1、第八章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1 向量的數(shù)量積8.1.1 向量數(shù)量積的概念【課程標(biāo)準(zhǔn)】了解向量數(shù)量積的概念，了解與數(shù)量積有關(guān)的投影，夾角，模的幾何意義并能進行簡單運算?！竞诵乃仞B(yǎng)】邏輯推理，數(shù)學(xué)運算?！緦?dǎo)學(xué)流程】一、基礎(chǔ)感知1 .兩個向量的夾角r ruuu r uuu r給定兩個非零向量a,b,在平面內(nèi)任選一點。，作OA a,OB b ,則稱0,r r內(nèi)的 AOB為向量a與向量b的,記作r如圖812,向量arr r與b的夾角為一，即 a,b 4 r ur;向量a與d的夾角為r rr r;向量a與c的夾角為一，則a,c _ 2r urrr，即a,d ;向量a與e的r r夾角為,即 a,e

2、 練一練：已知等邊三角形ABC, D為BC的中點，求:uur uuur uuin umrAB, AC , BC, ACuuir uiuuuu uuur,BC,CA , DA,BC根據(jù)向量夾角的定義可知:r ra,br ra, b，記作r rr當(dāng)a,b 一時，稱向量a與向量 2規(guī)定：零向量與任意向量垂直.2 .向量數(shù)量積的定義r rrrrrr r一般地，當(dāng)a與b都是非零向量時，稱|a| |b|cos a,b為向量a與b的.（也稱為）,記作,即.由定義可r r知，兩個非零向量a與b的數(shù)量積是一個 .兩個非零向量的數(shù)量積即可以是 ,也可以是,還可以是向量的數(shù)量積有如下性質(zhì):（D （2） r r當(dāng)a與

3、b至少有一個是零向量時，稱它們的數(shù)量積為 ,即r ra與b垂直的充要條件是r r練一練：（1）已知a 5, br(2)已知ar 3,b,即.r r.r r4,(a,b) 120，求 a b ；r rr r2, a b 3 ,求 a, b .r rr r由（2）可看出，如果a,b都是非零向量，則cos a,b .3.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義.uuu r如圖814所示，設(shè)非零向量AB a,過A,B分別作直線l的垂線，垂 uuuinr足分別為A,B ,則稱向量AB為向量a在直線l上的 或.給定平面上的一個非零向量b,設(shè)b所在的直線為i,則a在直線i上的投影稱為a在 向量b上的.如圖815中，

4、向量a在b上的投影為如圖 816(1) (2) (3)所示,當(dāng)a,b 當(dāng)a,b 當(dāng)a,buuuurAB為uuuurruuuurAB的方向與b方向相同，而且 AB =uuuurruuuirAB的方向與b方向相反，而且AB =r r般地，如果a,b都是非零向量，則稱r r rr ra cos a,b 為向量 a在向量 b上的r ruu因為a bar r rb cos(a,br rr rv racos(a,b) b ,所以兩個非零向量r ra,b的數(shù)量rr r當(dāng)e為單位向量時，a e =練一練：如圖81 7,求出以下向量的數(shù)量積r rr rir r(1) b a (2) c a (3) d a圖;X

5、T *7、當(dāng)堂檢測r r1.根據(jù)以下條件，分別求a b.r(1) |a|r 8,|b|4,r ra,b(2) |a| 7,|b| 12, a,b 120 ；r(3) |a|r4，|b|2,r ra,b(4)r|a|r 4,|b| 1,a,b2.根據(jù)以下條件,分別求r(1) ar(3) a2510；(2)5；(4)8邱6 /3 a16;3.如圖，已知uuuuuu umrOA,OB,OCAOB BOC60uuu uuu uuu UULT OA OB,OA OC .r r rr r4.已知a 5, b在a上的投影的數(shù)量為6,而c在a上的投影的數(shù)量為 8,求r r r r b a, c a .5.已知

6、r 3,br r45 ,求a在b上的投影的數(shù)量.限時訓(xùn)練（限時45分鐘）1若間=2,|b|=,a與b的夾角為60 ,則a?b=()1 1A.2B.-C.1D2.在 RtAABC 中,C=90 ,AC=4,則AB AC二（A.-12B.12C.-16D.16OA ABOA OA OB3 .已知向量±,|=3，則=()A.9B.8C.7D.10-lr4 .若a?b<0,則a與b的夾角8的取值范圍是()A.0 < 9 <900B.90 < 9 <180°C.900 至 180°D.900 <8 <180°AB BC ,5 .在 ABC 中，=a,=b,且a?b>0,則AABC 是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形6 .已知向量a, b ,若a在b上的投影的數(shù)量為3,b=2，則a?b=uuir uur uur uuu7 .已知 ABC是邊長為2的等邊三角形，求AB AC,AB CA.8 .判斷下列命題的真假.r rr r（1）若向量a,b共線，則a br r r rr r(2)若向量a,b滿足a b 0,則a 0或b 0 .r rr rr