1、第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)21.若x 1為f x的一個(gè)原函數(shù)，則下面哪些也是f x的原函數(shù)?答：x2+2x是。因?yàn)樗c2只差一個(gè)常數(shù)，而另外三個(gè)函數(shù)與2不是相差常數(shù).2.求下列不定積分4 dx x(2)10x dx1 io 1x10 1ii x11C.(4)Trdx x . x(6)1x33x3 4C.3x2dx5x 2dxarcsin x3-x1C.C.C.3.已知函數(shù)y f x是導(dǎo)數(shù)等于x 1,且該函數(shù)過(guò)點(diǎn)2,5，求這個(gè)函數(shù).由題目條件可得x 1 dxlx2xCxxx-/ ,2一1八2八- 八, .1 2且 5 22 C,故 C 1,所以 f x - x224.已知曲線(xiàn)上任一

2、點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為23x，且曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)1,1，求此曲線(xiàn)方程.由題目條件得y233x dx xCM1 1OC0,所以y5.求下列不定積分.x_ x2 5 dxx10 dx10xln10C.(2)解x . x . x dx7x8dx8一 x1525:8 C.22 x dxx4 4x x2xdx1x 2dx13x2dxx2dx8 x 3x-2 -2 -x2 C.5(4)secx secxtan x dx2,八sec xdx secxtan xdx tan x secx C.111(6)1.(2)(4)(6)2.2 dxcos xsin xcosx tan x求下列不定積分secx22x 3 dxc 10

3、13 x dx4+3xdx,1 dx.1 2xsin 5xdxxsin 一 52求下列不定積分.t5 1t3 C106(2)解令t(4)解令tdx2 dx tanxcos x sin xdx2xsin xdx dx cosx第二節(jié)換元積分法2d 2xdx103xd2x1 2x6-3 x11113x34 3x 2cotx C.x C.3C.C.C.2x.1 2xC.sin 5xd 5xsint2cos5x C.2cos - 25 C.dxtdt。所以x.2x 1dxt tdtt4dtt2dt101-=dx x . x2x 1t2t 1 1*Cdt 2t 1dxdx2tdtt2 t3t2dt.所以

4、3 (t2 t Int2tdt .所以2x152x33x ln 1C.2 n 21n 1+t.2t 2, dx 2tdt .所以11 dt 2t lnt 12ln 1、x C.C 2 x_2 ln x 2 1C.6.求下列不定積分(1)解當(dāng)x 1時(shí)，令xsect, t0,2則 x2 1 seCt 1tan2t tant,dx sect tan tdt.所以dxx、x2sect tant dtsect tantdt1arccos- C.x當(dāng)x<0時(shí)，令x= t,可得所以4.dxdtt ；t2 1arccos1 C arccos tdxx < x2 11 arccos -xC.(2)令

5、 x2dxx2sin t,tsin2tcostcostdt,.1 x2,2.sin tdt.1 sin2tcost, dx costdt.1 cos2t , dt22t1 sin 2t42t-sin t cost 21 arcsin x x、. 12求下列不定積分.sin xe cos xdxsinx ,.e d sin xsin x eC.(2)cosxsinx dx esin x ed sin xsinxC.sin3 xdxsinx 1cos x dxsinxdxcos xd cosx1cos3x cosx C. 3(4)sin xcos3 xdxcos3 xd cosx4 cos x C

6、.5.求下列不定積分.解令V2xt21 , dxtdt .所以dxx % 2x 1dt1 tdt； 2arctan t C 2arctan . 2x 1 C.1 t2(2)解令Vxt,則xt4,dx3.4t dt，所以21.4t3dt.t4 1 12 .4 2dt 4 t dtt2 1dt2 dt4 1t3 t3arctant3x”,一4 .x arctan 、. x3第三節(jié)分部積分(2)(4)求下列不定積分.2x2x sin2 x sin(6)(8)(9)C.xsin xdxxcos2xdxxdxd2x 1 cosxdxcosxxcosxcos xdxxcosx sin x C.1 .八一

7、sin2x21- -xsin x21 . c ，一 sin2xdx21.1c c- xsinx -cos2x C.2xd sin x2x1 sin xsin xd2x 11 sin x 2sin xdx2x1 sin x2cos xC.2 , cosxdx x d sin x2 xsin xdx2 xcosxxe xdx2x , xe dx2 x ,x e dxlnxdxd2x sin xcos xdx2x e2.x sin xsin xd2 xd cosxx2 sin x 2xcosxxxe1 2x一 xe22sinC.xxe dx e1 2x , -e dxxexdxC.2xxC.xdx2

8、xex In xdxx Ine xdxIn xd2xC.In xxdx1x2ln 21x2 C.4dxInIn2dxxdxln 1lnx 1 C.ln xd_ 3 .x ln x2 .x dxln xC.2222 .x ln xdx(10)解333334.求下列不定積分2xxlndxxln x2至 dx xln x2 11 x22、1x2 12xdxxln11 x2dxxln1 2x+2arctan xC.(2)解xe cosxdxxe d sin xx .e sinxx .e sin xdx e sin xxe cosxex cosxdx,所以1_xxe cosxdx e2sin x cos

9、xC.x(3)解 e sin xdxsin xdx _.sin xe x cos xdxxxe sin x cosxd e一 x 一 一e sinxe cosxe x sin xdx所以 e xsin xdx(4)解 e3x cosxxdx1 x e sinx cosx C.213x 1 3x一 cosxd e e cosx331 e3xsinxdx31 3x13xe cosx sinxd e391 3x -1 3x1 疑,e cosx e sinxx e cosxdx399所以e xcosxdx -e3x 1cosx1031 sin x 93x e C= - 103cos xsin xC.arcsinxdx xarcsinxdx xarcsinx1 x2xarcsirx 112 C.(6)arctaixdx xarctaixx ,.dx xarctax 1 x2x arctan xdxarctan xd 1x2 2(8)3.d 1 x21 x21x2arctanx 22 ,x +1arctanxC.lnx=dxln xd2.x2、x ln因?yàn)閒 x的一個(gè)原函數(shù)是si