1、Ch2 插值法插值法/* Interpolation */當(dāng)精確函數(shù)當(dāng)精確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn)系列節(jié)點(diǎn) x0 xn 處測(cè)得函數(shù)值處測(cè)得函數(shù)值 y0 = f(x0), yn = f(xn)，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)數(shù) g(x) f(x)，滿足條件，滿足條件g(xi) = f(xi) (i = 0, n)。這里的。這里的 g(x) 稱為稱為f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù)。最常。最常用的插值函數(shù)是用的插值函數(shù)是 ?多項(xiàng)式多項(xiàng)式x0 x1x2x3x4xg(x) f(x)1 拉格朗日多項(xiàng)式拉格朗日多項(xiàng)式 /* L

2、agrange Polynomial */niyxPiin,., 0,)(= = =求求 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 使得使得nnnxaxaaxP = =10)(條件：條件：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即jixx ji n = 1已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求，求xaaxP101)( = =使得使得111001)(,)(yxPyxP= = =可見(jiàn)可見(jiàn) P1(x) 是過(guò)是過(guò) ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點(diǎn)的直線。兩點(diǎn)的直線。)()(0010101xxxxyyyxP- - - - = =101xxxx- - -010 xxxx- - -= y0 + y1l0(

3、x)l1(x) = = =10)(iiiyxl稱為稱為拉氏基函數(shù)拉氏基函數(shù) /* Lagrange Basis */，滿足條件滿足條件 li(xj)= ij /* Kronecker Delta */1 Lagrange Polynomialn 1希望找到希望找到li(x)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)= ij ；然后令；然后令 = = =niiinyxlxP0)()(，則顯然有，則顯然有Pn(xi) = yi 。li(x)每個(gè)每個(gè) li 有有 n 個(gè)根個(gè)根 x0 xi xn = =- -= =- - - -= =njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)().()

4、.()( - -= = =j i jiiiixxCxl)(11)(= = - - -= =njijjijixxxxxl0)()()( = = =niiinyxlxL0)()(Lagrange Polynomial與與 有關(guān)，而與有關(guān)，而與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)f1 Lagrange Polynomial定理定理 (唯一性唯一性) 滿足滿足 的的 n 階插值多階插值多項(xiàng)式是唯一存在的。項(xiàng)式是唯一存在的。niyxPii,., 0,)(= = =證明：證明：反證：若不唯一，則除了反證：若不唯一，則除了Ln(x) 外還有另一外還有另一 n 階多項(xiàng)階多項(xiàng)式式 Pn(x) 滿足滿足 Pn(xi) = yi 。

5、考察考察 則則 Qn 的階數(shù)的階數(shù), )()()(xLxPxQnnn- -= = n而而 Qn 有有 個(gè)不同的根個(gè)不同的根n + 1x0 xn注：注：若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ，則插值多項(xiàng)式，則插值多項(xiàng)式不唯一不唯一。例如例如 也是一個(gè)插值也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中多項(xiàng)式，其中 可以是任意多項(xiàng)式?？梢允侨我舛囗?xiàng)式。= =- - = =niinxxxpxLxP0)()()()()(xp000 1 201( ), , , , ( ),( )mnmmkkknkkf xxmnx lxxmlx=推論：推論：令得到令得到取取1 Lagrange Polynomial 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)

6、 /* Remainder */設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn))1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 考察截?cái)嗾`差考察截?cái)嗾`差)()()(xLxfxRnn- -= =, baCfn bxxxan 10，且，且 f 滿足條件滿足條件 ,Rolles Theorem: 若若 充分光滑，充分光滑， ，則，則存在存在 使得使得 。)(x 0)()(10= = =xx ),(10 xx 0)(= = 推廣：推廣：若若0)()()(210= = = =xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10= = = = ),(10 使得使得0)(= = ),(, 0)()1(baxxn = = 0)()(0=

7、 = = =nxx 1 Lagrange PolynomialRn(x) 至少有至少有 個(gè)根個(gè)根n+1 = =- -= =niinxxxKxR0)()()(任意固定任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察考察 = =- - -= =niixtxKtRnt0)()()()( (x)有有 n+2 個(gè)不同的根個(gè)不同的根 x0 xn x),(, 0)()1(baxxn = = !)1()()()1(-nxKRxnn 注意這里是對(duì)注意這里是對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)= = - - - !)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1( = = nfxKxn = = - - =

8、=niixnnxxnfxR0)1()(! ) 1()()( 1 Lagrange Polynomial注：注： 通常不能確定通常不能確定 x , 而是估計(jì)而是估計(jì) , x (a,b) 將將 作為誤差估計(jì)上限。作為誤差估計(jì)上限。1)1()( nnMxf= = - - niinxxnM01|)!1(當(dāng)當(dāng) f(x) 為任一個(gè)次數(shù)為任一個(gè)次數(shù) n 的的多項(xiàng)式多項(xiàng)式時(shí)，時(shí)， , 可知可知 ，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù) n 的的多項(xiàng)多項(xiàng)式是式是精確精確的。的。0)()1( xfn0)( xRn1 Lagrange Polynomial例：例：已知已知233sin,214sin,216sin

9、= = = = 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計(jì)算插值計(jì)算 sin 50 并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。 解：解：0 x1x2x185500 =n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計(jì)算計(jì)算4,610 =xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 - - - - - -= = xxxL這里這里)3,6(,sin)(,sin)()2( - -= = =xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 - - -= = xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01- - - - Rsin 50

10、= 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 /* extrapolation */ 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 - -0.010010.010013,421 = = =xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R內(nèi)插內(nèi)插 /* interpolation */ 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 0.005960.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的要計(jì)算的 x 所在的區(qū)間的所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。端點(diǎn)，插值效果較好。1 Lagrange Polynomialn = 223)()(21)()(21)()()

11、(4363463464363646342 - - - - - - - - - - - - - - -= = xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 - - - - -= =xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實(shí)際誤差次插值的實(shí)際誤差 0.000610.00061高次插值通常優(yōu)于高次插值通常優(yōu)于低次插值低次插值但絕對(duì)不是次數(shù)越但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好，嘿高就越好，嘿嘿嘿 When you start writing the program, you will

12、 find how easy it is to calculate the Lagrange polynomial.Oh yeah? What if I find the current interpolation not accurate enough? Then you might want to take more interpolating points into account.Right. Then all the Lagrange basis, li(x), will have to be re-calculated. Excellent point !We will come

13、to discuss this problemnext time.2 牛頓插值牛頓插值 /* Newtons Interpolation */Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)全部基函數(shù) li(x) 都需重新算過(guò)。都需重新算過(guò)。的形式，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，的形式，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，將將 Ln(x) 改寫(xiě)成改寫(xiě)成.)()(102010 - - - - - xxxxaxxaa).(10- - - - nnxxxxa只附加一項(xiàng)只附加一項(xiàng)上去即可。上去即可。? 差商差商( (亦稱均差亦稱均差) ) /* divided differe

14、nce */),()()(,jijijijixxjixxxfxfxxf - - -= =1階差商階差商 /* the 1st divided difference of f w.r.t. xi and xj */)(,kixxxxfxxfxxxfkikjjikji - - -= =2階差商階差商2 Newtons Interpolation11101010111010,.,.,.,.,., - - - - - -= =- - -= =kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)階差商：階差商： = = = =kiikikxxfxxf010)()(,., 事實(shí)上

15、事實(shí)上其中其中,)()(01= = - -= =kiikxxx = = - -= = kijjjiikxxx01)()( Warning: my head is explodingWhat is the point of this formula?差商的值與差商的值與 xi 的順序無(wú)關(guān)！的順序無(wú)關(guān)！2 Newtons Interpolation 牛頓插值牛頓插值 /* Newtons Interpolation */,)()()(000 xxfxxxfxf- - = =,)(,101100 xxxfxxxxfxxf- - = =,.,)(,.,.,0010nnnnxxxfxxxxfxxxf-

16、- = =- -).(.)()()(10102010- - - - - - - - - = =nnnxxxxaxxxxaxxaaxN12 n- -11+ (x - - x0) 2+ + (x - - x0)(x - - xn- -1) n- -1.)(,)(,)()(102100100 - - - - - = =xxxxxxxfxxxxfxfxf).(,.,100- - - - nnxxxxxxf)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf- - - - - -Nn(x)Rn(x)ai = f x0, , xi 2 Newtons Interpolation注：注： 由由唯一性可知唯一性可

17、知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其只是算法不同，故其余項(xiàng)也相同，即余項(xiàng)也相同，即)(!)1()()(,.,1)1(10 xnfxxxxfkxnkn = = ),(,!)(,.,maxmin)(0 xxkfxxfkk = = 實(shí)際計(jì)算過(guò)程為實(shí)際計(jì)算過(guò)程為f (x0)f (x1)f (x2)f (xn- -1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f xn- -1, xnf x0, x1 , x2 f xn- -2, xn- -1, xnf x0, , xn f (xn+1) f xn, xn+1 f xn- -1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, ,

18、 xn+1 例例4 4 給出函數(shù)給出函數(shù)y=y= (x)(x)的函數(shù)表的函數(shù)表 解解 差商表如下差商表如下i i0 01 12 23 3x xi i-2-2-1-11 12 2 (x(xi i) )5 53 317172121寫(xiě)出函數(shù)寫(xiě)出函數(shù)y=y= (x)(x)的差商表的差商表. .i ix xi i(x(xi i) )一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商0 01 12 23 3-2-2-1-11 12 25 53 317172121-2-27 74 43 3-1-1-1-1 解解 由例由例4 4的差商表知的差商表知 xx0 0,x,x1 1=-2,=-2, xx0 0,x,x1

19、 1,x,x2 2=3, =3, xx0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,x3 3=-1,=-1,于是有于是有 N1(x)=5-2(x+2)=1-2x N2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7 N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9例例5 5： 對(duì)例對(duì)例4 4中的中的 (x),(x),求節(jié)點(diǎn)為求節(jié)點(diǎn)為x x0 0,x,x1 1的一次插值的一次插值x x0 0,x,x1 1, x, x2 2的二次插的二次插值和值和x x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,x3 3的三次插值多項(xiàng)式的三次插值多項(xiàng)式. .3 厄米插值厄米插值

20、 /* Hermite Interpolation */不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)也重合。也重合。即：要求插值函數(shù)即：要求插值函數(shù) (x) 滿足滿足 (xi) = f (xi), (xi) = f (xi), (m) (xi) = f (m) (xi).注：注： N 個(gè)條件可以確定個(gè)條件可以確定 階多項(xiàng)式。階多項(xiàng)式。N - - 1要求在要求在1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) x0 處直到處直到m0 階導(dǎo)數(shù)都重合的插階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項(xiàng)式即為值多項(xiàng)式即為Taylor多項(xiàng)式多項(xiàng)式00)(!)(.)()()(000)(000mmxxmxfxxxfxfx- - - -

21、 = = 其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為)1(00)1(00)()!1()()()()(-=-=mmxxmfxxfxR 一般只考慮一般只考慮 f 與與f 的值。的值。3 Hermite Interpolation例：例：設(shè)設(shè) x0 x1 x2, 已知已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和和 f (x1), 求多項(xiàng)式求多項(xiàng)式 P(x) 滿足滿足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且且 P(x1) = f (x1), 并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。模仿模仿 Lagrange 多項(xiàng)式的思想，設(shè)多項(xiàng)式的思想，設(shè)解：解：首先，首先，P 的階數(shù)的階數(shù) = 3=213)()()()()(=0iii

22、xhx1f xhxfxP h0(x)有根有根x1, x2，且且 h0(x1) = 0 x1 是重根。是重根。)()()(22100 xxxxCxh- - -= =又又: h0(x0) = 1 C0 )()()()()(202102210 xxxxxxxxxh- - - - -= =h2(x)h1(x)有根有根 x0, x2 )()()(201xxxxBAxxh- - - = =由余下條件由余下條件 h1(x1) = 1 和和 h1(x1) = 0 可解?？山狻Ｅc與h0(x) 完全類似。完全類似。 (x) h1有根有根 x0, x1, x2 h1)()()(2101xxxxxxCx- - - -

23、= = h1又又: (x1) = 1 C1 可解?？山?。其中其中 hi(xj) = ij , hi(x1) = 0, (xi) = 0, (x1) = 1 h1 h1),()()()()()(221033xxxxxxxKxPxfxR- - - -= =- -= =!4)()()4(xfxK = =與與 Lagrange 分析分析完全類似完全類似3 Hermite Interpolation一般地，已知一般地，已知 x0 , , xn 處有處有 y0 , , yn 和和 y0 , , yn ，求，求 H2n+1(x) 滿足滿足 H2n+1(xi) = yi ， H2n+1(xi) = yi。解：

24、解：設(shè)設(shè)=ni)()()(=0iixhxhyixH2n+1 n=0iyi其中其中 hi(xj) = ij , hi(xj) = 0, (xj) = 0, (xj) = ij hi hihi(x)有根有根 x0 , , xi , , xn且都是且都是2重根重根 )()()(2xlBxAxhiiii = = - - -= =ijjijixxxxxl)()()(由余下條件由余下條件 hi(xi) = 1 和和 hi(xi) = 0 可解可解Ai 和和 Bi )()(21 )(2xlxxxlxhiiiii- - - -= = (x) hi有根有根 x0 , , xn, 除了除了xi 外都是外都是2重根

25、重根 hi)()(iili2(x)xxCx- -= = hi又又: (xi) = 1 Ci = 1 hi)(x)(ili2(x)xx- -= =設(shè)設(shè),.210baCfbxxxann = = = =則則20)22()()!22()()( - - = = = niixnnxxnfxR 這樣的這樣的Hermite 插值唯插值唯一一3 Hermite InterpolationQuiz: 給定給定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪個(gè)是下面哪個(gè)是 h2(x)的圖像？的圖像？ x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率斜率=1 求求Hermite多

26、項(xiàng)式的基本步驟：多項(xiàng)式的基本步驟： 寫(xiě)出相應(yīng)于條件的寫(xiě)出相應(yīng)于條件的hi(x)、 hi(x) 的組合形式；的組合形式； 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè)hi(x)、 hi(x) 找出盡可能多的條件給出的根；找出盡可能多的條件給出的根； 根據(jù)多項(xiàng)式的總階數(shù)和根的個(gè)數(shù)寫(xiě)出表達(dá)式；根據(jù)多項(xiàng)式的總階數(shù)和根的個(gè)數(shù)寫(xiě)出表達(dá)式； 根據(jù)尚未利用的條件解出表達(dá)式中的待定系數(shù)；根據(jù)尚未利用的條件解出表達(dá)式中的待定系數(shù)； 最后完整寫(xiě)出最后完整寫(xiě)出H(x)。4 分段低次插值分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */Remember what I have said? Increas

27、ing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are oscillating.例：例：在在- -5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf=),., 0(105niinxi= = - -= = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱為越大，稱為Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象Ln(x) f (x) 分段分段低次低次

28、插值插值4 Piecewise Polynomial Approximation 分段線性插值分段線性插值 /* piecewise linear interpolation */在每個(gè)區(qū)間在每個(gè)區(qū)間 上，用上，用1階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 (直線直線) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( - - - - - -= = iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf,for 1 iixxx記記 ，易證：當(dāng)，易證：當(dāng) 時(shí)，時(shí)，|max1iixxh- -= = 0h)()(1xfxPh一致一致失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。 若若 (x)(x) C C2 2a,b,a,b,則

29、當(dāng)則當(dāng)x x xxi-1i-1,x,xi i 時(shí)時(shí), ,有有)(! 2)()()(11iiixxxxfxPxf- =-若記若記, , ,對(duì)任一對(duì)任一x x a,ba,b都有都有|max,| )(|max12inibxahhxfM= =2218| )()(|hMxPxf-4 Piecewise Polynomial Approximation 分段分段HermiteHermite插值插值 / /* * Hermite piecewise polynomials Hermite piecewise polynomials * */ /給定給定nnnyyyyxx ,.,;,.,;,.,000在在 上

30、利用兩點(diǎn)的上利用兩點(diǎn)的 y 及及 y 構(gòu)造構(gòu)造3次次Hermite函數(shù)函數(shù),1 iixx導(dǎo)數(shù)一般不易得到。導(dǎo)數(shù)一般不易得到。How can we make a smooth interpolation without asking too much from f ?Headache 5 三次樣條三次樣條 /* Cubic Spline */定義定義設(shè)設(shè) 。三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù) , 且在每個(gè)且在每個(gè) 上為上為三次多項(xiàng)式三次多項(xiàng)式 /* cubic polynomial */。若它同。若它同時(shí)還滿足時(shí)還滿足 ，則稱為，則稱為 f 的的三次樣條插值函三次樣條插值函數(shù)數(shù) /* cubic spli

31、ne interpolant */.bxxxan= = = =.10,)(2baCxS ,1 iixx),., 0(),()(nixfxSii= = =注：注：三次樣條與分段三次樣條與分段 Hermite 插值的根本區(qū)別在于插值的根本區(qū)別在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的導(dǎo)數(shù)值（除了在的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而要）；而Hermite插值依賴于插值依賴于f 在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)5 Cubic Spline 構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的三彎矩法三彎矩法 /* method of ben

32、ding moment */在在 上，記上，記,1jjxx- -,1- - -= =jjjxxh,for )()(1jjjxxxxSxS- - = =對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)j, 此為此為3次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式則則 Sj”(x) 為為 次多項(xiàng)式，需次多項(xiàng)式，需 個(gè)點(diǎn)的值確定之。個(gè)點(diǎn)的值確定之。12設(shè)設(shè) Sj”(xj- -1) = Mj- -1， Sj”(xj) = Mj 對(duì)應(yīng)力學(xué)中的對(duì)應(yīng)力學(xué)中的梁彎矩梁彎矩，故名，故名對(duì)于對(duì)于x xj- -1, xj 可可得到得到Sj”(x) =jjjjjjhxxMhxxM11- - - - - -積分積分2次，可得次，可得 Sj(x) 和和 Sj(x) ：jjjjjjjAh

33、xxMhxxM - - - - - - - -2)(2)(21121Sj(x) =jjjjjjjjBxAhxxMhxxM - - - - - -6)(6)(3131Sj(x) =利用已知利用已知Sj(xj- -1) = yj- -1 Sj(xj) = yj 可解可解5 Cubic SplinejjjjjjjhMMhyyA611- - - - - -= =jjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyBxA12211)6()6(- - - - - - - - -= = 下面解決下面解決 Mj ： 利用利用S 在在 xj 的的連續(xù)連續(xù)性性xj- -1, xj : Sj(x) =jjjjjjjjj

34、jjhMMxxfhxxMhxxM6,2)(2)(112121- - - - - - - - - - - -1111211216,2)(2)( - - - - - - - -jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxMxj , xj+1: Sj+1(x) =利用利用Sj(xj) = Sj+1(xj)，合并關(guān)于，合并關(guān)于Mj- -1、 Mj、 Mj+1的同類項(xiàng)，的同類項(xiàng)，并記并記 , , , 整整理后得到：理后得到：11jjjjhhh=l l1jj-=l lm m),(6111jjjjjjjxxfxxfhhg-=211gMMMjjjjjj=-l lm m j 1n- -1即：有即：有 個(gè)未知

35、數(shù)，個(gè)未知數(shù)， 個(gè)方程。個(gè)方程。n- -1n+1 = = - - - -110111122nnnnggMMl lm ml lm m還需還需2個(gè)個(gè)邊界條件邊界條件 /* boundary conditions */5 Cubic Spline 第第1類邊條件類邊條件 /* clamped boundary */： S(a) = y0， S(b) = yna , x1 : S1(x) =1011012112106,2)(2)(hMMxxfhaxMhxxM- - - - - - - -010110),(62gy0 xxfhMM= =- -= = nnnnnngxxfynhMM= =- -= = - - -),(6211類似地利用類似地利用 xn-