右端的空 隙度n換成含水率，方程仍然是適用的。在非 飽和帶中，一般不考慮介質(zhì)的變形，即單元體體 積x y z不隨時(shí)間而變化。于是可以約去等式 兩端的x y z t;同時(shí))在非飽和流動(dòng)中)水 的密度變化很小，可當(dāng)作常數(shù)

11、。于是，相應(yīng)的 連續(xù)性方程為：(6-14)將運(yùn)動(dòng)方程(6-12)式代入(6-14)式中，得：.劭豹十熟豹十的豹(6-15)式(6-15)即為非飽和流的基本微分方程，稱(chēng)為 Richards 方程。上述方程中，既含有含水率，又含有水頭H, 為解決問(wèn)題方便起見(jiàn)，可以把基本微分方程化成 以下幾種表達(dá)形式。(1)以含水率 為因變量的表達(dá)式：前已述及) 非飽和帶的水頭H = z-hc,又由水分特征曲線(xiàn)、 毛管壓力水頭 hc和含水率 之間存在著函數(shù)關(guān) 系，因此(6-15)式可改寫(xiě)為：M Tk噂第蘭的謂W-浜囪碧 (7-16)式心-翳=嚏；=卷r為容水度.|一抗由于水分持征曲線(xiàn)各處的斜率不同，C不是常 數(shù).而

12、是隨含水率而變的變數(shù)，即C = C()(0)Q .一 z 'C0* L d兒參數(shù)D()是滲透系數(shù)和容水度的比值，稱(chēng)為 擴(kuò)散系數(shù)，量綱為L(zhǎng) 2T-1。它是一個(gè)重要的參數(shù)。 引入D()以后，(6-16)式變?yōu)椋捍?望+畀口犀+袈)+Hr派 dy k 辦/ 公 Id s:A d z(6-18)這是二階的非線(xiàn)性偏微分方程。對(duì)于一維的垂 直流動(dòng))可簡(jiǎn)化為：筍=吳伊為士為© 彳£ X = l c? d ?(6-19)z軸向上取正值，z軸向下取負(fù)值。(2)以毛管壓力水頭為因變量的表達(dá)式：從水 分特征曲線(xiàn)可知，毛管壓力水率之間存在著函數(shù) 關(guān)系。因此，非飽和土的滲透系數(shù)同樣是毛管壓

13、力水頭的函數(shù)，即 K=K( hc)或K( ), C = C(hc) 或C( )o于是)V - K3)i磐+/十沙卜-K«)k(6-20)Wf=一四辦豹一架豹一盤(pán)“君+* (6-21)考慮到-。3)芳+.豹+蒙K碘豹+&K3)衿-誓=°(6-22)(3)飽和一非飽和流的表達(dá)式：在飽和一非飽和流動(dòng)中，常以壓強(qiáng)p或水頭H為因變量，有H z P ,一 H Z o如果不忽略密度的變化，連續(xù)性方程(6-14)可寫(xiě)為：= 0(6-23)再將v用運(yùn)動(dòng)方程(6-13)代入，容重=g, 含水率=nSw,則得：帶(陽(yáng)Sw) = V + 圖6)J(6-24)該方程中的某些參數(shù)的取值范圍如下

14、:飽聞蒂， 0. 5. a 1MSG = E =港數(shù)非飩和串出Sw) k /V。，6w = “(力."3%宅V 1以上考慮的模型都是單相流模型，只研究水的 運(yùn)動(dòng)，即凡是水流到的地方，空氣自然被排走。實(shí)際上，巖石空隙是既存在空氣也存在水的二相 系統(tǒng)，也必然是更復(fù)雜的模型，這里就不介紹了, 請(qǐng)讀者參考有關(guān)的專(zhuān)著。思考題：1 .為什么對(duì)于飽 和流動(dòng)，不透水邊界的H 八邊界條件為1 ,而對(duì) 于垂直入滲的非飽和 流動(dòng)，不透水邊界的邊 兒， 界條件為1 ?2 .圖6-5為一個(gè) 垂直入滲情況下的飽 和一非飽和流動(dòng)模型。 地面入滲率為R(t),潛 水面的埋深s(t)隨時(shí)間 而變化，初始埋深為 s(0

15、)=L,潛水含水層 底板隔水。試寫(xiě)出該情 況下的飽和一非飽和 流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。圖6-5垂直入滲情況下的飽和-非飽和流動(dòng)模型他在建立微分方程時(shí)應(yīng)用了下列假定：(1)具有原生孔隙的巖層中廣泛發(fā)育有隨機(jī) 分布的裂隙，二者都充滿(mǎn)著整個(gè)研究區(qū)，形成兩 個(gè)重疊的連續(xù)系統(tǒng)。也就是說(shuō)，孔隙和裂隙的分 布彼此都是連續(xù)的。即所謂的“二重性”假定。 雙重介質(zhì)的名稱(chēng)即由此而來(lái)。根據(jù)這一假定，在 滲流區(qū)中的每個(gè)點(diǎn)上都有兩個(gè)水頭， 一個(gè)是孔隙 水頭H,另一個(gè)是裂隙水頭Hf；(2)孔隙以貯水為主，裂隙以導(dǎo)水為主，水自 孔隙經(jīng)裂隙流向別處，其總的滲透性決定于裂隙 的滲透性；水在裂隙中的流動(dòng)服從 Darcy定律；(3)孔隙和裂

16、隙的初始水頭相等，它們之間交 換的水量與其水頭差成正比，即：Qpf=C(H-H f)(6-25)式中，Qpf為單位體積的含水層在單位時(shí)間內(nèi)從 孔隙流入裂隙的水量，C是比例常數(shù)；(4)含水層骨架可以壓縮，但其固體顆粒的壓 縮性忽略不計(jì)，看成是剛性的。6.2.2微分方程的建立根據(jù)上述假定和水流連續(xù)性原理，可以建立裂 隙承壓含水層的微分方程。仍然考慮圖1-29中那個(gè)單元體的水均衡，所取坐標(biāo)軸和主滲透方向 一致。根據(jù)第二個(gè)假定，這個(gè)單元體中的水通過(guò) 裂隙流入、流出，并服從Darcy定律。因此，在t時(shí)段內(nèi)沿x軸方向流入這個(gè)單元體與流出這 個(gè)單元體的水量之差(凈流入這單元體的水量) 為：3也甯7式中，仁為

17、裂隙的主滲透系數(shù)(與X軸平行)。同 理可得，t時(shí)段內(nèi)沿y軸方向和z軸方向凈流入 這個(gè)單元體的水量分別為:和a 1 ,rf A A *號(hào) 77 ddUN式中，K八Kzfz為裂隙的主滲透系數(shù)(分別與y軸 和Z軸平行)。根據(jù)假設(shè)，孔隙中釋放出的水要 進(jìn)入裂隙，其量為：C(H 一 凡33如出因此，在t時(shí)間內(nèi)單元體中總的水量變化(凈流 入量)為：由仁符卜鼎乩普卜為總和2 一砌出(6-25)這個(gè)時(shí)間內(nèi)，單元體內(nèi)由于貯存的變化所引 起的水量變化為：f aH t A A i Ad £式中：為裂隙貯水率。單元體內(nèi)水量變化必然引起貯存的變化， 兩 者應(yīng)相等。于是得:總韶+制普| +引&匏+ C(

18、*聞口江(6-26)同理，對(duì)孔隙有副心第十弱(6-27)式中，、K。、心為沿x, y, z軸方向孔隙的主 滲透系數(shù)，為巖塊的貯水率。由于孔隙中的水力坡降很小，可以認(rèn)為:當(dāng)院義山山K也也且K迫iD故有(6-28)C式中 二，稱(chēng)為承壓水遷移系數(shù)。為了建立關(guān)干Hf的方程，把(6-28)式改寫(xiě)為“；產(chǎn))十 八H %)一 普 ntrf i這是關(guān)于(HHf)的一階線(xiàn)性微分方程。按已 知公式，可求得其道解為：H - Ht = 0f - fe 也。學(xué)dfJ ea不(6-29)再利用初始條件：H(j: ,y(0) =帶入上式，可得C=0。有此求得其解為H = H -卜，靜下(6-30)把它代入(6-28)式可得

19、：里一丫3一Hy _ yfe-，豹k d tj pdr(6-31)把它代入(6-26)式，便可得只包括裂隙水頭Hf的方程:（6-32）上式是描述承壓雙重介質(zhì)裂隙水流的基本 微分方程。在二維情況下可簡(jiǎn)化為：3，ctf/r j 附齊 番川 “ mH _l_ . 一小一門(mén)汨 q i石而產(chǎn)弱。國(guó)尸"77十*-dr（6-33）式中七、Ty；為裂隙的主導(dǎo)水系數(shù)（分別與x, y軸平 行）。f, *為裂隙和巖塊的貯水系數(shù)。把上述方程和描述多孔介質(zhì)中滲流的基本微 分方程比較，其不同之處只是多了一項(xiàng)：心孰（二維情況下為I "小一耨） 從前面的討論中不難發(fā)現(xiàn)，它表示：A翳 CHl 町或1和因此，

20、它的物理意義為單位時(shí)間內(nèi)單位體積 含水層（二維情況下為單位面積的柱體）中從孔隙 流入裂隙的水量。它是一個(gè)和時(shí)間有關(guān)的量，抽 水早期，即t值很小時(shí)，它很小，抽出的水主要 來(lái)自裂隙內(nèi)水的釋放，從而造成裂隙水頭的迅速 下降。隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，這一水量相應(yīng)地增大， 裂隙水頭的下降速度也隨之減緩。 可見(jiàn)，多孔巖 塊中的水是逐漸釋放出來(lái)的。這是由該數(shù)學(xué)表達(dá) 式的性質(zhì)決定的，從而造成孔隙水頭的下降落后 于裂隙水頭的下降，在時(shí)間上存在著遲后。因此， 這部分水量也可以稱(chēng)為延遲彈性釋水量。 隨著時(shí) 間的增長(zhǎng)，遲后效應(yīng)逐漸變小，孔隙中釋放的水 量逐漸跟得上裂隙中水位的下降，最后遲后效應(yīng) 小到可以忽略不計(jì)。和潛水 Bo

21、ulton方程比較) 不難發(fā)現(xiàn)，兩者在形式上是相似的，都包含有延 遲效應(yīng)項(xiàng)，即延遲彈性釋水量項(xiàng)和潛水遲后重力 排水項(xiàng)。但前音有明確的物理含意。延遲彈性釋水項(xiàng)中包含一個(gè)新的參數(shù)一一承壓水遷移系數(shù)。根據(jù)定義，其中比例常數(shù) C 是反映孔隙和裂隙之間水量交換特征的參數(shù)， 與 孔隙的滲透系數(shù)K及多孔巖塊的幾何特征有關(guān)。T. D. Streltsova(1976)認(rèn)為，C = K/L , L 為巖 塊的特征長(zhǎng)度，用巖塊的平均大小或巖塊中心到 它表面的平均距離來(lái)表示。所以值取決于K,L,，等，它是反映孔隙、裂隙發(fā)育情況及其連通程 度的特征量。 越小，從孔隙向裂隙運(yùn)移的水量 越少，延遲時(shí)間越長(zhǎng)；反之， 越大，

22、從孔隙向 裂隙運(yùn)穆的水量越多，延遲的時(shí)間越短。對(duì)無(wú)壓含水層，相應(yīng)近似的裂隙水流基本方 程，在二維情況下為：劃界耨+志工普卜"棠+ " +何登dr (6-34)Ch式中，二，稱(chēng)為水遷移系數(shù)，h為含水層厚度。方程右端第二項(xiàng)的物理含意為延遲彈性 釋水量與延遲重力排水量之和。對(duì)于完整抽水井，如果含水層是均質(zhì)、等厚的 承壓含水層，抽水前，所有裂隙和孔隙中的靜水 壓力相等，以定流量抽水，則有：T佛+ 9祭卜"富十戶(hù)卜"i祭加(6-35)式中，sf為裂隙中的降深，此時(shí)有定解條件:s (巴 sflim rr 0 rs (r, 0)=0t)=0Q2 T f§ 6

23、.3 動(dòng)力彌散理論隨著近年來(lái)地下水遭到不同程度的污染，地 下水中溶質(zhì)運(yùn)移理論可以用來(lái)模擬地下水中污 染物的運(yùn)移過(guò)程"預(yù)測(cè)地下水污染的發(fā)展趨勢(shì), 控制地下水污染綽方面。6.3.1 水動(dòng)力彌散現(xiàn)象及其機(jī)理先考察一個(gè)實(shí)例。通過(guò)它們可以大致了解水 動(dòng)力彌散現(xiàn)象是怎么回事。一一引：巷在二Q注史瞬時(shí)迂入呆秋拭度的工種 木蹤劑，則在附近觀測(cè)孔中可以觀察到示蹤劑不 僅隨地下水流一起位移，而且逐漸擴(kuò)散開(kāi)來(lái)，超 出了僅按平均實(shí)際流速所預(yù)期到達(dá)的范圍， 并有 垂直于水流方向的橫向擴(kuò)散，不存在突變的界 面。果不存在這種現(xiàn)象，木蹤劑應(yīng)按水流的平均流速 移動(dòng)；含示蹤劑和不含示蹤刑的水的接觸界面應(yīng) 該是突變的示蹤

24、劑也不應(yīng)公橫向擴(kuò)展開(kāi)來(lái)，即 有一個(gè)以實(shí)除平均流速移動(dòng)的直立鋒面。 以上事 實(shí)說(shuō)明，在兩種成分不同的可以混溶的液體之間 存在著一個(gè)不斷加寬的過(guò)渡帶。這種現(xiàn)象稱(chēng)為水 動(dòng)力彌散。因此所謂水動(dòng)力彌散就是多孔介質(zhì) 中所觀察到的兩種成分不同的可混溶液體之間 過(guò)渡帶的形成和演化過(guò)程。這是一個(gè)不穩(wěn)定的不可逆轉(zhuǎn)的過(guò)程。 水動(dòng)力 彌散是由溶質(zhì)在多孔介質(zhì)中的機(jī)械彌散和分子 擴(kuò)散所引起的。茲分述如下。(1)機(jī)械彌散在多孔介質(zhì)中，無(wú)論液體運(yùn)動(dòng)速度的大小還 是方向，都是很不均一的。這主要和下列情況有 關(guān)：由于液體有粘滯性以及結(jié)合水對(duì)重力水的摩 擦阻力，使得最靠近隙壁部分的(重力)水流速度 趨近于零，向軸部流速逐漸增大，至

25、軸部最大， 孔隙的大小不一，造成不同孔隙間軸部最大流速 有差異，孔隙本身彎彎曲曲，水流方向也隨之不 斷改變，因此對(duì)水流平均方向而言，具體流線(xiàn)的 位置在空間是擺動(dòng)的。這幾種現(xiàn)象是同時(shí)發(fā)生 的，由此造成開(kāi)始時(shí)彼此靠近的示蹤劑質(zhì)點(diǎn)群在 流動(dòng)過(guò)程中不是一律按平均流速運(yùn)動(dòng)，而是不斷 向周?chē)鷶U(kuò)展，超出按平均流速所預(yù)期的擴(kuò)展范 圍。沿平均速度方向和垂直它的方向上， 都可以 看到這種擴(kuò)展現(xiàn)象。液體通過(guò)多孔介質(zhì)流動(dòng)時(shí)， 由于速度不均一所造成的這種物質(zhì)運(yùn)移現(xiàn)象稱(chēng) 為機(jī)械彌散。(2)分子擴(kuò)散分子擴(kuò)散是由于液體中所含溶質(zhì)的濃度不 均一而引起的一種物質(zhì)運(yùn)移現(xiàn)象。濃度梯度使得 物質(zhì)從濃度高的地方向濃度低的地方運(yùn)移， 以求

26、 濃度趨向均一。因此，即使在靜止液體中也會(huì)發(fā) 生分子擴(kuò)散，使示蹤劑擴(kuò)散到越來(lái)越大的范圍。分子擴(kuò)散使同一流束內(nèi)的濃度趨于均一， 而且相 鄰流束間在濃度梯度的作用下也有物質(zhì)交換， 導(dǎo) 致橫向濃度差的減小。物理學(xué)的知識(shí)告訴我們，分子擴(kuò)散服從Fick 定律。該定律揭示了溶液中溶質(zhì)的擴(kuò)散， 在單位 時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的溶質(zhì)質(zhì)量入與該溶質(zhì)的 濃度梯度成正比，即：人一卻拼式中：圖為該溶質(zhì)在溶液中的濃度c沿方向 s變化的濃度梯度，比例系數(shù) Dd稱(chēng)為擴(kuò)散系數(shù)， 量綱為L(zhǎng) 2T-1。不同溶質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)各不相同， 同一物質(zhì)在不同溫度下的擴(kuò)散系數(shù)也不同。 在濃 度低的情況下，可以認(rèn)為它是一個(gè)與濃度無(wú)關(guān)的 常數(shù)。由于擴(kuò)

27、散是沿著濃度減小的方向進(jìn)行的， 而擴(kuò)散系數(shù)總是正的，所以式中要加一負(fù)號(hào)。液體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)時(shí)，機(jī)械彌散和分子 擴(kuò)散是同時(shí)出現(xiàn)的，事實(shí)上也不可分。這種劃分 帶有某種人為的性質(zhì)。事實(shí)上，“純”機(jī)械彌散 不可能存在。因?yàn)楫?dāng)示蹤劑質(zhì)點(diǎn)沿著微小的流管 運(yùn)移時(shí)，分子擴(kuò)散不僅使流管中的濃度趨于拉 平，而且還使示蹤劑質(zhì)點(diǎn)從一條流管移向相鄰的 另一條流管，導(dǎo)致橫向濃度差的減小。但分子擴(kuò) 散，即使在沒(méi)有水流運(yùn)動(dòng)的情況下也能單獨(dú)存 在。當(dāng)流速較大時(shí)，機(jī)械彌散是主要的；當(dāng)流速 甚小時(shí)，分子擴(kuò)散的作用就變得很明顯。顯然， 機(jī)械彌散和分子擴(kuò)散都會(huì)使溶質(zhì)既沿平均流動(dòng)方向擴(kuò)展又沿垂直于它的方向擴(kuò)展。 前者稱(chēng)為縱 向彌散，后

28、者稱(chēng)為橫向彌散。除了機(jī)械彌散和分子擴(kuò)散外，某些其它現(xiàn)象 也會(huì)影響多孔介質(zhì)中溶質(zhì)的濃度分布，如多孔介 質(zhì)中固體顆粒表面對(duì)溶質(zhì)的吸附、 沉淀，水對(duì)固 體骨架的溶解及離子交換等。此外，液體內(nèi)部的 化學(xué)反應(yīng)也可導(dǎo)致溶質(zhì)濃度的變化。6.3.2 水動(dòng)力彌散系數(shù)由于多孔介質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，從微觀水 平上研究一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律實(shí)際上足不可能的； 同樣，從微觀水平宋研究彌散也是困難的。因此, 和定義滲流速度一樣，也從宏觀上來(lái)描述彌散現(xiàn) 象，亦即將其定義在典型單元體（REV）上的平均 值。分子擴(kuò)散服從Fick定律，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和理想 模型的研究，證實(shí)機(jī)械彌散也能用這個(gè)定律來(lái)描 述。根據(jù)Fick定律，多孔介質(zhì)中的分子擴(kuò)

29、散可 用下式描述：I = - D" - grade式中，D'為多孔介質(zhì)中的分子擴(kuò)散系數(shù)，量綱 為L(zhǎng)2丁1,是二秩張量；c為該溶質(zhì)在溶液中的 濃度；I為由于分于擴(kuò)散在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位 面積的溶質(zhì)質(zhì)量，對(duì)于機(jī)械彌散有：I '= 一 D' - grade式中，D'為機(jī)械彌散系數(shù)，量綱為L(zhǎng)2T-1,也 是二秩張量；I為由于機(jī)械彌散造成的個(gè)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的溶質(zhì)質(zhì)量，c的含義同前。 D'和D的量綱相同，由此定義水動(dòng)力彌散系數(shù) D:。+ i>D也是二秩張量。由于水動(dòng)力彌散在單位時(shí)間內(nèi) 通過(guò)單位面積的溶質(zhì)的質(zhì)量則為I = I '十I =

30、一 D - grade,如果我們選擇x軸與該點(diǎn)處的 平均流速方向一致，y軸和z軸則與平均流速 方向垂直，則上式也可以寫(xiě)成下列更容易被我們 理解的形式：此時(shí)水動(dòng)力彌散系數(shù)張量：%0 bD = 0/U 0 De坐標(biāo)軸方向稱(chēng)為彌散主軸。Dxx稱(chēng)為縱向彌 散系數(shù)，Dyy, Dzz稱(chēng)為橫向彌散系數(shù)。由于彌散 主鈾的方向依賴(lài)于流速方向，即使在均質(zhì)各向同 性介質(zhì)中，各點(diǎn)彌散主軸的方向也會(huì)隨著水流方 向的改變而各不相同。水動(dòng)力彌散系數(shù)在研究地下水物質(zhì)運(yùn)移問(wèn) 題中是一個(gè)很重要的參數(shù)。通過(guò)大量在末固結(jié)的 多孔介質(zhì)中的實(shí)驗(yàn)，得到了如圖 7-10所示的曲線(xiàn)。圖中縱坐標(biāo)是從實(shí)驗(yàn)室得到的縱向彌散系數(shù)Dl與溶質(zhì)在所研究的液

31、相中的分子擴(kuò)散系數(shù) Dd 的比值，橫坐標(biāo)是一個(gè)無(wú)量綱的量：nr* 10 ! IC ' 1 IH1 a1 | Ip |!()*Ml圖6-10分于擴(kuò)散和水動(dòng)力彌散間的關(guān)系 (據(jù) J. Bear)稱(chēng)為Peclet數(shù)。其中)u為實(shí)際平均流速) d為多孔介質(zhì)的某種特征長(zhǎng)度，如多孔介質(zhì)的平 均粒徑等。該無(wú)量綱數(shù)表示實(shí)際流速和分子擴(kuò)散 系數(shù)相比的相對(duì)大小，Pe數(shù)愈大，表示流速相 對(duì)愈大。根據(jù)這條曲線(xiàn)的變化情況，大致上可以 分五個(gè)區(qū)。第I區(qū)：實(shí)際流速很小，以分子擴(kuò)散為主，相當(dāng)于曲線(xiàn)上尋接近于常數(shù)的一段第II區(qū)：對(duì)應(yīng)的Peclet數(shù)Pe約在0.4至U 5 之間，曲線(xiàn)開(kāi)始向上彎曲，機(jī)械彌散已達(dá)到和分 子擴(kuò)

32、散相同的數(shù)量級(jí)。因此，應(yīng)當(dāng)研究?jī)烧叩暮停?而不應(yīng)忽略其中的任何一個(gè)。第III區(qū)：物質(zhì)運(yùn)移主要由機(jī)械彌散和橫向 分子擴(kuò)散相結(jié)合而產(chǎn)生。橫向分子擴(kuò)散往往會(huì)削 弱縱向的物質(zhì)運(yùn)移，實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出DL/Dd =(Pe)m,=0.5, 1<M<1.2o第IV區(qū)：以機(jī)械彌能為主，分子擴(kuò)散的作 用已經(jīng)可以忽略不計(jì)，但流速尚未達(dá)到偏離 Darcy定律的程度。本區(qū)相當(dāng)于圖中的直線(xiàn)部 分。實(shí)驗(yàn)給出于DL/Dd= Pe, =1.8。第V區(qū)；仍屬于機(jī)械彌散為主的區(qū)域，與 第IV區(qū)的區(qū)別在于水流速度已達(dá)到越出Darcy定律適用的范圍。慣性力和紊流的影響造成縱向 物質(zhì)運(yùn)移的減少，曲線(xiàn)斜率減緩。橫向彌散試驗(yàn)得到了和

33、縱向彌散相類(lèi)似的 結(jié)果。上述曲線(xiàn)說(shuō)明，彌散系數(shù)和水流速度、分子 擴(kuò)散有關(guān)。它們用的關(guān)系如下式所示：式中：Dij機(jī)械彌散系數(shù))為一個(gè)二秩對(duì)稱(chēng)張量，這是它的一個(gè)分量；ij,km多孔介質(zhì)的彌散度,為一四秩張量；在飽和流動(dòng)中它反映多孔介質(zhì)固體骨架 的幾何性質(zhì)，量綱為L(zhǎng);u實(shí)際平均流速,Uk) Um分別為它在坐標(biāo)軸Xk、Xm上的分量；表示水流通道形狀持征的系數(shù)，無(wú)量 綱；5' =訐慝徜在微觀水平上考慮相鄰流線(xiàn) 之間內(nèi)分子擴(kuò)散所引起的對(duì)物質(zhì)運(yùn)移影響的因 數(shù)，這個(gè)影響和機(jī)械彌散是不可分的。Pe較大時(shí)，由f(Pe,)的表達(dá)式可以看出， f(Pe, )=1。也就是說(shuō)，分子擴(kuò)散對(duì)機(jī)械彌散系 數(shù)的影響就變得

34、微不足道了。這時(shí)機(jī)械彌散系數(shù) 和實(shí)際平均流速之間呈線(xiàn)件關(guān)系。 對(duì)于大多數(shù)實(shí) 際問(wèn)題來(lái)說(shuō)，都屬于這種情形，總是假定，f(Pe, )=1。如果在某一點(diǎn)上選擇坐標(biāo)軸，使得其中一個(gè) 坐標(biāo)油(如f軸)祁該點(diǎn)處的平均流速方向一致(即 彌散主軸)，并忽略分子擴(kuò)散，f(Pe, )=1,則：3 - 5川=門(mén) 1 - 5 值,口" = 口：= 再=0 I式中，L , T分別稱(chēng)為縱向彌散度和橫向彌散 度?？v向機(jī)械彌散系數(shù) 以和橫向機(jī)械彌散系數(shù) Dyy,及%稱(chēng)為彌散系數(shù)的主值。由于彌散主軸依 賴(lài)于水流方向，所以除了均勻流(Ux=常數(shù)，Uy =Uz =0)以外，一般說(shuō)來(lái)即使在各向同性介質(zhì)中 各點(diǎn)的彌散系數(shù)也各

35、不相同，隨空間位置而變 化。6.3.3 對(duì)流一彌散方程及其定解條件考慮由某種溶質(zhì)和溶劑組成的二元體系。以充滿(mǎn)液體的滲流區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)p為中心，取一無(wú)限 小的六面體單元）各邊長(zhǎng)為 x、 y和z,選擇x軸與p點(diǎn)處的平均流速方向一致，來(lái)研究該單 元中溶質(zhì)的質(zhì)量守恒。先研究由水動(dòng)力彌散所引起的物質(zhì)運(yùn)移。 在 t時(shí)間內(nèi)，由于彌散和水流運(yùn)動(dòng)所引起的單元 體內(nèi)總的溶質(zhì)質(zhì)量變化為十十"ay"'十在t時(shí)間內(nèi)，單元體內(nèi)溶質(zhì)的濃度發(fā)生了 c丁 t的變化）單兀體內(nèi)的液體體積為 n x y z, 則由它所引起的該單元體中溶質(zhì)質(zhì)量的變化為：n - x y z t t根據(jù)質(zhì)量守恒定律，上述兩者應(yīng)該相等，當(dāng) 坐標(biāo)軸與水流平均流速方向一致時(shí)，經(jīng)過(guò)整理、 簡(jiǎn)化后得到： 上式稱(chēng)為對(duì)流一彌散方程（水動(dòng)力彌散方程）。它 右端后三項(xiàng)表示水流運(yùn)動(dòng)（習(xí)慣地把它喻為對(duì)流） 所造成的溶質(zhì)運(yùn)移，前三項(xiàng)表示水動(dòng)力彌散所造 成的溶質(zhì)運(yùn)移。案=2（0-封+Id勻+舞灰_次#_改&點(diǎn)）女 Jy 3 jr如果還有化學(xué)反應(yīng)或其它原因所引起的溶 質(zhì)質(zhì)量變化，且單位時(shí)間單位體積含水層內(nèi)由此 而引起的溶質(zhì)質(zhì)量的