1、高中數(shù)學高考綜合復習專題二十六 點、直線、平面之間的位置關系一、知識網(wǎng)絡 二、高考考點1、空間直線，空間直線與平面，空間兩個平面的平行與垂直的判定或性質.其中，線面垂直是歷年高考試題涉及的內容.2、上述平行與垂直的理論在以多面體為載體的幾何問題中的應用；求角；求距離等.其中，三垂線定理及其逆定理的應用尤為重要.3、解答題循著先證明后計算的原則，融推理于計算之中，主要考察學生綜合運用知識的能力，其中，突出考察模型法等數(shù)學方法，注重考察轉化與化歸思想；立體問題平面化；幾何問題代數(shù)化.三、知識要點（一）空間直線1、空間兩條直線的位置關系（1）相交直線有且僅有一個公共點；（2）平行直線在同一個平面內，

2、沒有公共點；（3）異面直線不同在任何一個平面內，沒有公共點.2、平行直線（1）公理4（平行直線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示：設a,b,c為直線， （2）空間等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩條直線所成的銳角（或直角）相等.3、異面直線（1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.（2）有關概念：（）設直線a,b為異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線，并使/a，/b,則把和所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角.特例：如果兩條異面直線所成角是直角，則說這

3、兩條異面直線互相垂直.認知：設 為異面直線a，b所成的角，則 .（）和兩條異面直線都垂直相交的直線（存在且唯一），叫做兩條異面直線的公垂線.（）兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線的距離.（二）空間直線與平面直線與平面的位置關系：（1）直線在平面內直線與平面有無數(shù)個公共點；（2）直線和平面相交直線與平面有且僅有一個公共點；（3）直線和平面平行直線與平面沒有公共點.其中，直線和平面相交或直線和平面平行統(tǒng)稱為直線在平面外.1、直線與平面平行（1）定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，則說這條直線和這個平面平行，此為證明直線與平面平行的原始依據(jù).（2）判

4、定判定定理：如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.認知：應用此定理證題的三個環(huán)節(jié)：指出 .（3）性質性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.2、直線與平面垂直（1）定義：如果直線l和平面 內的任何一條直線都垂直，則說直線l和平面 互相垂直，記作l .（2）判定：判定定理1：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.判定定理2：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.符號表示： .（3）性質性質定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線

5、平行.符號表示： （4）概念（）點到平面的距離：從平面外一點引這個平面的垂線，則這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.（）直線和平面的距離：當一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離.（三）空間兩個平面1、兩個平面的位置關系（1）定義：如果兩個平面沒有公共點，則說這兩個平面互相平行.（2）兩個平面的位置關系（）兩個平面平行沒有公共點；（）兩個平面相交有一條公共直線.2、兩個平面平行（1）判定判定定理1：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.判定定理2：（線面垂直性質定理）：垂直于同一條直線的兩個平面平行.

6、（2）性質性質定理1：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.性質定理2（定義的推論）：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的所有直線都平行于另一個平面.3、有關概念（1）和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段.（2）兩個平行平面的公垂線段都相等.（3）公垂線段的長度叫做兩個平行平面間的距離.4、認知：兩平面平行的判定定理的特征：線面平行 面面平行，或線線平行 面面平行；兩平面平行的性質定理的特征：面面平行 線面平行，或面面平行 線線平行.它們恰是平行范疇中同一事物的相互依存和相互貫通的正反兩個方面.

7、四、經(jīng)典例題例1、在正方體 中，E、F、G、H分別為棱BC、 、 、 的中點，求證：（1） ； （2） 分析：直面線面平行或面面平行的證明，一般是運用相應的判定定理.為此，需要在有關平面內尋找相關直線的平行線.尋找平行線的平面幾何方法主要有：（）構造平行四邊形；（）構造三角形中位線或三角形中的成比例線段；（）構造梯形注意到已知某些棱的中點，想到找取相關線段的中點，配合原來線段的中點構造上述平面圖形.對于（1）適合條件的三角形難以構造，故首選構造平行四邊形；對于（2），則由不同圖形的構造引出不同的證法.證明：（1）連接 ，并設 ，則 分別為兩底面的中心.取OB中點為M， 則由EM為BOC的中位線

8、得 注意到 為正方形 四邊形 為矩形 由得 四邊形 為平行四邊形 又 （2）證明（構造平行四邊形）：取 中點為N，連接 ，則由 為平行四邊形， 又連結 知四邊形 為平行四邊形 由得 注意到 同理可得 于是由得 。例2、已知平面 分析：已知直線與平面平行，必然要利用線面平行的性質或定義，一般是利用線面平行性質定理.為此，已知直線 ，需要經(jīng)過直線n作平面 ，進而推出n/a.本題證明由此展開.證明：在平面 （線面平行性質定理） （線面平行判定定理）又 平面 （線面平行性質定理） 于是由得n/m（公理4）點評：立體幾何的作圖，必須是出手有理有據(jù)，已知直線 ，除極個別情形外，一般要利用線面平行性質定理，

9、因此，需要經(jīng)過直線a作平面 進而推出a/b，切不可直接在 內作b/a，為大家提供“零分證法”的反例.例3、在正三棱柱 中，E是AC中點，（1）求證： ；（2）求證： ；（3）若 .分析：注意到正三棱柱的特性（1）利用上述特性構造三角形，構造平行四邊形或構造面面平行，不同的構造產(chǎn)生出不同的證法；（2）注意到正三棱柱的側面與底面垂直，又這里BEAC，問題易證.（3）注意到 ， 的垂線易作，故考慮運用三垂線定理構造二面角的平面角.解：（1）證法一（構造三角形中位線）：連結B1C，設 的對角線交點.又連結EM，則EM為 的中位線， 又 .證法二（構造平行四邊形）：在平面 內延長 并與 的延長線交于點G

10、，連結BG，則GA 四邊形GAB1B為平行四邊形AB1/GB又 證法三（構造平行平面）取A1C1中點為E1，連結B1E1，AE1.四邊形 為矩形 為平行四邊形EC1/AE1 ABC為正三角形，E為AC中點，BEAC又正三棱柱底面ABC側面 BE平面 同理要證， 于是由得， 注意到 （2）從略.（3）在平面 內作 FN是CN在 上的射影， （三垂線定理） 點評：對于（1），三種證法各有千秋.證法一中連結CB1，設出 后，ACB1的中位線便呼之欲出了；證法二注意到C1E的延長線必與A1A的延長線相交，大膽“出格”，用正三棱柱之外的線段GB溝通AB1與平面BEC1的了解；證法三則審時度勢，主動“升格

11、”，先證相關的兩平面平行，而后利用面面平行定義的推論推出 .這里的三種證法為證明線面平行的主要策略.例4、已知矩形ABCD，過A作SA平面AC，再過A作AESB交SB于E，過E作EFSC交SC于F.（1）求證：AFSC；（2）若平面AEF交SD于G，求證：AGSD.分析：（1）注意到AF與SC在同一個平面內，證明AFSC首選三垂線定理逆定理.為此，從已知的線面垂直切入，從尋找它們所在平面SAC的垂線突破.（2）仿（1），從尋找平面SAD的垂線切入或突破.證明：（1）四邊形ABCD為矩形BCABSA平面ABCD，AB為SB在平面AC上的射影BCSBBC平面SABBCAE即AEBC又AESBAE平

12、面SBCEF是AF在平面SBC上的射影由SCEF得SCAF，即AFSC（2）由（1）知SC平面AEF，又AG 平面AEFSCAG，即AGSC 由題設得CDAD，CDSACD平面SADCDAG，即AGCD 于是由得AG平面SCDAGSD點評：立體幾何中垂直問題的證明，通常是從線線垂直切入，向線面垂直或面面垂直延伸.（1）的證明兩用三垂線定理或其逆定理，（2）的證明則運用了線面垂直的定義與判定定理，它們共同展示了證明垂直問題的基本策略.例5、已知P是ABC所在平面外一點，且PA平面ABC，若O、Q分別是ABC和PBC的垂心，求證：OQ平面PBC.分析：循著證明線面垂直問題的基本思路，從已知的線面垂

13、直切入，去構造有關直線的垂面.證明：連結AO并延長交BC邊于D， 連結PD.O為ABC的垂心BCAD PA平面ABCPABC又ADPA=ABC平面PADBCPD 又 Q為PBC的垂心，QPD， 又OADOQ 平面PADOQBC 再連結BO并延長交AC于H，連結BQ并延長交PC于R，則ACBH，PCBR.連結HR.PA平面ABC平面PAC平面ABC且平面PAC平面ABCAC由BHAC得BH平面PACBHPC即PCBH注意到PCBRPC平面BHR而OQ 平面BHRPCOQ于是由得OQ平面PBC點評：證明過程的前部，以BC的垂直關系為關系，以推出BCOQ為第一目標；證明過程的中部，以BH的垂直關系為

14、主線，推出BHPC后利用垂直關系的相互性轉移；證明過程的后部，則以PC的垂直關系為主線，以推出PCOQ宣告結束.證明線面之間的垂直關系或平行關系，要注意在各個階段以某一直線為主線進行推理，以使推理過程清晰、明朗.例6、在立體圖形P-ABC中，已知PA=PB，CB平面PAB，M為PC的中點，N在棱AB上，試問，當點N在棱AB的什么位置上時有MNAB？分析：對于在限定的垂直關系下確定點或直線的位置問題，一般思路是“先構造后定位”為此，首先需要立足于已知垂面，從已知的線線垂直或線面垂直入手，去尋找有關平面的新的垂線.解：作PB中點H，連接HMM為PC的中點HMBCCB平面PABMH平面PAB，在平面

15、PAB內，過點H作HNAB于N，連接MN 則ABMN（三垂線定理） 又取AB中點D，連結PDPAPB，PDAB HN/PDN為DB中點. 當點N為棱AB上靠近點B的四等分點時，有MNAB.點評：欲確定垂直于棱AB的線段MN，首先從已知條件入手，導出經(jīng)過點M的平面PAB（或ABC）的垂線，于是這一平面內垂直于AB的直線易作，解題的局面由此打開.尋找有關平面的垂線，也成為證明或求解垂直問題的突破口.五、高考真題（一）選擇題1，設 為兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，且 ，有如下的兩個命題：若 ；若 那么（ ）A、是真命題，是假命題； B、是假命題，是真命題；C、都是真命題； D、都是假命題.

16、分析：這里 .對于，若 ，則l，m可能平行，也可能異面；對于，若 則 可能垂直，也可能不垂直.故應選D.2、已知m,n是兩條不重合的直線， 是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題： 若m,n是異面直線， 其中真命題是（ ）A、和 B、和 C、和 D、和分析：由面面平行判定定理知為真命題；注意到垂直于同一個平面的兩個平面不一定平行，為假命題；顯然為假命題；由于m,n為異面直線，故可在 內確立兩條相交直線與 平行，因而為真命題.故應選D.3，設 為平面，m,n,l為直線，則m 的一個充分條件是（ ） 分析：對于選項A，由于這里的直線m不一定在 內，故不一定有m ；對于選項B，它與m 構成的命題是

17、：若兩個平面都和第三個平面垂直，則其中一個平面與第三個平面的交線垂直于另一個平面，此命題為假；對于選項C，它與m 構成的命題是：若兩個平面都和第三個平面垂直，且直線m垂直于其中一個平面，則m也垂直于另一個平面，此命題亦為假命題；排除法可知應選D.選項D與m 構成的命題是：若直線m與兩個平行平面中的一個平面垂直，那么它和另一個平面也垂直，這顯然為真命題.4、對于不重合的兩個平面 ，給定下列條件：存在平面 ，使得 都垂直于 ；存在平面 ，使得 都平行于 ； 內有不共線三點到 的距離相等；存在異面直線l,m，使得 ；其中可以判定 平行的條件有（ ）A、1個 B、2個 C、3個 D、4個分析：對于，垂

18、直于同一平面 的兩個平面 可能相交；對于，由面面平行的傳遞性可以判定 ；對于，當 相交時， 內仍可存在不共線三點到 的距離等等；對于，在m上取定點P，經(jīng)過點P在l與點P確定的平面內作l/l，則與m可確定平面 .由于 于是可知，本題應選B.（二）填空題1、已知m,n是不同的直線， 是不重合的平面，給出下列命題：若 若 若 m,n是兩條異面直線，若 上面的命題中，真命題的序號是 （寫出所有真命題的序號）分析：顯然為假命題；對于， 內的直線m,n不一定相交，故亦為假命題；對于，由題設知 為真命題；對于，由前面選擇題第4題知此為真命題.因此，答案為、.2、在正方體 中，過對角線 的一個平面交 于E，交

19、 于F，則四邊形 一定是平行四邊形；四邊形 有可能是正方形；四邊形 在底面ABCD的投影一定是正方形；平面 有可能垂直于平面 以上結論正確的為 （寫出所有正確結論的編號）分析：注意到正方體的特性，由面面平行性質定理和 ，故四邊形 為平行四邊形，正確；在這里，當 時，平行四邊形 即 為矩形，且不可能為正方形，不正確；正確；而當平面 與底面ABCD（或 ）重合時有平面 ，故正確.于是可知答案為，.（三）解答題1、如圖1，已知ABCD是上下底面邊長分別為2和6，高為 的等腰梯形，將它沿對稱軸 折成直二面角，如圖2. （1）證明： ； （2）求二面角 的大小. 分析：循著解決平面圖形折疊問題的基本思路

20、：（1）認知平面圖形中有關線段的長度與了解；（2）了解折疊前后有關線段的長度或了解的變與不變；（3）利用不變的量與不變的關系解題.在這里，由圖1知， .至此（1）易證；對于（2），由（1）知 ， ，故 ，于是可利用三垂線定理構造所求二面角的平面角.解：（1）證明：由題設知 AOB是所成的直二面角的平面角，即 ， OC是AC在平面 上的射影 又由題設得 從而 根據(jù)三垂線定理由得， .（2）解：由（1）知 ， ， 設 ，在平面AOC內過點E作EFAC于F，連結 （三垂線定理） 由題設知， 又 即所求二面角的大小為 .點評：利用原來平面圖形折疊后“不變的量”與線段間不變的垂直或平行關系，推出立體圖形

21、中 ，是證明（1）以及解答（2）的基礎與關鍵.由此可見，這類問題中認知平面圖形的重要.2、在四面體P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB .F是線段PB上一點， ，點E在線段AB上，且EFPB.（1）證明：PB平面CEF；（2）求：二面角B-CEF的大小. 分析：（1）要證PB平面CEF，只要證PB垂直于CE或CF.這一設想的實現(xiàn)與否，要看對有關三角形的特性的認知與把握.在這里， ， 故易得 BC平面PAC，BCAC等.注意到 ， ，便得PBCF，于是問題獲證.（2）由（1）知CEPB，從而CE平面PAB，CEAB，CEEF，故BEF為所求二面角的平面角.至此，解題

22、的難點得以突破.解：（1）證明：PA2+AC2=36+64=100=PC2PAC是以PAC為直角的直角三角形，同理可證：PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形。故PA平面ABC 而 故CFPB, 又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE，PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB內，過F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角。tanFEB=cotPBA= 二面角BCEF的大小為arctan 點評：條件求值或證明中的已知數(shù)據(jù)經(jīng)常具有雙重作用

23、，一是明確給出可用于計算或推理的量值，二是從中隱含有關各量之間的特殊了解.對于本題，揭露并認知有關線段的垂直關系，乃是解題取勝的關鍵環(huán)節(jié).3、如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AEEB，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE.（1）求證：AE平面BCE； （2）求二面角B-AC-E的大??；（3）求點D到平面ACE的距離. 分析：（1）注意到BF平面ACE，故AEBF.又AECB明顯，問題易證.（2）注意到四邊形ABCD為正方形，故想到連結BD交AC于G，若取AC中點為G，連結BG，則ACBG.再連結GF，只要證GFAC，便得出BGF為所求二面角的平面角.（3）注意到平面

24、ACE經(jīng)過線段BD的中點，故B、D兩點到平面ACE的距離相等.據(jù)此，在直接畫出并求解這一距離有困難時，可轉而去求點B到平面ACE的距離，或運用體積法求這一距離.解法一：（1） 平面ACE. 二面角DABE為直二面角，且 ， 平面ABE， （2）連結BD交AC于G，連結FG，正方形ABCD邊長為2，BGAC，BG= ， 平面ACE，由三垂線定理的逆定理得FGAC. 是二面角BACE的平面角.由（）AE平面BCE， AEEB，又 ，在等腰直角三角形AEB中，BE= .又 直角 ， 二面角BACE等于 （3）方法一：過點E作 交AB于點O.，OE=1.二面角DABE為直二面角，EO平面ABCD設D到

25、平面ACE的距離為h， 平面BCE， 點D到平面ACE的距離為 方法二：G為BD中點，D到平面ACE的距離等于B到平面ACE的距離.BF平面ACEBF即為點B到平面ACE的距離.又由（2）知， 所求點D到平面ACE的距離為 .解法二：（1）同解法一.（2）以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，如圖. 面BCE，BE 面BCE， ，在 的中點， 設平面AEC的一個法向量為 ，則 即 解得 令 得 是平面AEC的一個法向量.又平面BAC的一個法向量為 ，cos< , >= 二面角BACE的大小為 （3）AD/z軸，AD=2， ，點D