1、線性諧振子哈密頓量算符為4.6.1其中厄米算符 和 滿足如下對易關(guān)系：xp , x pi 4.6.2定義兩個非厄米算符 和 ： aa1()2axip1()2axip4.6.31.線性諧振子2221122Hpx利用式4.6.2 不難證明，這兩個非厄米算符滿足如下根本對易關(guān)系： ,1a a4.6.4式4.6.3 的逆變換關(guān)系為()2xaa()2piaa4.6.5利用式4.6.5，并思索到對易關(guān)系4.6.4，哈密頓算符又可表示為4.6.61()2Ha a4.6.7 由于 與算符 僅僅相差一個常數(shù)矩陣，所以我們只需求解 的本征值問題。設(shè)它的屬于本征值為 的本征矢為 ，即Ha aa aa a 首先，由于

2、 是一個右矢 的模的平方，是非負(fù)數(shù)，因此可得到如下結(jié)論：2() ()(a aaaa04.6.8即 的本征值為非負(fù)數(shù)。a a 其次，利用對易關(guān)系4.6.4不難證明()(1)(1)a a aaa aa4.6.9這闡明，假設(shè) 是的一個本征矢，相應(yīng)的本征值 ，那么 也使它的一個本征矢，相應(yīng)的本征值為 。類似的將算符 作用于本征矢 ，有1a aa()(1)a a aa4.6.10由此，我們可將 稱為“產(chǎn)生算符， 稱為“湮滅算符，假設(shè) 是 的一個本征矢，那么 和 對這個本征矢作用后得到的新的右矢 依然是 的本征矢，但其本征值添加或減小 。反復(fù)的運(yùn)用這種作用，我們可以從某一給定的本征矢出發(fā)，得到具有不同本征

3、值的一切本征矢。這種方法可稱為“階梯法。所得到的本征值譜顯然是等間隔的，間隔為 。aaa aaa()aaa a11 最后，本征值取值條件4.6.8闡明，本征值譜有一個下限，設(shè)下限為 相應(yīng)的本征矢為 ，即00 00000a a 4.6.11由于 是 的屬于最小本征值的本征矢，所以滿足如下條件：0a a00a4.6.12根據(jù)這個條件，由式4.6.11可得 ，這是獨(dú)一能夠小于 的本征值。零本征值的態(tài)可記為 ，稱為基態(tài)。條件4.6.12可記為：001000a4.6.13由于 的本征值和本征矢可記為a a (n=0,1,2,) n()0nnnA a4.6.144.6.15其中 是歸一化系數(shù)，待定。由式4

4、.6.6，4.6.7 4.6.14可知nA1()2H nnn即一維線性諧振子能量本征值為 ，這與動搖力學(xué)方法所得到的結(jié)果一致。 1()2nEn 如今來調(diào)查根本算符 和 對表象基矢 的作用。由式4.6.9的結(jié)果可知， 與 描寫了同一個態(tài)，因此有aanan1n1nancn4.6.16于是可得 。假設(shè)取 ，那么式4.6.16化為 1nincne0n11annn1a nn n4.6.184.6.17其中 是常數(shù)。為了確定 ，對上式取模的平方，有ncnc =22(1)1ncann aann a ann由式4.6.17還可得到式4.6.14中歸一化系數(shù)，于是一維線性諧振子哈密頓量的歸一化的本征矢可表示為1

5、()0!nnan4.6.194.6.20由式4.6.17和 4.6.18，可以立刻得到算符 和 在能量表象中的矩陣元aa,11n nn nan ann,1n nn nan ann4.6.21利用算符 ， 和 ， 之間的變換關(guān)系4.6.5，以及上述式4.6.20和4.6.21，可以得到坐標(biāo)算符 和動量算符 在諧振子能量表象中的矩陣元：4.6.224.6.23aaxpxp,1,1(1)2n nn nn nxn x nnn,1,1(1)2n nn nn npn p ninn 定義算符 ，稱為粒子數(shù)算符。它的本征方程為：na an na a nn n4.6.25由式4.6.20和4.6.21還可以立刻得到算符 的矩陣元：a an ,m+1m,n-1mn n =( m+1)( n) =n ()n nn mmnmn a a na aaa4.6.242.粒子數(shù)表象 4.6.25可作這種了解：想象諧振子體系為許多能量為 的“準(zhǔn)粒子的集合，具有 個準(zhǔn)粒子的態(tài)記為 ，粒子數(shù)算符 作用于本征態(tài) 上，其相應(yīng)的本征值是粒子數(shù) 。nnnnn 所謂粒子數(shù)表象，就是將粒子數(shù)的產(chǎn)生算符和湮滅算符作為根本力學(xué)量，其它力學(xué)量，如坐標(biāo)、動量以及動能、勢能、哈密頓算符等等都可用它表示；態(tài)矢