1、普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的。1,已知集合 M =x -4 <x <2，N =x x2 x -6 <0）,則 M D N =A. x-4<x<3B. x-4<x<2C. x -2 <x <2D. x2 <x<32 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z -i =1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x, y）,則理科數(shù)學(xué)試題 B第7頁共5頁/ 22A. (x +1 ) +y =1/ 22B. (x -1 ) + y =12, 2”C. x +(y -

2、1 ) =12, 2”D. x +(y +1 ) =13 .已知 a=log20.2, b=2°.2, c= 0.20.3,則A. a <b <cB. a <c <bC. c < a < bD. b<c<a4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是.5-125 -1-，八 一,20.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是51宴。若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比2例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是A

3、. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函數(shù)f x =sin x xcosx x2在Lrr,n】的圖象大致為kT6.我國(guó)古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化。每一 “重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“,右圖就是一重卦，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是7.8.9.A- 15611B. 1132c. 213211D.16已知非零向量右圖是求B.C.D.a,1_2 -121A =2 A1A 二1 2A1A =1 2Ab滿足a 2 2 b,且(ab)_Lb ,則a與b的夾角為()D.的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入否是記Sn為等差數(shù)列a

4、n的前n項(xiàng)和，已知S4=0, a5=5,貝UA. an =2n 52B. an=3n10C. Sn =2n -8nD.Sh4n2-2n10.已知橢圓C的焦點(diǎn)為E(T,0), F2(1,0 ),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn),AF2I = 2 F2B ,AB = BFi ,則C的方程為2x 2.A.+ y =1222x y .B. +匚=132C.D.11.關(guān)于函數(shù)f (x ) = sin x + sinx有下述四個(gè)結(jié)論:(Tlf (x )是偶函數(shù)f (x比區(qū)間l-,JT j單調(diào)遞增f (x城-兀，江有4個(gè)零點(diǎn)f (x )的最大值為A.B.C.D.12 .已知三棱錐 P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的

5、球面上，PA = PB = PC, ABC是邊長(zhǎng)為2的正三 角形，E, F分別是PA, PB的中點(diǎn)，NCEF=90，則球。的體積為A . 8 爬式B . 4。6冗C. 2。6nD.平式二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .曲線y=3(x2+x戶x在點(diǎn)(0,0 )處的切線方程為 .14 .記Sn為等比數(shù)列 Gn的前n項(xiàng)和，若ai =1, a2 =a6,則S5=.315 .甲乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”，設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)

6、果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4: 1獲勝的I率是 .22Fi , F2 ,過Fi的直線與C的兩則C的離心率為x y16. 已知雙曲線 C：。一%=1 (a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為 a b條漸近線分別交于 A, B兩點(diǎn)，若F1A = AB, F1BF2B=0,三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個(gè)試 題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17. (12分) ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a , b, c ,設(shè)(sin B-sin C 2 =sin2 A-sin Bsin

7、 C .(1)求 A ;(2)若/a+b=2c,求 sinC. 口匚_18. (12分)4如圖，直四棱柱ABCD ABGD1的底面是菱形，AA=4,AB =2 , /BAD =601 E , M , N 分別是 BC , BB1 , A1D 的中點(diǎn).(1)證明：MN /平面 C1DE ；(2)求二面角A-MA1 -N的正弦值.19. (12分)23 一已知拋物線C : y =3x的焦點(diǎn)F ,斜率為一的直線l與C的交點(diǎn)為A , B ,與x軸的交點(diǎn)為P .2(1)若AF| + BF| =4,求l的方程；(2)若 AP=3PB,求 AB .20. (12 分)已知函數(shù)f (x)=sinxln(1+x

8、), f'(x)為f(x )的導(dǎo)數(shù).證明:一 /，n)(1) f (x城區(qū)間.-1,存在唯一極大值點(diǎn)；2(2) f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21 . (12 分)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn) 方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只 施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以

9、乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 和P , 一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X .(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥試驗(yàn)開始時(shí)都賦予 4分，pi (i =0,1,|,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為 i時(shí)， 最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0, p8=1, R =aPy+ bR+cR由(i=1,2,|,7)其中 a = P(X=1), b=P(X=0), c = P(X=1).假設(shè) a =0.5, P=0.8.(i)證明：+ pi ( i =0,1,111,7 )為等比數(shù)列；(ii)求p4,并根據(jù)p

10、4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。 如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 .選彳4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)i -t2在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為4t(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 2Pcos6+T3Psin8+11=0.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最小值.23.選彳4-5：不等式選講(10分)已知a, b, c為正數(shù)，且滿足 abc = 1,證明:1 1 12 22(1) -+Ma +b +c ； a b c333(2) (a+b )

11、 +(b+c ) +(c+a )之24 .理科數(shù)學(xué)試題B 第 6 頁共 5 頁理科數(shù)學(xué)參考答案一.選擇題L C 解析:河=(-4.2).N = (2,3),Mn_V=(2.2).2, C 解析：| =一£ |=l.r-> = x +=1.3, B 解析：a = 1。/ 0.2 = log? 5 v。0= 2°，= L f=0.2": = 4, B解析：理科數(shù)學(xué)試題 B第10頁共5頁2626+x7-1 C26口* ”= 0.61S.知 42.身=占6 + x + y+105a y 十 10520.618'= 26+0.61826 + - 0.6180,

12、618* 17醺岸力）.最接近的答窠是173cm、5, D解析:十/'(-') = (k奇函癡排除a /(«) = -T>0.排除反C6. A解析:p = g =上26 16r _I”？|r|2I 27F"7 . B 解析:0g= 0. 2 i| cos9 .8 .A解析：第一次結(jié)果:T：第二次結(jié)果:一.判斷出空白框應(yīng)填月2/2-="/I222T9. A解析:易如前四項(xiàng)為一3.TLI.，4 = -3 + 2(m-1) = 2"、邑二/一4"10. B解析：鄉(xiāng)口圖3掰+加=4m = 2a.m = |>|*其| =|且行

13、卜日.對(duì)角8市兩次余弦定理.9/ a' 9/ 9M 2+ 4 +a22cos B = t= 得=3, 爐=2,二 C:H = L3a3" 3j32 2 22 211. C 解析:/（T）=媼“7卜血（-刈=如國(guó)琲111工=/（工k偶函數(shù).對(duì).I I |25111 X. X £ 0* 1f（#） = "n M+ sinx =1.一251兒工£|-肛0）作出了（I）在-4重的圖像,可知®錯(cuò).對(duì).12. D解析:設(shè)FK = PB = PC = 2,一則 CE =出在4C戶中 由 中 線定理/C? +CP- = 2(AE2CE' E?4

14、 + 4x3 = 2jt' +(3 -x2)nx2 = PC = y/l.二、填空題13, y = 3r解析:y'=3(/ +3¥+1*了 i=3,二切線方程丁 = 3t15. 0.18解析口； 二口6=a2a6i(12 L所以前5項(xiàng)為1,1,3927,則其=40 +1二'.333解析因?yàn)榧滓? :1獲勝所以只需看前5場(chǎng)，甲勝、用如主主客客主 * q y 7 7 V x V V V q a n yi q z y * v概率04x062x0.5:0.4x0 62x 0.5-0 60.52O6x03A0,0a x O.5a x (0.4+0,0 = 0.6a x

15、0 J = 0,18理科數(shù)學(xué)試題 B第11頁共5頁由題作出草圖.可知OS =。& =。3=a又WB = 4?不則bf2.aolbf. 易 證得&QX月=OCF ZAFQ = ZCF.O 二尸一值=2 a + # = 90二則 /BO叫= 60。月BOF為正三角形:，OB - c - 2o.g - - = 2.三,解答題(一)必考題17 .解：(l)(sm5-sin C)2 = sin2 Jsin B sin C, sin- B + C -siu2 =siii BsinC. 由正弦定理得力? + J -二加， 由余弦定理得.c皿/二_十：. =1/ = £.2be 23

16、(2) J1 + b = 2c ,由正弦定理得.W kin 月 + sin B - >/1 5in+X eas C + coi / sin C = 2 sill C代入，得 rc口與 C- (Gin£ =即 8£7 + £) =223218 .解：(純空間向量做法)建立如圖空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn)N在底面投影為點(diǎn)E 證明:易知M (2.0,2),F(-.0).N(-,立.2 22 2癡* 0).麗= (3,_g.O), ，二JJ,加屈在z軸上坐標(biāo)都是0,且(-3 當(dāng)(" 一 人 人MNDE.MN 仁平面CQE.二 MN L 平面GDE理科數(shù)學(xué)試題B第14

17、頁共5頁(2)4(0.0.4), M4；=(-工0設(shè)平面MN的法向量為總=(>.外辦MAl = 0加F=03 yfi2工42尸一°.取工=1.得其中一個(gè)月=。."工-2x + 2z = 0易知平面4必4的一個(gè)法向量為m二(6 L 0).所以二面角X-M4-N的正弦值為巫.19.解；設(shè)，;y二一工十兒月(和兇卜鳳勺,乃),3q"=333 1)工 + 6二=0,g + 勺=,(-34(1-6)3.AF + BF 二五 十馬 十一三+ = 4,6 =-17Q7。,力的方程為 ,=：工-(y-xb 1 72，一 y工一 y+Z)= 0.必十=2.yxy2 = 2bf

18、為=3.% = L由HP - 3PR得V = 3%.聯(lián)立上式得方=，二 ABI 4AAM 丁20.證明:尸"-占/=-加工+在戶三鄉(xiāng),r(o)=i>o,2一2 。+vO.，存在飛H0，1）使尸（與） = 0.X（-也）3（向百十0小）/極大值所以尸（工）在區(qū)間（T.g）存在唯一極大值自JTJF(2)y(_) = 11o(1h) > 0./( 1) = sin(e1)1 < 0, 22二存在七E1"(均)=。y =】"（1十#產(chǎn)當(dāng)一 1 <x< 0 叱，= com i cOJ(h)嗦藏.X/(0i = 0.1 + r.« /(

19、J) > 0,2。當(dāng)0 < 工 < 茗時(shí)，疝1 x > ln(l + x),/. f(x) > 0.3。當(dāng)天<x<< /(Xlnfl + r) >/(玉)，, f(x) < 0?4°當(dāng)工>2靄時(shí).sin戈WLlnl+r1 > hi= 1 /. f(x) < 0.季上/(外有且僅有2個(gè)零忌理科數(shù)學(xué)試題B第13頁共5頁2L解：生f =。-儀）#蹲=。-#）a.勺研=Q -儀）（1 - £）十小所以X的分布列為：X-101P產(chǎn)-3Zap-a-pa-afi（2）證明d=04 b=0$ c = 0Af 則5凡=4p_ip用H = 1.2.7）.Pm一凡二4（g -Pt> 1 = 1.2.，、7：上41一巴二4R - Pr '，一.一凡G = 0,L為等比數(shù)列.一）泄一 R =（A 一網(wǎng)）聞=m 4'Ps =（P& -P*）O?P0+31 一尸。）=（1 +4 + -, + 47）pi=11_ 1-43 1 + 4:+ 4, -1-4b 4s-l'P4 =（四P。十（aP