1、第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析1.LTI1.LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域連續(xù)系統(tǒng)的時域分析分析：2.2.特點：特點：比較直觀、比較直觀、物理概念物理概念清楚，是學習各種變換清楚，是學習各種變換時域時域分析法：分析法：函數(shù)的變量函數(shù)的變量-t t域域分析法的分析法的基礎(chǔ)基礎(chǔ) 3.3.時域分析法主要內(nèi)容：時域分析法主要內(nèi)容：概述：概述： 求出響應(yīng)與激勵關(guān)系求出響應(yīng)與激勵關(guān)系 經(jīng)典法經(jīng)典法 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 沖擊響應(yīng)與卷積積分沖擊響應(yīng)與卷積積分 建立線性微分方程建立線性微分方程并并第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)

2、連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2.3 卷積積分卷積積分 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解 二、關(guān)于二、關(guān)于0-0-與與0+0+值值 三、零輸入響應(yīng)三、零輸入響應(yīng) 四、零狀態(tài)響應(yīng)四、零狀態(tài)響應(yīng) 五、全響應(yīng)五、全響應(yīng)2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解 miiinjjjtfbtya0)(0)()()(y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(

3、t) + b0f (t)高等數(shù)學中經(jīng)典解法高等數(shù)學中經(jīng)典解法：完全解完全解 = = 齊次解齊次解 + 特解。特解。 對于單輸入對于單輸入- -單輸出系統(tǒng)的激勵為單輸出系統(tǒng)的激勵為f(tf(t) )，響應(yīng)為，響應(yīng)為y(ty(t) )，則描述，則描述LTILTI連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)激勵與響應(yīng)之間關(guān)系的數(shù)激勵與響應(yīng)之間關(guān)系的數(shù)學模型是學模型是n n階常系數(shù)線性微分方程階常系數(shù)線性微分方程，它可寫為：，它可寫為：或縮寫為：或縮寫為：)()()(tytytyph a an n=1=11. 齊次解齊次解00111 aaannn 0)()()()(01111 tyatyatyatynnnnii , 2 , 1

4、齊次方程：齊次方程：特征方程：特征方程：特征根：特征根：后由初始條件定后由初始條件定特征根特征根n個單實特征根個單實特征根齊齊 次次 解解 )(tyh nitiiec1 r重實根重實根trrrrectctctc )(012211 1對共軛復(fù)根對共軛復(fù)根 ja 21， atetDtC)sin()cos( jDCAetAeatat ),cos( 或或r重共軛復(fù)根重共軛復(fù)根 齊次解的形式由特征根齊次解的形式由特征根定定:待待定系數(shù)定系數(shù)Ci在求得全在求得全解解2. 特解特解rmm 1mm 110t ( P tPtP tP ) t10P tP )e （特解的函數(shù)形式特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)如下

5、表，將與激勵函數(shù)形式有關(guān)如下表，將特特解函數(shù)式解函數(shù)式代入原方程代入原方程，比較定出待定系數(shù)。，比較定出待定系數(shù)。激勵激勵f(t)響應(yīng)響應(yīng)y(t)的特解的特解yp(t)mtmm 1mm 110P tPtP tP te tPe cost sint 12P costP sint rr 1trr 10P tPtP )e （常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)特征根均不為特征根均不為0特征根特征根=特征根特征根=r重特征根重特征根特征根特征根j有有r重特征根為重特征根為0例：描述某例：描述某LTILTI系統(tǒng)的微分方程為：系統(tǒng)的微分方程為：求輸入求輸入 時的全解。時的全解。解：解：齊次解齊次解yh(t)齊次微分方程齊次微分

6、方程: :其特征方程為：其特征方程為：其特征根其特征根 則微分方程的齊次解為則微分方程的齊次解為：)()(6)(5)(tftytyty 1)0(, 2)0(; 0,2)( yytetft0)(6)(5)( tytyty0652 3221 ，ttheCeCty3221)( 全全解解= =齊次解齊次解+ +特解特解 例例 題題 特解特解Py(t)： 當當 ， 其特解可設(shè)為：其特解可設(shè)為： 將特解代入微分方程中：將特解代入微分方程中： 整理得：整理得： 微分方程的特解為：微分方程的特解為： 則微分方程的全解為：則微分方程的全解為：tetf 2)(tPPety )()()(6)(5)(tftytyty

7、PPP tPPety )(tPPety )(tPPety )(265 PPPtPety )(tttpheeCeCtytyty 3221)()()(1)0(, 2)0( yyttteeCeCty 3221)(ttteeCeCty 322132)(1132)0(21)0(2121 CCyCCy2321 CC，由已知條件：由已知條件：聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：0,23)(32 teeetyttt特解特解強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)齊次解齊次解自由響應(yīng)自由響應(yīng)3. 全解全解完全解完全解 = = 齊次解齊次解 + + 特解特解注意：注意： 齊次解齊次解的函數(shù)形式：僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)的函數(shù)形式：僅與系統(tǒng)本身的特性有

8、關(guān)特解中待定系數(shù)：特解帶入非齊次方程，對比求；特解中待定系數(shù)：特解帶入非齊次方程，對比求；齊次解中待定系數(shù)：在全解求得后由初始條件定。齊次解中待定系數(shù)：在全解求得后由初始條件定。與激勵與激勵f f( (t t) )的函數(shù)形式無關(guān)的函數(shù)形式無關(guān)又叫又叫固有響應(yīng)固有響應(yīng)或或自由響應(yīng)自由響應(yīng)特解特解的函數(shù)形式：的函數(shù)形式：又叫強迫響應(yīng)又叫強迫響應(yīng)由激勵確定由激勵確定自由響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)二二關(guān)于關(guān)于0-和和0+值值t=0t=0+ +f(t)接入接入t=0t=0t=0t=0- -y y(j)(j)(0(0- -) )反映的是歷史狀態(tài)反映的是歷史狀態(tài)與激勵與激勵f(t)f(t)無關(guān)無關(guān)初初始狀

9、態(tài)或始狀態(tài)或起始值起始值y y(j)(j)(0(0+ +) )沖擊函數(shù)匹配法沖擊函數(shù)匹配法（0 0- -、 f(t)f(t)）共同決定共同決定0 0+ +t t可能變化可能變化f(t)f(t)= =右側(cè)是否包含右側(cè)是否包含(t)(t)、,(t)-0-和和0+初始值初始值舉例舉例 例：描述某例：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 已知已知 解：解： 配平的原理：微分方程左右兩端的配平的原理：微分方程左右兩端的(t)及各階導(dǎo)數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡，令應(yīng)該平衡，令)(2)()()(2)(tftftytyty )(2)()()(2)(tttytyty )()()()()(0trtctbtaty

10、 )()()()(1trtbtaty )()()(2trtaty )0()0(),()(, 1)0(, 1)0( yyttfyy和和求求 22, 02, 1 abcaba5, 2, 1 cba)(2)()()(2)()()2()()2()(210tttrtrtrtcbatbata 等號兩端等號兩端 及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)應(yīng)分別相等及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)應(yīng)分別相等)(t 對等號兩端從對等號兩端從0 0- -到到0 0+ +進行積分進行積分 0000100)()(2)()0()0(dttrdttdttyy 2)0()0( yy1)0( y1)0( y)()(2)()(1trttty 對等號兩端從對等號兩端

11、從0 0- -到到0 0+ +進行積分進行積分)()(5)(2)()(0trtttty 000000000)()(5)(2)()0()0(dttrdttdttdttyy 1)0( y5)0()0( yy4)0( y已知已知已知已知三三.零輸入零輸入響應(yīng)響應(yīng):)(tyzi njjzijtya00)( njtzijzijeCty1)( 沒沒有外加輸入信號，只由起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)有外加輸入信號，只由起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)；微分方程為齊次方程，即：微分方程為齊次方程，即：若其特征根均為單根，則其零輸入響應(yīng)若其特征根均為單根，則其零輸入響應(yīng): :C Czijzij-待定系數(shù)待定系數(shù)由于輸入為零，故初始值

12、由于輸入為零，故初始值: :)1, 1 , 0(),0()0()0()()()( njyyyjjzijzi四四. 零零狀態(tài)響應(yīng)狀態(tài)響應(yīng):)(tyzs niiinjjzsjtfatya0)(0)()()(0)0()( jzsy系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，僅由輸入信號引起的系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，僅由輸入信號引起的響應(yīng)。響應(yīng)。方程為非齊次方程方程為非齊次方程: :初始狀態(tài)初始狀態(tài): :若微分方程的特征根均為單根若微分方程的特征根均為單根, ,則其零狀態(tài)響應(yīng)為：則其零狀態(tài)響應(yīng)為：)()(1tyeCtypnjtzsjzsj 其中其中：C Czsjzsj-待待定系數(shù)定系數(shù)y yp p(t)(t)-特特解解五五.

13、 全響全響應(yīng)應(yīng)ntiipiy tCyt 1( )e( ) njnjptzsjtzijtyeCeCjj11)( 由由y y(j)(j)(0(0+ +) )由由y yzizi(j)(j)(0(0+ +) )由由y yzszs(j)(j)(0(0+ +) )自由響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) y(t) = yzi(t) + yzs(t) 響應(yīng)及各階導(dǎo)數(shù)初始值響應(yīng)及各階導(dǎo)數(shù)初始值0)0()( jzsy響應(yīng)：響應(yīng)： y(t) = yzi(t) + yzs(t) y（j) (t) = yzi(j)(t) + yzs(j)(t)(j=0,1,2,-n-1)且且 y（j)

14、 (0-) = yzi (j)(0-) + yzs (j)(0-) y（j) (0+) = yzi (j)(0+) + yzs(j)(0+)0()0()0()()()( jjzijziyyy零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)舉例舉例例例1：描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f (t) + 6f(t) 已知已知y(0-)=2，y(0-)=1，f(t)=(t) 求該系統(tǒng)的零輸入求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零響應(yīng)、零狀態(tài)響狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。應(yīng)和全響應(yīng)。 解：解：求解零輸入響應(yīng)求解零輸入響應(yīng)y yzizi(t)(t)形式同齊次方程：形式

15、同齊次方程： yzi ”(t) + 3yzi (t) + 2yzi (t) = 0齊次方程的特征根為齊次方程的特征根為 ： 1， 2 零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)： yzi (t) = Czi1e t + Czi2e 2t yzi(0+)=yzi(0-)= y(0-) yzi ,(0+)=yzi ,(0-)= y,(0-)3521 ziziCC，12)0(2)0(2121 ziziziziziziCCyCCy0,35)(2 teetyttzi解得：解得：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為: : njtzijzijeCty1)( )0()0()0()()()( jjzijziyyy求解零狀態(tài)響應(yīng)求解

16、零狀態(tài)響應(yīng))(6)(2)(2)(3)(tttytytyzszszs 0)0()0( zszsyy)0(),0( zszsyy初始狀態(tài)：初始狀態(tài)：先求：先求：)()()()()()()(210trtytrtytrtatyzszszs 代入微分方程得：代入微分方程得：2 a22)0()0(, 0)0()0( zszszszsyyyy求得零狀態(tài)方程的齊次解為：求得零狀態(tài)方程的齊次解為：代入初始值得：代入初始值得：零狀態(tài)響應(yīng)為：零狀態(tài)響應(yīng)為：tzstzseCeC221 特解為特解為3 31, 421 zszsCC3)(221 tzstzszseCeCty0, 34)(2 teetyttzs當當t0t0

17、時，時，6)(2)(3)( tytytyzszszs0)0()( jzsy)()(1tyeCtypnjtzsjzsj 系統(tǒng)的全響應(yīng)為：系統(tǒng)的全響應(yīng)為：0, 32 0,3e435 )()()(2t22 teteeetytytytttttzszi強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)自由響應(yīng)自由響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 全響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)全響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng) 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)例例2：描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f”(t) + f(t) + 2f(t) 若若 f(t)=(t)時，時， 求零狀態(tài)響應(yīng)。求零狀態(tài)響應(yīng)

18、。 分析：分析：LTI 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)：線性和微分特性系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)：線性和微分特性 設(shè)設(shè)f(t) 作用于系統(tǒng)：零狀態(tài)響作用于系統(tǒng)：零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)y1(t)根據(jù)根據(jù)LTILTI系統(tǒng)微分特性：系統(tǒng)微分特性： y1(t) = T0, f(t) 即：滿即：滿足足y1(t) +2 y1(t) = f(t) )(, 0)(1tfTty )(, 0)(1tfTty 根據(jù)線性性質(zhì)：根據(jù)線性性質(zhì)：)(2)()()(111tytytytyzs 系統(tǒng)的全響應(yīng)為：系統(tǒng)的全響應(yīng)為： 全響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)全響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng) 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)0, 32 0,3

19、e435 )()()(2t22 teteeetytytytttttzszi強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)自由響應(yīng)自由響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)概述：概述：1. 1. 學習了學習了2 2種種求求LTILTI系統(tǒng)響應(yīng)的方法系統(tǒng)響應(yīng)的方法自由響應(yīng)自由響應(yīng)+ +強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)零輸入相應(yīng)零輸入相應(yīng)+ +零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 下面一節(jié)的內(nèi)容，針對下面一節(jié)的內(nèi)容，針對零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)的求取，響應(yīng)的求取，找尋一種好方法。找尋一種好方法。2. 2. 把一激勵信號（函數(shù)），分解為把一激勵信號（函數(shù)），分解為沖擊沖擊函數(shù)或階函數(shù)或階躍函數(shù)之和躍函數(shù)之和( (積分），只要求出了系統(tǒng)對沖擊

20、函積分），只要求出了系統(tǒng)對沖擊函數(shù)或階躍函數(shù)的響應(yīng)，利用數(shù)或階躍函數(shù)的響應(yīng)，利用LTI LTI 系統(tǒng)的特性，系統(tǒng)的特性，在系統(tǒng)的輸出端，疊加得到系統(tǒng)總的零狀態(tài)響應(yīng)在系統(tǒng)的輸出端，疊加得到系統(tǒng)總的零狀態(tài)響應(yīng)，那么系統(tǒng)對沖擊或階躍信號的零狀態(tài)響應(yīng)，就，那么系統(tǒng)對沖擊或階躍信號的零狀態(tài)響應(yīng)，就是下面要學習的內(nèi)容。是下面要學習的內(nèi)容。一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng)1定義 )(,0)(tTthdef )(ttLTI系統(tǒng)系統(tǒng)x(0)=0)(t)(th)(thtoo 對于對于LTI系統(tǒng)，當系統(tǒng)，當起始狀態(tài)為零起始狀態(tài)為零時，輸入為單位時，輸入為單位沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t) 所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為

21、單位沖激響稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記h(t)。2系統(tǒng)沖激響應(yīng)的求解例例1 1 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y y”(t)+5y(t)+5y(t)+6y(t)=(t)+6y(t)=f(tf(t) )，求其沖激響應(yīng)，求其沖激響應(yīng)h(t)h(t)。解：根據(jù)解：根據(jù)h(t)h(t)的定義有的定義有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 由于由于 ( (t t) )及其導(dǎo)數(shù)在及其導(dǎo)數(shù)在 t0+ 時都為零，因而方程式時都為零，因而方程式右右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式端的自由項恒等于零，這樣

22、原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與與齊次齊次解的形式相同。解的形式相同。 微分方程的特征根為：微分方程的特征根為：-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為： h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)因方程右端有因方程右端有(t)(t)，故利用系數(shù)平衡法。故利用系數(shù)平衡法。h h”(t)(t)中中含含(t)(t)，h(t)h(t)含含(t)(t)，h(0h(0+ +) )h(0h(0- -) )，0)0()0()()(6)(5)( hhtththth )()32()()()(32213221teCeCteCeCthtttt h(t)在在t=0連續(xù)，即連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得

23、積分得由上式可得由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t) 求得求得C C1 1=1,C=1,C2 2=-1,=-1, 所以所以h(t)=( e-2t - e-3t)(t)132)0(0)0(2121 CChCCh 總結(jié)總結(jié)：若：若n n階微分方程的右端只含有階微分方程的右端只含有f(tf(t),),即：即： 當當 ，其零狀態(tài)響應(yīng)（即沖激響應(yīng)滿足），其零狀態(tài)響應(yīng)（即沖激響應(yīng)滿足） 用前面類似的方法，可推得各用前面類似的方法，可推得各0+0+初始值為：初始值為： 若微分方程的特征根均為單根，則沖激響應(yīng)若

24、微分方程的特征根均為單根，則沖激響應(yīng))()()()(0)1(1)(tftyatyatynnn 1)0(2, 2 , 1 , 0, 0)0()1()( njhnjh)()(1teCthnjtjj )()(ttf 1, 2 , 1 , 0, 0)0()()()()()(0)1(1)(njhtthathathjnnn 一般而言，若描述一般而言，若描述LTILTI系統(tǒng)的微分方程為：系統(tǒng)的微分方程為： 可分為如下兩步求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)可分為如下兩步求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(th(t) ) 1)1)求右端只含有求右端只含有f(tf(t) )的沖激響應(yīng)的沖激響應(yīng)h h1 1(t)(t) 2)2)根據(jù)根據(jù)LTIL

25、TI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和微分性系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和微分性 質(zhì)得原微分方程的沖激響應(yīng)質(zhì)得原微分方程的沖激響應(yīng)h(th(t) )()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(tfbtfbtfbtyatyatymmmmnnn )()()()(10)1(11)(1tftyatyatynnn )()()()(10)1(11)(1thbthbthbthmmmm 例例2：設(shè)描述某二階：設(shè)描述某二階LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 求其沖激響應(yīng)。求其沖激響應(yīng)。 解法一解法一：選新變量：選新變量y1 (t)，滿足方程，滿足方程 設(shè)其沖激響應(yīng)為設(shè)其沖激響應(yīng)為h1(t)，則原方程的沖激響應(yīng)為，

26、則原方程的沖激響應(yīng)為)(3)(2)()(6)(5)(tftftftytyty )()(6)(5)(111tftytyty )(3)(2)()(111thththth )()()(321teethtt )()63( )(3)(2)()(32111te-e(t)ththththt-t- 由于由于 解法二：解法二：根據(jù)沖激響應(yīng)的定義，當根據(jù)沖激響應(yīng)的定義，當 系統(tǒng)的系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) ， 滿足滿足 求求0+0+時刻初始值時刻初始值 ，設(shè)：，設(shè)： 得：得： )()(ttf )()(thtyzs )(th 0)0()0()(3)(2)()(6)(5)(hhtttththth )0(),0( hh

27、)()()()()()()()()()()()(210trtathtrtbtathtrtctbtath 123; 1 cba1212)0()0(33)0()0( hhhh對對t0時，有時，有h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0微分方程的特征根為：微分方程的特征根為：-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為： h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)12)0(, 3)0( hh)()63()(32te-etht-t- 代入初始條件代入初始條件6, 321 CC得：得：所以：所以：)()63( )(32te-e(t)tht-t- 二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng) 一個一個

28、LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)，其初始狀態(tài)為零初始狀態(tài)為零時，輸入為單時，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的位階躍函數(shù)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，用簡稱階躍響應(yīng)，用 表示即：表示即： )(,0)(tTtgdef to)(tLTI系統(tǒng)系統(tǒng)x(0)=0)(t)(tgto)(tg)(tg1定義 2 2系系統(tǒng)階躍響統(tǒng)階躍響應(yīng)的求解應(yīng)的求解若若n n階微分方程的右端只含有階微分方程的右端只含有f(tf(t), ), 即：即：當當 ，其零狀態(tài)響應(yīng)（即階躍響應(yīng)滿足），其零狀態(tài)響應(yīng)（即階躍響應(yīng)滿足）用前面類似的方法，可推得各用前面類似的方法，可推得各0+0+初始值為：初始值為：若

29、微分方程的特征根均為單根，則沖激響應(yīng)若微分方程的特征根均為單根，則沖激響應(yīng))()()()(0)1(1)(tftyatyatynnn )()(ttf 1, 2 , 1 , 0, 0)0()()()()()(0)1(1)(njgttgatgatgjnnn 1, 2 , 1 , 0, 0)0()0()()( njggjj)(1)(01taeCtgnjtjj 如果微分方程的等號右端含有如果微分方程的等號右端含有f(tf(t) )及其各階及其各階導(dǎo)數(shù)，則可根據(jù)導(dǎo)數(shù)，則可根據(jù)LTILTI系統(tǒng)的線性性質(zhì)和微分特性系統(tǒng)的線性性質(zhì)和微分特性求得其階躍響應(yīng)。求得其階躍響應(yīng)。 由于單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù)的關(guān)系為

30、：由于單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù)的關(guān)系為： 根據(jù)根據(jù)LTILTI系統(tǒng)的微積分特性，同一系統(tǒng)的階躍響系統(tǒng)的微積分特性，同一系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系為：應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系為：dttdt)()( tdxxt)()( tdxxhtgdttdgth)()( )()(例例1 1 如圖所示的如圖所示的LTILTI系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng))(tf)(ty32)(tx )(tx)(tx21解：解：系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t) 即即 x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t)(2)(txtxty ）得系統(tǒng)的微分方程為：得系統(tǒng)的微分方程為：)(

31、2)()(2)(3)(tftftytyty 求階躍響應(yīng)：求階躍響應(yīng)： 設(shè)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為設(shè)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 ，階躍響應(yīng)滿足方程：，階躍響應(yīng)滿足方程： 其特征根其特征根 其特解為其特解為0.50.5，于是得：，于是得： 又根據(jù)又根據(jù)0-0-狀態(tài)求得狀態(tài)求得0+0+狀態(tài)值得：狀態(tài)值得：)(tgx0)0()0()()(2)(3)( xxxxxggttgtgtg 2, 121 )()5 . 0()(221teCeCtgttx 0)0()0( xxgg5 . 0, 121 CC)()5 . 05 . 0()(2teetgttx 解得：解得：得：得：)(2)()(2)(3)(tftftytyty 系統(tǒng)的階

32、躍響應(yīng)為：系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為： 實際系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：實際系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為： 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：)(2)()(tgtgtgxx )()5 . 05 . 0()(2teetgttx )()5 . 0()(2teetgttx )()123)(2teetgtt （)()43)(2teethtt （ 例：如圖二階電路，若以例：如圖二階電路，若以 為輸入，以為輸入，以 為輸為輸 出，求該電路的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。出，求該電路的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。 由由LVLLVL和和KCLKCL得：得： 將元件值代入，得電路的微分方程為：將元件值代入，得電路的微分方程為：)(tus)(tuCCCLCGC

33、CGCLGudtduCiGuidtduCiiii , , dtdiLuuLCs )(CCLCsuLGuLCdtdiLuu )(sCCCuuuLGuLC sCCCuuuu25256 )(tusLC)(tuC)(tiL)(tiC)(tiGG2.3 卷積積分卷積積分 信號的時域分解與卷積積分信號的時域分解與卷積積分 卷積的圖解法卷積的圖解法一、信號的時域分解與卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1信號的時域分解信號的時域分解 預(yù)備知識預(yù)備知識問問 f1(t) = ? p(t)直觀看出直觀看出2 2 2 2 1)()(1tpAtf 任意信號分解任意信號分解 kktpkftf)()()( 考慮：任意考慮

34、：任意f(t)f(t)用許多窄脈沖表示出來用許多窄脈沖表示出來如圖：第如圖：第k k個窄脈沖出現(xiàn)的時刻：個窄脈沖出現(xiàn)的時刻：k k“0”“0”號號: :脈沖高度脈沖高度f f(0) ,(0) ,寬度為寬度為，用用p p( (t t) )表示為表示為：f(0) p(t)“1”號號: 脈沖高度脈沖高度f f( () ,) ,寬度為寬度為，用用p p( (t t - -) )表示為：表示為： f( ) p(t - ) d)()()()(lim0tftftf k 12 2 2 .任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yzs (t)f (t)根據(jù)根據(jù)h(t)的定義：的定義：(t) h(t)

35、 由時不變性：由時不變性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齊次性：由齊次性：f () h(t - -)由疊加性：由疊加性： d)()( tf d)()( thff (t)yzs(t) d)()()( thftyzs卷積積分卷積積分3 .卷積積分的定義卷積積分的定義)()(d)()()(thtfthftyzs 已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數(shù)）上的兩個函數(shù)f1(t)dtfftf)()()(21為為f1(t)與與f2(t)的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積；記為；記為 和和f2(t)，則定義積分，則定義積分 f(t)= f1(t)*f2(t)()()(

36、)()(ttfdtftf 二、卷積的圖解法二、卷積的圖解法dtfftftf)()()(*)(2121卷積過程可分解為卷積過程可分解為四步四步：（1）換元：換元： t 換為換為得得 f1()、 f2()（2）反轉(zhuǎn)平移：反轉(zhuǎn)平移：由由f2()反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) f2()平移平移 t f2(t-)（3）兩信號兩信號重疊重疊部分相乘：部分相乘： f1() f2(t-) （4）相乘后相乘后圖形積分：圖形積分： 從從 到到對乘積項積分。對乘積項積分。注意：注意：t為參變量為參變量例例圖解法計算卷積圖解法計算卷積舉例舉例例例1 f (t) 、h(t) 如圖所示，求如圖所示，求yzs(t)= h(t) * f (t)

37、解解h(t)函數(shù)：換元為函數(shù)：換元為h() f (t)函數(shù)：換元為函數(shù)：換元為f ()、反折、反折f (t)h(t)tt12122并并平移平移t22t f (t-)h()h()22f (-)-121(2) (2) 0t 1 t0 dtfhtfthtyzs)()()()()( yzs(t)=0 f (t-)2th() tzstdty024121)( (3) (3) 1t 2412121)(1 ttzstdty h()22f (-)-12121h()t212 f (t-)1h()t f (t-)21(4) (4) 2t 3 dtfhtfthtyzs)()()()()(5) (5) 3t +0)(

38、tyzs 21243214121)(tzsttdty h()t3221 f (t-)3tt-1h()221 f (t-)h()22f (-)-121例例2 2 f f1 1(t)(t)、f f2 2(t)(t)如圖所示，求如圖所示，求f(t)=ff(t)=f1 1(t)(t)* *f f2 2(t)(t)f f1 1(t)(t)t t-222解解f1(t)函數(shù)：換元為函數(shù)：換元為f1() f2(t)函數(shù)：換元為函數(shù)：換元為f2() 、反折、移位、反折、移位f f2 2(t)(t)t t2 f f2 2(-(-) )-2 f f1 1( () )2-22tf2(t-)（1）- t -2 沒有重疊

39、，沒有重疊，f(t)=0（2）-2 t 0f f1 1( () )2-22f2(t-)f1()f2(t-)-2 t tttddtfftf2221)2(23432)()()( （3）0 t 2f1()f2(t-)tt-2 ttttddtfftf22213432)()()( f f1 1( () )2-22f f2 2(-(-) )-2 卷 積 計 算（4）2 t 4f1()f2(t-)tt-2 2 222221)4(23432)()()(tttddtfftf （5）4 t 沒有重疊，沒有重疊，f(t)=0f 2(t-)f 1()4f f1 1( () )2-22f f2 2(-(-) )-2 求

40、某一時刻卷積值求某一時刻卷積值圖解法圖解法一般比較繁瑣，一般比較繁瑣，確確定積分的上下限是關(guān)鍵。定積分的上下限是關(guān)鍵。但若只求某一時刻卷積值但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。時還是比較方便的。例：例：f1(t)、 f2(t)如圖所示，已知如圖所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)解解：d)2()()2(12fff（1）換元）換元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）積分，得）積分，得f(2) = 0（面積

41、為（面積為0）2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 卷積代數(shù)運算卷積代數(shù)運算 與沖擊函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積與沖擊函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積 微分積分性質(zhì)微分積分性質(zhì)相相關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù) 卷積積分是一種數(shù)學運算，它有許多重要的性質(zhì)卷積積分是一種數(shù)學運算，它有許多重要的性質(zhì)（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。一、卷積一、卷積代數(shù)運算1交換律)()()()(1221tftftftf dtfftff)()()d)()(1212，令令 t dd: ，則則 卷積結(jié)果與交換兩函數(shù)的次序無關(guān)卷積結(jié)果與交換兩函數(shù)的次序無關(guān) 一般選比較簡單函數(shù)進行反轉(zhuǎn)和平移一般選比較簡

42、單函數(shù)進行反轉(zhuǎn)和平移 tftf21 tftf12 d)()(21 tff tftf21 證明：)()()()()()()(3121321tftftftftftftf 2分配律 ththth21 系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示： )()(1thtf )()(2thtf )()()()()()(21thtfthtfthtf 結(jié)論：結(jié)論：并聯(lián)系統(tǒng)沖激響應(yīng)等于并聯(lián)系統(tǒng)沖激響應(yīng)等于子子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和3結(jié)合律 )()()()()()(2121tftftftftftf )()()()()()(2121ththtfththtf )()(21ththth 系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示：系統(tǒng)級聯(lián)，

43、框圖表示： 結(jié)論：串聯(lián)結(jié)論：串聯(lián)系統(tǒng)沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)系統(tǒng)沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的沖激響應(yīng)的卷積卷積 二、與沖激函數(shù)的卷積1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 證：證：)(d)()()(*)(tftftft 信號信號f(t)分解為分解為沖擊函數(shù)疊加沖擊函數(shù)疊加f(t)(t)f(t)=f(t)f(t)* *(t)(t)*=)(d)()(tftf f f( (t t) )(t)=(t)=f f(0)(0)篩選特性篩選特性與沖激函數(shù)的卷積推廣2.2. f(t)*(t t0) = f(t t0)與與（t-t0)卷積卷積相當于函數(shù)延遲相當于函數(shù)延遲t0f(t)f(t)=f(t)*(

44、t-t0)(t-t0)*=推廣：推廣： f(t-t1)*(t t2) = f(t t1-t2) (t-t1)*(t t2) = (t t1-t2)f(t)f(t)(t-t(t-t0 0)=f(t)=f(t0 0) ) 3. 若若 f1(t)*f2(t) = f(t) 卷積的時移特性卷積的時移特性證：證：則則 f1(t-t1)*f2(t-t2) = f1(t-t2) * f2(t-t1)=f(t-t1-t2) f1(t-t1)*f2(t-t2) = f1(t) *(t-t1) *f2(t)*(t-t2) = f1(t) *(t-t2) *f2(t)*(t-t1) = f1(t-t2) * f2(

45、t-t1) 且且 f1(t-t1)*f2(t-t2) = f1(t) *(t-t1) *f2(t)*(t-t2) = f1(t) *f(t2) *(t-t1)*(t-t2) = f(t) *(t-t1-t2) = f(t-t1-t2) ) f1(t-t1)*f2(t-t2) = f1(t-t2) * f2(t-t1)=f(t-t1-t2) 卷積的時移特性卷積的時移特性應(yīng)用應(yīng)用f1(t-t1) t1f 2(t-t1) t1f 2(t-t2) t2f1(t-t2) t2f(t-t1-t2) t1+t2f(t-t1-t2) t1+t2* * *= = =與階躍函數(shù)的卷積(t) *(t) = t(t)

46、4. f(t)*(t) tftf d)(d)()(推廣：推廣：注意：注意：(t) *(-t)不存在不存在卷積性質(zhì)例題 1.(t+3) *(t-5)例例1 1解：解：方法二方法二. (t) *(t)=t(t)(t+3) *(t-5)分析：分析： 利用性質(zhì)及結(jié)論利用性質(zhì)及結(jié)論 f1(t-t1)*f2(t-t2) =f(t-t1-t2) = (t-2)(t-2)1. (t+3) *(t-5)2. e-2t (t+3) *(t-5)方法一方法一. . 利用定義利用定義 2. e-2t (t+3) *(t-5)()1(5 . 0)()(22tettett )5(*)3()3(26 tteet e-2t

47、(t+3) *(t-5)2(1 5 . 0)2(26 teet 例：如圖周期為例：如圖周期為T的周期性單位沖激函數(shù)序列，可的周期性單位沖激函數(shù)序列，可稱為梳妝函數(shù)，它可用稱為梳妝函數(shù)，它可用 表示，它可寫為表示，它可寫為)(tT oTT2TT2)(tTto)(0tftTT2TT2ot)(tf mTmTtt)()( mmmTmTtfmTttfmTttfttftf)( )()( )()()()()(0000 三、卷積的微積分性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)1. 若若 f(t)= f1(t)*f2(t) = f2(t)*f1(t) 則則 f（1）(t)= f1（1）(t)*f2(t) = f1(t)*f2（

48、1）(t) 證明：證明：f（1）(t)= (1)121212( )()( )()( )( )ddff tdff tf tftdtdt同理：同理：f（1）(t)= (1)212112( )()( )()( )( )ddff tdff tftf tdtdt卷積的積分性質(zhì)卷積的積分性質(zhì)若若 f(t)= f1(t)*f2(t) = f2(t)*f1(t)2. 則則 f（-1）(t)= f1（-1）(t)*f2(t) = f1(t)*f2（-1）(t)f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下的前提下， 卷積性質(zhì)的推廣卷積性質(zhì)的推廣