1、奧 妙 的 二 次 冪 等 式 通 解（ 2006 年 ）【摘要】 本文通過(guò)探索勾股弦數(shù)公式的求解方法，升冪項(xiàng)完全平方法，近而由此方法給出二次冪等式無(wú)窮多個(gè)，從而揭開(kāi)千古迷茫且奇妙美麗的二次冪等式神秘面紗?！娟P(guān)鍵詞】 勾股弦數(shù)公式 二次冪等式公式 升冪項(xiàng)完全平方法1.奇妙的數(shù)字等式1.1.有趣味的數(shù)字等式在相當(dāng)多的數(shù)學(xué)資料中，經(jīng)常出現(xiàn)一些令人稱(chēng)奇的各種各樣的數(shù)字等式，這是科學(xué)輝煌的成就，也是人類(lèi)智力的結(jié)晶，又是文明趣味的游戲，還是欣賞美感的享受。比如：12 + 5 2 + 6 2 = 2 2 + 3 2 + 7 21943 2 + 2868 2 + 3787 2 = 1945 2 + 2864

2、 2 + 3789 26 3 = 5 3 + 4 3 + 3 3 4224814 = 95800 4 + 217519 4 + 414560 41445 = 27 5 + 845 +110 5 +133 5 1141 6 = 76 6 + 234 6 + 402 6 + 474 6 + 702 6 + 894 6 + 1077 6等等。但是，這些數(shù)字等式一般都是憑著興趣和好奇反復(fù)艱難的試算出來(lái)的，很少有求解公式。1.2. 升冪項(xiàng)完全平方法求解勾股弦數(shù)公式在這些千奇百怪的數(shù)字等式中，最重要的應(yīng)是二次冪等式。而二次冪等式中首推的就是“勾股弦數(shù)”等式：a 2 = b 2 + c 2。被譽(yù)為“代數(shù)學(xué)鼻

3、祖”的古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖，他發(fā)現(xiàn)了全部勾股數(shù)組的公式是a = 2mn，y = m2 - n2，z = m2 + n2，其中m、n（m > n）是互質(zhì)且一奇一偶的任意正整數(shù)。據(jù)有資料說(shuō)：“丟番圖究竟是如何得到這組式子的，人們無(wú)從知曉?！币簿褪钦f(shuō)這個(gè)求解“勾股弦數(shù)”公式是怎么得到的千百年來(lái)卻是一個(gè)迷。其它類(lèi)型的二次冪等式所見(jiàn)奇少，因?yàn)樯願(yuàn)W難得，更無(wú)公式可求了。我們現(xiàn)在要探究的“二次冪等式”通解問(wèn)題，是要求索它們的一般規(guī)律性，即要得到幾個(gè)二次冪之和等于另幾個(gè)二次冪之和的實(shí)質(zhì)關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)它們的求解公式。當(dāng)然這是一種純數(shù)學(xué)的思考，發(fā)掘抽象的美感，為我們學(xué)術(shù)空間增加點(diǎn)活躍的趣味。千古迷茫而奇妙的二

4、次冪等式，如何揭開(kāi)她神秘的面紗，使之展現(xiàn)美麗的風(fēng)采，給人世間一個(gè)意外的驚喜。這個(gè)問(wèn)題當(dāng)然還要從“勾股弦數(shù)”公式為切入點(diǎn)。現(xiàn)在如果要知道這個(gè)“勾股數(shù)組公式”應(yīng)該是怎么求得的，不妨展開(kāi)這個(gè)公式：（m2 + n2）2 =（m2 - n2）2 +（2mn）2 = m4 2m2n2 + n4 + 4m2n2= m4 + 2m2n2 + n4 =（m2 + n2）2于是發(fā)現(xiàn)，勾股弦數(shù)公式與二項(xiàng)和平方式有關(guān)。再試算一下，由二個(gè)非平方項(xiàng)之和的平方式展開(kāi)得：（d1 + d2）2 = d12 + 2d1d2 + d22 = d12 + 2d1d2 + d22 + 2d1d2 - 2d1d2 =（d1 d2）2 +

5、 4d1d2如果使4d1d2生成平方項(xiàng)，不就解決了么！令：d1 = a12、d2 = a22為完全平方項(xiàng)，所以得： （a12 + a22）2 =（a12 a22）+（2a1a2）2或由二個(gè)非平方項(xiàng)之差的平方式展開(kāi)得：（d1 - d2）2 = d12 - 2d1d2 + d22 = d12 - 2d1d2 + d22 + 2d1d2 - 2d1d2 =（d1 + d2）2 - 4d1d2同樣使4d1d2生成平方項(xiàng)，令d1 = a12、d2 = a22，所以得： （a12 - a22）2 =（a12 +a22）-（2a1a2）2（a12 a22）+（2a1a2）2 =（a12 + a22）2這樣，

6、“丟番圖究竟是如何得到這組式子的，人們無(wú)從知曉”，由此便知曉了。于是推斷，利用多項(xiàng)和（或差）平方式能夠求得更多的二次冪等式。設(shè)正整數(shù)二次冪等式通項(xiàng)公式為： Q n2 = q m2 （n 1，m n，為正整數(shù)）這里的n是無(wú)限項(xiàng)數(shù)中當(dāng)先確定項(xiàng)數(shù)的二次冪之和，m則是相應(yīng)另一些不確定項(xiàng)數(shù)乃至無(wú)限項(xiàng)數(shù)的二次冪之和。首先由具體實(shí)例的演算來(lái)求索Q n2 = q m2的規(guī)律。2.升冪項(xiàng)完全平方求解二次冪等式公式2.1.二項(xiàng)式完全平方展開(kāi)項(xiàng)完全升冪法2.1.1.當(dāng)n = 1、m 3時(shí)把一個(gè)多項(xiàng)和（或差）的平方式以二項(xiàng)平方式的形式展開(kāi)項(xiàng)求得二次冪等式，可稱(chēng)“二項(xiàng)式法”。當(dāng)n = 1、m 3時(shí)，一個(gè)數(shù)的平方等于若干

7、個(gè)數(shù)平方的和，只能由多項(xiàng)和平方式展開(kāi)項(xiàng)求得二次冪等式，“多項(xiàng)和平方式”是指（d1 +d2 + d k）2，因?yàn)橐远?xiàng)式的形式展開(kāi)，即是d1 +（d2 + d k）2這樣的二項(xiàng)和平方式，展開(kāi)項(xiàng)數(shù)是 k + 1 項(xiàng)，即有m = k + 1，所以k = m 1。n = 1，m = 3Q12 = q12 + q 22 + q 32I：（d1 + d2）2 = d1 2 + d22 + 2d1d2使2d1d2轉(zhuǎn)化升成完全平方項(xiàng)即可得到二次冪等式。所謂“升成完全平方項(xiàng)法”是指將一個(gè)代數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為另一種完全平方形式的代數(shù)項(xiàng)。如令d1 = 2 a12、d2 = a22有2d1d2 =（2a1a2）2則得I1：（

8、2a12 + a22）2 =（2a1 2）2 +（a2 2）2 +（2a1a2）2這里使d1 = a12、 d2 = 2a22也可以求得另一個(gè)公式I2，但是I1、I2只是形式上的不同實(shí)質(zhì)是相同的公式，稱(chēng)其為“等價(jià)公式”。以I1公式計(jì)算的平方冪等式：9 2 = 12 + 4 2 + 8 2 1243 2 = 361 2 + 798 2 + 882 2 n = 1，m = 4 Q12 = q12 + q 22 + q 32 + q42I：（d1+ d2 + d3）2 = d12 + 2d1d2 + 2d1d3 +（d2 + d3）2使2d1d2、2d1d3升成完全平方項(xiàng)，令d1 = 2 a12、d

9、2 = a22、d3 = a32或d1 = a12、d2 = 2 a22、d3 = 2a32有I1：（2a12 + a22 +a32）2 =（2a1 2）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（ a22 + a32）2I2：（a12 + 2a22 +2a32）2 =（a1 2）2 +（ 2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（ 2a22 +2a32）2這時(shí)I1、I2是不同的公式，稱(chēng)謂“非等價(jià)公式”。但是，在等式計(jì)算時(shí)，還要防備給出“等價(jià)項(xiàng)”重復(fù)計(jì)算。所謂“等價(jià)項(xiàng)”是指一個(gè)公式中例如q 2 = 2a1a2、q 3 = 2a1a3確定取值時(shí)將a2、a3調(diào)換計(jì)算結(jié)果相同則q2、q3項(xiàng)稱(chēng)謂：等

10、價(jià)項(xiàng)。由I1、I2兩公式計(jì)算平方冪等式：152 = 22 + 42 + 62 + 13222152 = 10582 + 14262 + 6442 +11572 n = 1，m = 5 Q12 = q12 + q 22 + q 32 + q42 + q52I：（d1+ d2+d3 +d4）2 = d12 + 2d1d2 + 2d1d3 + 2d1d4 +（d2 + d3 + d4）2使2d1d2、2d1d3、2d1d4升成完全平方項(xiàng)，則d1 = 2 a12、d2 = a22、d3 = a32、d4 = a42或d1 = a12、d2 = 2a22、d3 = 2a32、d4 = 2a42有：I1：

11、（2a12 + a22 +a32 + a42）2 =（2a1 2）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a1a4）2 +（a22 + a32 + a42）2I2：（a12 + 2a22 +2a32 +2 a42）2 =（a1 2）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a1a4）2 +（2a22 + 2a32 + 2a42）2例：312 = 22 +42 + 62 +82 + 292 25392 = 5782 +6122 + 8842 + 10542 +19612 2.1.2.當(dāng)n = 2、 m 2時(shí)n = 2 ，m = 2當(dāng)n 2、m n時(shí)所有的平方冪等式只能由多項(xiàng)和差

12、平方式展開(kāi)項(xiàng)求得二次冪等式，“多項(xiàng)和差平方式”指幾項(xiàng)和與另幾項(xiàng)差的平方式，其展開(kāi)式也是2齊次冪多項(xiàng)式，正數(shù)項(xiàng)用d表示，負(fù)數(shù)項(xiàng)用c表示。Q12 + Q22 = q12 + q22 I：（d1 c1）2 = d12 + d12 - 2d1c1使2d1c1升成完全平方項(xiàng)，為了區(qū)別，負(fù)項(xiàng)用b n表示，令d1 = 2a12，c1= b12或d1 = a12，c1 = 2b12得：I1：（2a1b1）2 +（2a12 b12）2 =（2a12）2 +（b12）2I2：（2a1b1）2 +（a12 2b12）2 =（a12）2 +（2b12）2 例：12 + 82 = 42 + 72 12 + 122 =

13、92 + 82n = 2，m = 3Q12 + Q22 = q12 + q22 + q32I：（d1 + d2 c1）2= d12 +2d1d2 +（d2 c1）2 - 2d1c1使等式各項(xiàng)升成完全平方項(xiàng)得I1：（2a1b1）2 +（2a12 +a22 b12）2 =（2a12）2 +（2a1a2 ）2 +（a22 b12）2I2：（2a1b1）2 +（a12 +2a22 2b12）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a22 2b12）2 例：572 +302 = 72 + 402 +502 122 + 512 = 92 +302 + 422n = 2，m =4Q12 + Q22 =

14、 q12 + q22 + q32 + q42 I：（d1 + d2 + d3 c1）2= d12 +2d1d2 + 2d1d3 +（d2 + d3 d4）2 - 2d1c1使等式各項(xiàng)均為完全平方項(xiàng)得I1：（2a1b1）2 +（2a12 +a22 +a32 b12）2 =（2a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（a22 + a32 b12）2I2：（2a1b1）2+（a12 +2a22 +2a32 2b12）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）+（2a22 + 2a32 2b12）2 例：82 + 192 = 32 + 42 + 122 + 162 62 +

15、 232 = 12 + 42 + 82 + 2222.1.3.當(dāng)n = 3、 m 3時(shí)n = 3，m =3Q12 + Q22 +Q32 = q12 + q22 + q32 I：（d1 + d2 c1 c2）2 = d12 +2d1d2 +（d2 d3 d4）2 - 2d1c1 - 2d1 c2使等式各項(xiàng)均為完全平方項(xiàng)得I1：（2a1b1）2 +（2a1b2）2+（2a12 +a22 b12 b22）2 =（2a12）2 +（2a1a2）2 +（a22 b12 b22）2I2：（2a1b1）2 +（2a1b2）2+（a12 +2a22 2b12 2b22）2 =（a12）2 +（2a1a2）2

16、+（2a22 2b12 2b22）2 例：42 + 52 + 62 = 22 + 32 + 82 9022 + 17222 + 24792 = 7982 + 16812 + 25422n = 3，m = 4Q12 + Q22 +Q32 = q12 + q22 + q32 + q42I：（d1 + d2 + d3 c1 c2）2= d12 +2d1d2 + 2d1d3 +（d2 + d3 c1-c2）2 -2d1c1-2d1c2 使等式各項(xiàng)均為完全平方項(xiàng)得I1：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a12+a22+a32 b12-b22）2 =（2a12）2+（2a1a2）2 +（2a1a

17、3）2 +（a2 2+ a32 b12 b22）2I2：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（a12+2a22+2a32 2b12-2b22）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2 2+ 2a32 2b12 - 2b22）2 例：122 + 422 + 1292 = 182 + 482 + 602 + 1112 122 + 422 + 2312 = 92 + 482 + 602 + 2222 2.1.4.當(dāng)n = 4、 m 4時(shí)n = 4、m = 4Q12 + Q22 + Q32 + Q42 = q12 + q22 + q32 + q42I：（d1+d2+d

18、3-c1-c2-c3）2 = d12 +2d1d2 +2d1d3+（d2 +d3-c1-c2-c3）2 -2d1c1-2d1c2-2d1c3使等式各項(xiàng)均為完全平方項(xiàng)得I1：（2a1b1）2+（2a1b2）2+（2a1b3）2+（2a12+ a2 2+a32 b22-b32-b 42）2=（2a12）2+（2a1a2）2+（2a1a3）2+（a2 2+a3- b12-b22-b32）2I2：（ 2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a1b3）2 +（a12 + 2a2 2+2a32 2b12-2b22-2b32）2=（a12 ）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2 2+2a

19、3 - 2b12-2b22-2b32）2例：102 + 302 + 402 +1092 = 502 + 592 + 602 + 702 102 + 302 + 402 +1432 = 252 + 602 + 702 + 1182n = 4、m =5 Q12 + Q22 + Q32 + Q42 = q12 + q22 + q32 + q42 + q5I：（d1 + d2+d3+d4 -d5-d6-d7）2 = d12 +2d1d2 + 2d1d3 +2d1d4+（d2 +d3 + d4 - d5-d6-d7）2 -2d1c1-2d1c2+2d1c3使等式各項(xiàng)均為完全平方項(xiàng)得I1：（2a1b1）2

20、 +（2a1b2）2 +（2a1b3）2+（2a12 + a2 2+a32 +a42-b12-b22-b32）2 =（2a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a1a4）2 +（a2 2+ a32+a42 b12-b22-b32）2I2：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a1b3）2+（a12 +2a2 2+2a32 +2a42-2b12-2b22-2b32）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a1a4）2 +（2a2 2+ 2a32+2a42 2b12-2b22-2b32）2例：122 + 202 +242 + 522 = 42 +

21、82 + 282 + 322 + 442 3082 + 4182 + 4252 + 5062 = 1212 + 3042 + 3742 + 3962 + 5502由以上n、m部分取值的實(shí)例，便可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)n 1、 m n所求的平方冪等式一般規(guī)律：“二項(xiàng)平方式”必使正數(shù)項(xiàng)d項(xiàng)為m 1項(xiàng)、負(fù)數(shù)項(xiàng)c項(xiàng)為n 1項(xiàng)。當(dāng)n = 1即c1-1 = 0，這時(shí)為特例Q12項(xiàng)即是“二項(xiàng)平方式”。因?yàn)楹停ɑ虿睿┑钠椒巾?xiàng)已確定為Qn的一項(xiàng)了，此項(xiàng)即定為Qn項(xiàng)中第n項(xiàng)；和（或差）的第二項(xiàng)平方已確定為qm一項(xiàng)了，此項(xiàng)即定為qn項(xiàng)中第m項(xiàng)。依據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律性給出等式：（d1 +d2 + d m 1 - c1 c2 - c n-

22、1）2= d12+2d1（d2+d m 1-c1 c2 -c n-1）+（d2+d m 1 -c1 -c2 - -c n-1）2使d項(xiàng)生成a的平方項(xiàng)，c項(xiàng)生成b的平方項(xiàng)，得二次冪等式Q n2 = q m2公式：I1：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a1b n-1）2 +（2a12 + a2 2+ a m 12 - b12 - b22- b n-12）2 =（2a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a m 1）2 +（a22 + a m 12 - b12 - b22 - b n-12）2I1：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a1b n-1）2 +（a12 +2a2 2

23、+2a m 12 -2b12 -2b22-2b n-12）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a m 1）2 +（2a22 + 2a m 12 - 2b12 - 2b22 - 2b n-12）2 例：42782 = 12 + 22 + 32 +，282 + 292 + 42772 （30個(gè)平方項(xiàng)之和）171092 = 12 + 42 + 62 +，+ 562 + 582 + 171082 （30個(gè)平方項(xiàng)之和）這是兩個(gè)基本公式，求解公式的方法是基本的方法。2.2.多項(xiàng)式平方和差完全平方升冪法由上面的二項(xiàng)平方的方法，公式I1，n = 1，m 2，m = 2時(shí)：Q12 = d2-12

24、= d12Q12 =（d1 + d2）2 = d12 + 2d1d2 + d22得不到Q12 = q12 + q22 的等式，這種方法推出的公式不能覆蓋“勾股弦數(shù)”的求解。但是，前面已經(jīng)有了求解“勾股弦數(shù)公式”的方法，是對(duì)多項(xiàng)式和的平方展開(kāi)式加減項(xiàng)和差分組并升冪得到完全平方等式，可稱(chēng)這種方法叫“和差完全平方升冪法”，2.2.1. 多項(xiàng)和平方式展開(kāi)項(xiàng)升成完全平方法（d1 +d2 + d3）2 = d12 + d22 +d32 +2d1d2 +2d1d3 + 2d2d3 =（d1 - d2）2 +d32+4d1d2 +2d1d3+2d2d3 =（d1 +d2）2 +（d1 + d3）2 d12 +

25、2d2d3 =（d1+ d2）2 +（d1 d3）2 + 4d1d3 d12 +2d2d3 =（d1+d2）2 +（d1 d3）2 -（d2 d3）2 + 4d1d3 d1 +d22+d3=（d1 + d2）2 +（d1 +d3）2 +（d2 + d3）2 d1 2 d2 2 d3 2=（d1 d2）2 +（d1 +d3）2 +（d2+ d3）2 + 4d1d2 d12 - d22 - d32 =（d1+d2）2 +（d1 d3）2 +（d2 d3）2 + 4d1d3 + 4d2d3 d12 d32 d32=（d1+d2）2 +（d1 d3）2 （d2 + d3）2 + 4d1d3 + 4d2

26、d3 d12 + d22 + d32=（d1 - d2）2 +（d1 d3）2 +（d2 - d3）2 +4d1d2+4d1d3+4d2d3 -d12-d22-d32=（d1 - d2）2 +（d1 d3）2 -（d2 + d3）2 +4d1d2+4d1d3+4d2d3 -d12+d22+d32于是升成完全平方項(xiàng)得到平方冪等式公式：I1：（a12 + a22 + 2a32）=（a12 - a22）2 +（2a32）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2I2：（a1）2 +（a1 + 2a22 + a32）2 =（a1 +2a22）2 +（a1 + a32）2 +（2a2

27、a3）2I3：（a12）2 +（a12 + 2a22 + a32）2 =（a12+ 2a22）2 +（a12 a32）2 +（2 a1a3）2 +（2a2a3）2I4：（a12）2 +（a2a32）2 +（a12+a2+a32）2 =（a12+a2）2 +（a12a32）2 +（2a1a3）2 +a22 +（a32）2I5：（a1 + a2）2 +（a1 +a3）2 +（a2 + a3）2 = a12 + a22 + a32 +（a1 + a2 + a3）2I6：（a12）2 +（a22）2 +a32 +（ a12+a22+a3）2 =（a12-a22）2 +（a12+a3）2 +（a22+a

28、3）2 +（2a1a2）2I7：（a12）2 +（a22）2 +（a32）2 +（a12 + a22 + a32）2 =（a12+a22）2 +（a12 a32）2 +（a22 a32）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2I8：（a12）2 +（a22 + a32）2 +（a12 + a22 + a32）2 =（a12 + a22）2 +（a12 a32）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a22）2 +（a32）2I9：（a12）2 +（a22）2 +（a32）2 +（a12 + a22 + a32）2=（a12 - a22）2 +（a12 a32）2 +（a22 - a3

29、2）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 I10：（a12）2 +（a22 + a32）2 +（a12 + a22 + a32）2 =（a12 - a22）2 +（a12 a32）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a22）3 +（a32）2例：1、10072 =1172+2422+7562+4622+3962 2、212 +7902 = 1422 +3692 + 6692 3、212+12102 = 3202 +3962 + 4622 +10982 4、1032 + 4412 +5802 = 182 +1212 +3202 + 459

30、2 + 4622 5、112 +182 +212 +502 = 292 +322 +392 6、112 +3242 + 4412 + 7762 = 1172 +3352 + 4522 +7562 7、1212 +3242 +4412 + 8862 = 2032 +3202 +3962 + 4622 + 7652 8、4412 + 4452 + 8862 = 1212 +3202 +3242 +3962 + 4622 + 7652 9、1212 +3242 + 4412 + 8862 = 1172 +2032 +3202 +3962 + 4622 + 7562 10、4412 + 4452 +

31、8862 = 1172 +1212 +3202 +3242 +3962 + 4622 +7562再如，一個(gè)多項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)進(jìn)行加減項(xiàng)形成完全平方式等式：（a1 + a2 + a3 + a4）2= a1 2 + a2 2 + a3 2 + a42 +2a1a2 + 2a1a3 + 2a1a4 + 2a2a3 +2a2a4+2a3a4=（a1+ a2）2 +（a3+a4）2 +（a1 +a3）2 +（a2 +a4）2-（a1 a4）2 -（a2 a3）2 （a1 + a2 + a3 + a4）2 +（a1 a4）2 +（a2 a3）2=（a1 + a2）2 +（a3 + a4）2 +（a1 + a3）

32、2 +（a2 + a4）2如果給定 a1+ a2 +a3 + a4的和，變換其中項(xiàng)的取值，就會(huì)計(jì)算出多組等式，例如：23 + 40 + 20 + 17 = 100 62 + 202 + 1002 = 372 + 432 + 572 + 632 50 + 37 + 17 + 2 = 100 262 + 482 + 1002 = 132 + 392 + 612 + 872 53 + 30 + 9 + 8 = 100212 + 452 + 1002 = 172 +382 + 622 + 832 38 + 27 + 26 + 9 = 100 12 + 292 + 1002 = 352 + 362 +

33、642 + 652 47 + 43 +7 + 3 = 100362 + 442 + 1002 = 102 + 462 + 542 + 902 2.2.2.三項(xiàng)和差平方式展開(kāi)項(xiàng)升成完全平方法（d1 + d2 d3）2 = d1 2 +d2 2 + d32 +2d1d2 2d1d3 2d2d3 =（d1 d2）2 + d32 +4d1d2 2d1d3 2d2d3 =（d1 +d2）2 +（d1 - d3）2 d12 2d2d3 =（d1+ d2）2 +（d1+ d3）2 4d1d3 d12 2d2d3 =（d1 + d2）2 +（d 1- d3）2 +（d2 d3）2 d1 2 d2 2 d3 2

34、=（d1+d2）2 +（d1 +d3）2 -（d2 + d3）2 4d1d3 - d12 +d22 + d32=（d1 d2）2 +（d1 - d3）2 +（d2 - d3）2 + 4d1d2 d12 - d22 - d32 =（d1+d2）2 +（d1 + d3）2 +（d2 + d3）2 - 4d1d3 4d2d3 d12 d22 d32=（d1+d2）2 +（d1 + d3）2 （d2 - d3）2 - 4d1d3 4d2d3 d12 + d22+ d32=（d1 - d2）2 +（d1 + d3）2 +（d2 +d3）2 +4d1d2- 4d1d3- 4d2d3 -d12-d22-d3

35、2=（d1 - d2）2 +（d1 + d3）2 -（d2 - d3）2 +4d1d2-4d1d3-4d2d3 -d12+d22+d32于是升成完全平方項(xiàng)得到平方冪等式公式：I1：（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a12 + a22 -2a32）2 =（a12 - a22）2 +（2a32）2 +（2a1a2）2I2：（a1 +2a22）2 +（a1 - a32）2 = a12 +（2a2a3）2 +（a1 + 2a22 - a32）2（a1 +a22）2 +（a1 - 2a32）2= a12 +（2a2a3）2 +（a1 + a22 - 2a32）2I3：（a12+ 2a22）2 +

36、（a12 + a32）2 =（a12）2 +（2 a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a12 + 2a22 - a32）2I4：（a1 + a2）2 +（a1 - a3）2 +（a2 - a3）2 = a12 +a22 + a32 +（a1 + a2 - a3）2I5：（a12+a2）2 +（a12 + a32）2 + a22 +（a32）2= （a12）2 +（2a1a3）2 +（a2 + a32）2 +（a12 + a2 - a32）2I6：（a12）2 +（a22）2 + a32 +（a12 + a22 - a3）2 =（a12 a22）2 +（a12 - a3）2 +（a22 - a

37、3）2 +（2a1a2）2I7：（a12+a22）2 +（a12 + a32）2 +（a22 + a32）2 = （a12）2 +（a32）2 +（a32）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a12 + a22 - a32）2I8：（a12 + a22）2 +（a12 + a32）2 +（a22）2 +（a32）2=（a12）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a22 - a32）2 +（a12 + a22 - a32）2 I9：（a12 - a22）2 +（a12 + a32）2 +（a22 + a32）2 +（2a1a2）2 =（a12）2 +（a22）2 +（a3

38、2）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a12 + a22 + a32）2I10：（a12）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a22 - a32）2 +（a12 + a22 - a32）2 =（a12 - a22）2 +（a12 + a32）2 +（a22）2 +（a32）2 +（2a1a2）2例：1、3962 +4622 + 5232 = 1172 + 2422 + 75622、1002 + 6692 = 212 + 3962 + 54822212 +3452= 212 + 1032 + 39623、10892 + 5622= 3962 + 4412 + 4622

39、+ 96824、72 +102 +392 = 112 + 182 + 212 +2825、1392 + 3382 + 4412 + 4622 = 182 + 1212 + 4592 + 56226、112 +3242 + 4412 + 7542 = 1172 + 3132 + 4302 + 75627、4452 + 5622 +7652 = 1212+ 3242 + 3962 + 4412 + 4622 + 64428、1212 + 3242 + 5622 + 7652= 2032 + 3962 + 4412 + 4622 + 64429、1172+ 4452 + 5622 + 7562= 1

40、212 + 3242 + 3962 + 4412 + 4622 + 644210、2032 +3962 + 4412+4622 +6442 = 1172 +1212 + 3242 + 5622 + 7562 在和差法求解二次冪等式公式中升成完全平方項(xiàng)比較復(fù)雜，各個(gè)因子是相互制約的，出現(xiàn)矛盾就不會(huì)使公式成立。這種方法確定公式時(shí)不要把應(yīng)有的公式丟失，又要避免重復(fù)防備出現(xiàn)等價(jià)公式。在計(jì)算Qn或qm項(xiàng)中因?yàn)槿≈档年P(guān)系會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，因?yàn)镼n2或qm2的兩項(xiàng)差可以調(diào)換為正數(shù)，所以計(jì)算出現(xiàn)負(fù)數(shù)時(shí)取絕對(duì)值，即直接得正數(shù)。 3.結(jié)論 這是求解二次冪等式公式的一般方法，可以求得無(wú)限多種二次冪等式公式。公式法的公式為

41、無(wú)限多個(gè)，但有一定規(guī)律性的；和差法不可能將二次冪等式公式求盡，存在無(wú)限不可預(yù)知形式的公式。當(dāng) n、m即定時(shí)Q n2 = q m2在有限范圍內(nèi)是能夠?qū)⒍蝺绲仁焦角蟊M的。從而發(fā)現(xiàn)，二次冪等式公式是無(wú)窮無(wú)盡的，是一種人類(lèi)永遠(yuǎn)寫(xiě)不完的美麗而遙遠(yuǎn)的宇宙空間。但是，至于無(wú)限范圍，因?yàn)槲覀冋莆樟饲笞C的一般方法，也就是實(shí)現(xiàn)了二次冪等式公式通解。最新證明的求解勾股弦數(shù)公式（2005年9月12月）摘要：最新證明的求解勾股弦數(shù)公式：對(duì)x2 + y2 = z2這一不定方程，以x為求解對(duì)象，以y、z為相對(duì)即定條件，有正整數(shù)x2 +（yi + a）2 =（x + a）2成立，分析確定x的代數(shù)解，由此得出y、z的代數(shù)值

42、，所得x、y、z組的代數(shù)解值，即為最新證明的求解勾股弦數(shù)公式。關(guān)鍵詞：最新證明 求解 勾股弦數(shù)公式本人在研究“費(fèi)馬猜想”過(guò)程中，遂發(fā)現(xiàn)最新求解勾股弦數(shù)的方法，不同于古人構(gòu)造流傳下來(lái)的求解勾股弦數(shù)公式，證明如下： 證明不定方程x2 + y2 = z2正整數(shù)最新求解公式。對(duì)于正整數(shù)x2 + y2 = z2 （1）現(xiàn)在x、y、z中即定x為求解對(duì)象（未知數(shù)），y、z為相對(duì)即定條件（已知數(shù)），其中z x 、z y，于是必存在一個(gè)正整數(shù)a，使z = x + a，下面證明a y，由（1）式得：x2 + y2 =（x + a）2x2 + y2 = x2 + 2ax + a2y2 = 2ax + a2若a y，

43、有a2 y2，a2+2ax y2，可見(jiàn)等式（1）式不成立，則a y；所以存在正整數(shù)yi，使y = yi + a 。將z = x + a 、y = yi + a代入（1）式得：x2 +（yi + a）2 = （x + a）2 （2）x2 + yi2 + 2ayi + a2 = x2 + 2ax +a2yi2 + 2ayi - 2ax = 0 （3）在（1）式中容易證明并切必須約定（x，y，z）= 1，而對(duì)于（3）式中x、a、yi相互關(guān)系較為復(fù)雜，則有：（a，x）= 1、：（a，yi） 1、：（yi，x） 1，分別給予證明： 、確定（a，x）= 1；如果（a，x） 1，設(shè)正整數(shù)k 1，a = tk

44、，x = vk，代入（2）式得：（vk）2 +（yi + tk）2 = （vk + tk）2這時(shí)k2必該整除（yi + tk）2，否則等式不能成立；但其與（x，y，z）= 1矛盾，所以（a，x）1，即必有（a，x）= 1。、可有（a，yi）= 1，但亦可有（a，yi） 1；所以設(shè)正整數(shù)k1，a = tk，yi = vk，代入（2）式得：x2 +（vk + tk）2 = （x + tk）2這時(shí)只有（vk + tk）2含k2因子，如果k = 1，所約定的（x，y，z）= 1成立；如果k1，因?yàn)椋▁ ，tk）= 1，約定的（x，y，z）= 1也成立，所以可有（a，yi） 1。 、可有（yi，x）=

45、1，但也可存在（yi，x） 1；所以設(shè)正整數(shù)k1， yi = tk，x = vk，代入（2）式得（vk） 2 +（tk +a）2 = （vk+a）2這時(shí)如果k = 1，約定的（x，y，z）= 1成立；如果k1，因必有（vk，a）= 1，則（tk ，a）k，只有（vk）2含k2因子，約定的（x，y，z）= 1成立，所以存在（yi，x） 1。因已設(shè)定為求解x，所以（3）式中將等式除以2a得 + yi - x = 0上式中“”項(xiàng)可知2a必整除yi2，即存在（a，yi）1；因?yàn)椋▂i，x） 1則 1，即 的剩余因子是x的因子；因?yàn)?是質(zhì)數(shù)，所以yi含2因子；設(shè)yi = 2yii得： = 1這時(shí)存在a含

46、2因子和不含2因子兩種可能。當(dāng)a含2因子時(shí)，因（a，x）= 1、a除2后的因子與yii2含a除2的因子必互相約盡；所以使yii含c因子，并且yii2含c2必被a除2后的因子約盡，即設(shè)a = 2c2；又因（yi，x） 1，所以x、 yii還可均含有正整數(shù)因子設(shè)為d，則yii = cd；即yi =2cd、a = 2c2代入（2）式得： + 2cd - x = 0 d2 +2cd - x = 0即求出x、y = yi + a 、z = x + a的第一組解值式： x = 2cd + d2 y = 2cd + 2c2 z = 2cd + d2 +2c2等式驗(yàn)證： （2cd + d2）2 +（2cd +

47、2c2）2 =（2cd +d2 +2c2）2 4c2d2 + 4cd3 + d4 + 4c2d2 + 8c3d + 4c4 = 4c2d2 + d4 + 4c4 + 4cd3 + 8c3d + 4c2d2 等式成立。當(dāng)d = 1 時(shí) = 1等號(hào)成立，即 = = 1。當(dāng)a不含2因子時(shí)，因?yàn)椋╝，x）= 1，a的因子與yii2含a的因子必互相約盡，所以存在一個(gè)正整數(shù)c是 yii的因子，并且yii2含c2必被a因子約盡，設(shè)定 a = c2；又因（yi，x） 1，所以x、yii還可均含有正整數(shù)因子設(shè)為d，則 yii = cd；即yi = 2cd、，a = c2代入（3）得： + 2cd - x = 0

48、2d2 + 2cd x = 0即求出x、y = yi + a 、z = x + a的另一組解值式： x = 2cd + 2d2 y =2cd + c2 z = 2cd + 2d2 +c2 等式驗(yàn)證： （2cd + 2d2）2 +（2cd + c2）2 =（2cd + 2d2 +c2）2 4c2d2 + 8cd3 + 4d4 + 4c2d2 + 4c3d + c4 = 4c2d2 + 4d4 + c4 + 8cd3 + 4c3d + 4c2d2等式成立。如此就得到了兩組勾股弦數(shù)求解的類(lèi)似公式，但實(shí)質(zhì)上這兩組求解勾股弦數(shù)公式是等價(jià)的，只不過(guò)是形式上的不同。將其中一組x、y得值對(duì)換，又因?yàn)閏、d取值為任意正整數(shù)，包括c = d，c、d含公因數(shù)時(shí)x、y、z也含公因數(shù)，所以c、d可以互相代換： x = 2cd + d2 x（y