1、1 / 50數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第二章（）（年月日）學(xué)校共名學(xué)生，人住在宿舍，人住在宿舍，人住在宿舍學(xué)生們要組織一個人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴賃軔朧。（）.按比例分配取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者;（）.中的值方法；（）方法：將、各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)，相除，其商數(shù)如下表：將所得商數(shù)從大到小取前個 （為席位數(shù)），在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中、行有橫線的數(shù)分別為，, 這就是個宿舍分配的席位 你能解釋這種方法的道理嗎？聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈禍測樅。如果委員會從個人增至人，用以上種方法再分配名額，將種方法兩次分配的結(jié)果列表比較解：先考慮的分配方案，3p-i

2、=235, p2=333, p3= 432, pi=1000.i二方法一（按比例分配）p1Np2Np3Nqi2.35, q2導(dǎo)3.33, q3異4.32 Pi pi 卩i 1i =1i =1分配結(jié)果為：n1= 3, n2=3, n3= 4方法二（值方法）個席位的分配結(jié)果（可用按比例分配）為：第個席位：計算值為Q3最大，第個席位應(yīng)給.分配結(jié)果為n-=2, n2=3, n3=5方法三（方法）此方法的分配結(jié)果為：m = 2, n2=3, n3= 523522 3= 9204.17, Q233323 4= 9240.7543224 5二9331.2、宿舍）.B 是每席位代表的人2 / 50此方法的道理

3、是：記pi和ni為各宿舍的人數(shù)和席位（代表、數(shù)，取m =1,2,，從而得到的 匕 中選較大者，可使對所有的盡量接近殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟婭驟東。再考慮N =15的分配方案，類似地可得名額分配結(jié)果現(xiàn)將種方法兩次分配的結(jié)果列表 如下：宿舍()()()()()()總計試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)與轉(zhuǎn)過時間的數(shù)學(xué)模型解：設(shè)錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為時，錄像帶轉(zhuǎn)過時間為其模型的假設(shè)見課本考慮t到tt時間內(nèi)錄像帶纏繞在右輪盤上的長度，可得vdt =(r wkn)2二kdn,兩邊積tn分，得ovdt =2：k o(r wkn)dn22兀rk兀wk2tnn .vv第二章()(年月日)速度為v的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為s

4、的風(fēng)車上，空氣密度是T，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲 得的功率P與v、P的關(guān)系釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐顧葒鈀。解:設(shè)P、v、P的關(guān)系為f(P,v,s,P) = 0,其量綱表達(dá)式為ML2T二vLTJ,sL2,門ML,這里L(fēng), M ,T是基本量綱量綱矩陣為：212-3 (L)1001 (M)-3 -1 00(T)(P) (v) (s)(齊次線性方程組為：2y1y22y3-3y0Jy y41一3% y?=0它的基本解為y=(-1,3,1,1)由量綱Pi定理得 二二Pvs11,P = v3s1,其中是無量綱常數(shù).雨滴的速度v與空氣密度粘滯系數(shù)和重力加速度g有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是:3 / 50運動物體在流體

5、中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)， 用量綱分析方法給出速度v的表達(dá)式彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡詒爾膚。解：設(shè)v,p,4,g的關(guān)系為f（vppg）.其量綱表達(dá)式為v ,P，屮（-1L ）-1L,g, 其中，是基本量綱謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔點鉍雜。量綱矩陣為1-3-11 1(L)0110(M)廠10-1-2 _仃）(v)(P)（門(g)齊次線性方程組，即-3y2-y3 + y =0t y2+y3=0-y3-2y4=0的基本解為（）由量綱R定理 得黒 rvTJg.Jg，其中是無量綱常數(shù)Y p*.雨滴的速度v與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸 和重力加速度g有關(guān), 系數(shù)的定義是：運

6、動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比， 數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度v的表達(dá)式廈礴懇蹣駢時盡繼價騷巹癩龔。解：設(shè)v,r，,g的關(guān)系為f（v, ,jg）=O其量綱表達(dá)式為 v, P, 4（ -1L） -1L, Y , g 煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚鍍齊鈞其中，是基本量綱量綱矩陣為_11-3_11 1(L)00110(M)00_1-2j(T)(v)(?) (岸）(g)齊次線性方程組即+ y2-3丫3一丫4+y5=0*y3+ y4=0-y1 - y4 -2y5=0的基本解為1 1yi=(1,匚,。,。,-？)31y2=(0,-2T,1,-彳其中粘滯比例系4 / 50得到兩個相互

7、獨立的無量綱量= vY/2g/2TL 2 =嚴(yán)/卩/2即v*Fg二1,3/2中1/2一由叮（：1,二2）=0，得二W：）二（擴(kuò)/2Pg1/2），其中 是未定函數(shù).考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，并設(shè)阻力與擺的速度成正比給出周期的表達(dá)式，然后討論物理模擬的比例模型， 即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期鵝婭盡損鶴慘歷蘢鴛賴縈詰聾。解：設(shè)阻尼擺周期t,擺長I,質(zhì)量m，重力加速度g，阻力系數(shù)k的關(guān)系為f（t,l,m,g,k） =0其量綱表達(dá)式為：0 00 0000 _2丄_2t=LM T,I=LM T ,m=LMT ,g=LM T ,k二fv= MLT （LT ）二L0MT二，其中L，M，

8、T是基本量綱 量綱矩陣為0 1010 (L)0 0 101 (M)10 0-2 -1(T)(t) (I) (m) (g) (k)齊次線性方程組 y2 +y4 = 0“y3 + y5 = 012y4y5 =0的基本解為1 1Y1=(1,一2,0,?,0)1 1丫2=(0,2T尹 得到兩個相互獨立的無量綱量-4/21/2tlg=6.1/2-4-4/2.仃J m gk =兀2kl1/21/2mgJI二15 / 50考慮物理模擬的比例模型，設(shè)g和k不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質(zhì)量分別為t,t；l,l；m,m.又t1(k17T) g mg數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第三章(年月日)在節(jié)存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量證 明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來的一樣， 而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都 比原來結(jié)果減少.籟叢媽羥為贍債蟶練淨(jìng)櫧撻曉。解：設(shè)購買單位重量貨物的費用為k,其它假設(shè)及符號約定同課本.10對于不允許缺貨模型，每天平均費用為:c1c2rTC小kr與不考慮購貨費的結(jié)果比較，T、Q的最優(yōu)結(jié)果沒有變20對于允許缺貨模型，每天平均費用為：C(T,Q)=丄|