1、行程問題行程問題有關(guān)交通的數(shù)學模型有關(guān)交通的數(shù)學模型行程問題行程問題一、圓形跑道問題一、圓形跑道問題二、趕火車的策略二、趕火車的策略三、奔波問題三、奔波問題甲，乙兩人分別從直徑甲，乙兩人分別從直徑AB兩端沿圓形跑兩端沿圓形跑道同時相向起跑，第一次相遇時離道同時相向起跑，第一次相遇時離A點點50米，第二次相遇時離米，第二次相遇時離B點點50米，求跑道總米，求跑道總長。（假設甲，乙兩人在圓形跑道上始長。（假設甲，乙兩人在圓形跑道上始終做勻速運動）另外：終做勻速運動）另外：1.能否確定第三次、第四次、能否確定第三次、第四次、第、第n次次兩人相遇的地點嗎？兩人相遇的地點嗎？2.這樣跑下去，甲乙兩人會在

2、這樣跑下去，甲乙兩人會在A處或處或B處處相遇嗎？相遇嗎？一、圓形跑道問題一、圓形跑道問題今有今有12名旅客要趕往名旅客要趕往40千米遠的一個千米遠的一個火車站去乘火車，離開車時間只有火車站去乘火車，離開車時間只有3個個小時了，他們步行的速度為每小時小時了，他們步行的速度為每小時4千千米，靠走路是來不及了。唯一可以利米，靠走路是來不及了。唯一可以利用的交通工具是一輛小汽車，但這輛用的交通工具是一輛小汽車，但這輛小汽車連司機在內(nèi)最多只能乘坐小汽車連司機在內(nèi)最多只能乘坐5人，人，汽車的速度為每小時汽車的速度為每小時60千米。問這千米。問這12名旅客能趕上火車嗎？名旅客能趕上火車嗎？二、趕火車的策略二

3、、趕火車的策略(321)4 02 0 0 ()千 米 用汽車來回送這12名旅客要分3趟，總路程為所需的時間為1 02 0 06 03（ 小 時 ） 3因此，單靠汽車來回接送旅客是無法讓12名旅客全部趕上火車的。如果在汽車來回接送前一趟旅客的同時，讓其他旅客先步行，則可以節(jié)省一點時間。以下為具體計算過程：方案2 勉強趕到的方案方案方案1 不能趕到的方案不能趕到的方案x46 04 02 .xx51 .2 5 ()4x 小 時。4 01 .2 543 5（ 千 米 ） 。y46 03 52 .yy3 51 . 0 9 ()3 2y小時。3 52 4 53 543 0 .6 33 28（ 千 米 ）

4、。第一趟，設汽車來回共用了和其他旅客的總路程為一個來回，所以解得 此時，剩下的8名旅客與車站的距離為第二趟，設汽車來回共用了小時，那么解得 此時剩下的4名旅客與車站的距離為小時，這時汽車30.63600.51（小時）。1.25 1.090.512.85（小時）。第三趟，汽車用了因此，總共需用時間約為用這種方法，在最后4名旅客趕到火車站時離開車還有9分鐘，從理論上說，可以趕得上。但是，我們在計算時忽略了旅客上下車以及汽車掉頭等所用的時間。因此，趕上火車是很勉強的。方案3 最快的方案。先讓汽車把4名旅客送到中途某處，再讓這4名旅客步行（此時其他8名旅客也在步行）；接著汽車回來再送4名旅客（剩下的4

5、名旅客繼續(xù)步行），追上前面的4名旅客后也讓他們下車一起步行了最后回來接剩下的4名旅客到火車站。為了省時，必須適當選取第一批旅客的下車地點，使得送最后一批旅客的汽車與前面8名旅客同事到達火車站。在整個過程中，每名旅客不是在乘車就是在步行，沒有一名旅客是在原地浪費時間，所以，這是一種最快到達火車站的方案。x46 01 5xx（ 千 米 ）解法1，設汽車送第一批旅客行駛他們下車步行，此時其他旅客步行了千米后讓1 41 5x1 41 5x1 41 41 51 56 046 043 2xxx(40)x4 023 24xx它們之間相差了于步行旅客的速度都一樣，所以兩批步行旅客之回行駛兩趟，每來回一趟所用的

6、時間為由于汽車來回兩趟所用的時間恰好是第一批旅客千米的時間，故千米。在以后的時間里，由間始終相差千米。而汽車要在這段距離間來步行32()x 千米3240322.53()604小 時 。解得所需的總時間為這說明，這個方案可以擠出大約28分鐘的空余時間，足以彌補我們在計算時所忽略的一些時間。因此，這12名旅客可以趕上火車。x40604x60476048xxx。740603284xxxx 8()15x 小時解法2 設每組旅客坐車時間為小時，則步行時間小時。每個空車回程所用時間為而汽車共行駛了3個去程和2個回程，且汽車所用的總時間與每一組旅客所用的總時間相等，即解得 為由此可知，步行時間為406024

7、x（小時）所以，這12名旅客全部趕到火車站的時間是：822.5315（小時）。兩兄妹分別在離家兩兄妹分別在離家2千米和千米和1千米且方向千米且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以分別以4千米千米/小時和小時和2千米千米/小時的速度步小時的速度步行回家，一小狗以行回家，一小狗以6千米千米/小時的速度從哥小時的速度從哥哥處奔向妹妹，又從妹妹處奔向哥哥，哥處奔向妹妹，又從妹妹處奔向哥哥，如此往返直至回家中，問小狗奔波了多如此往返直至回家中，問小狗奔波了多少路程？少路程？三、奔波問題三、奔波問題有關(guān)交通的數(shù)學模型有關(guān)交通的數(shù)學模型一、交通信號燈的管理一、交通信

8、號燈的管理二、交通路口的紅綠燈模型二、交通路口的紅綠燈模型問題背景問題背景: 溫州七中高一段學生到人民路溫州七中高一段學生到人民路城開天橋下的十字路口，希望通過對十字路城開天橋下的十字路口，希望通過對十字路口紅綠燈開設時間及車流量調(diào)查，來粗略研口紅綠燈開設時間及車流量調(diào)查，來粗略研究一下有關(guān)交通的數(shù)學模型。究一下有關(guān)交通的數(shù)學模型。 為此，先讓學生分組去觀察，把得到的為此，先讓學生分組去觀察，把得到的數(shù)據(jù)取平均，得到了下面一組數(shù)據(jù)：東西方數(shù)據(jù)取平均，得到了下面一組數(shù)據(jù)：東西方向綠燈即南北方向紅燈的時間為向綠燈即南北方向紅燈的時間為49秒；南北秒；南北方向綠燈即東西方向紅燈的時間為方向綠燈即東西

9、方向紅燈的時間為39秒，所秒，所以紅綠燈變換一個周期的時間為以紅綠燈變換一個周期的時間為88秒。在紅秒。在紅綠燈變換的一個周期內(nèi)，相應的車流量：東綠燈變換的一個周期內(nèi)，相應的車流量：東西方向平均為西方向平均為30輛，南北方向平均為輛，南北方向平均為24輛。輛。這組數(shù)據(jù)說明了什么問題呢？這組數(shù)據(jù)說明了什么問題呢？在紅綠燈變換的一個周期時間在紅綠燈變換的一個周期時間T內(nèi)，從東內(nèi)，從東西方向到達十字路口的車輛為西方向到達十字路口的車輛為H，從南北，從南北方向到達十字路口的車輛數(shù)為方向到達十字路口的車輛數(shù)為V,問如何確問如何確定十字路口某個方向紅燈與綠燈點亮的定十字路口某個方向紅燈與綠燈點亮的時間更合

10、理？時間更合理？一、交通信號燈的管理一、交通信號燈的管理(1)黃燈時間忽略不計；只考慮機動車，黃燈時間忽略不計；只考慮機動車，不考慮人流量及非機動車輛；只考慮不考慮人流量及非機動車輛；只考慮東西、南北方向，不考慮拐彎的情況。東西、南北方向，不考慮拐彎的情況。(2)車流量均勻。車流量均勻。(3)一個周期內(nèi)，東西向綠燈，南北向一個周期內(nèi)，東西向綠燈，南北向紅燈時間相等；東西向與南北向周期紅燈時間相等；東西向與南北向周期相同。相同。分析：分析：這里所謂的合理，就是從整體上看，在紅這里所謂的合理，就是從整體上看，在紅綠燈變換的一個周期內(nèi)，車輛在此路口的滯留綠燈變換的一個周期內(nèi)，車輛在此路口的滯留總時間

11、最少?？倳r間最少。模型假設模型假設(1)黃燈時間忽略不計；只考慮機動車，不考黃燈時間忽略不計；只考慮機動車，不考慮人流量及非機動車輛；只考慮東西、南北方慮人流量及非機動車輛；只考慮東西、南北方向，不考慮拐彎的情況。向，不考慮拐彎的情況。(2)車流量均勻。車流量均勻。(3)一個周期內(nèi)，東西向綠燈，南北向紅燈時一個周期內(nèi)，東西向綠燈，南北向紅燈時間相等；東西向與南北向周期相同。間相等；東西向與南北向周期相同。1y2y 。1y。/V t T。建立模型建立模型 設東西方向綠燈時間（即南北方向紅燈時間設東西方向綠燈時間（即南北方向紅燈時間）為）為t秒，則東西方向紅燈時間（即南北方向綠燈秒，則東西方向紅燈

12、時間（即南北方向綠燈時間）為（時間）為（T-t）秒。設一個周期內(nèi)車輛在此路口）秒。設一個周期內(nèi)車輛在此路口的滯留總時間為的滯留總時間為y秒。秒。根據(jù)假設，一個周期內(nèi)車輛在此路口的滯留總時根據(jù)假設，一個周期內(nèi)車輛在此路口的滯留總時間間y分成兩部分，一部分是南北方向車輛在此路口分成兩部分，一部分是南北方向車輛在此路口，另一部分是東西方向車輛在此下面計算南北方向車輛在此路口滯留的時間下面計算南北方向車輛在此路口滯留的時間滯留的時間滯留的時間路口滯留的時間路口滯留的時間 在一個周期中，從南北方向到達路口的車輛數(shù)在一個周期中，從南北方向到達路口的車輛數(shù)為為V，該周期中你那北方向亮紅燈的比率是，該周期中你

13、那北方向亮紅燈的比率是t/T，需，需停車等待的車輛數(shù)是停車等待的車輛數(shù)是這些車輛等待時間最這些車輛等待時間最由此可知，南北方向車輛在此路口滯留的由此可知，南北方向車輛在此路口滯留的短為短為0（剛停下，紅燈就轉(zhuǎn)換為綠燈），最長為（剛停下，紅燈就轉(zhuǎn)換為綠燈），最長為t（到達路口時，綠燈剛轉(zhuǎn)換為紅燈），由假設（到達路口時，綠燈剛轉(zhuǎn)換為紅燈），由假設（2）“車流量均勻車流量均勻”可知，他們的平均等待時可知，他們的平均等待時間間/2t。是是時間為時間為2122VttVytTT22() .2HyTtT同理，東西方向車輛在此路口滯留的時間為同理，東西方向車輛在此路口滯留的時間為所以所以2212() .22V

14、HyyytTtTT2222222222()221(2)21(2)222()22()22 ()2VHytTtTTV tH tH T tH TTH TV tH tH T tTVHH TH TttTVHVHH THTH TtTVHVHTHtHV模型求解模型求解是關(guān)于是關(guān)于t的二次函數(shù)，容易求得當?shù)亩魏瘮?shù)，容易求得當時，時，y取得最小值。取得最小值。函數(shù)函數(shù)取取 “問題背景問題背景”中調(diào)查的數(shù)據(jù)，即中調(diào)查的數(shù)據(jù)，即88,30,24,THV則則222222222222430(88)(88)2 882315()()(88176)2288315()15 8830()228827882788()(15)(15) 15 8888278827yttttttttt88 3048.88893024tmin587()y秒當當時時，數(shù)值模擬數(shù)值模擬由此可見，我們計算所得的結(jié)果和同學們實際由此可見，我們計算所