1、高等數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn) 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)(一)向量線性運(yùn)算定理1:設(shè)向量aw0,則向量b平行于a的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)入，使b 入a1、線性運(yùn)算：加減法、數(shù)乘;2、空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限)向量的坐標(biāo)分解式;3、利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè) a = (ax,ay ,az), b(b= ,b ,b )； x y zab(a - b,a 二 b,a b) , a(ax,ay,az)貝 llxxy y z z ,；4、向量的模、方向角、投影：1)向量的模：r I I = Jx2 + y2 + z2 ；2)兩點(diǎn)間的距離公式：AB I = C(x2 - xi)2+(y2 - yi)

2、* (z2zi)23)方向角：非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角"，撥；4)方向余弦:cosx,cos P =,cosrrcos2cos2cos2 = 15)投影：Prjua - = lacos，其中,為向量a與u而夾角(二)數(shù)量積，向量積1、數(shù)量積：a b ' la I bcos "MM.|1)a a = a I2) a 1 b a b = 0abaxbxaybyazbz2、向量積：c =a x b12大?。篴 b|sin e)0ic = ia a2)a/b 仁ab_ - -1Tsijkab -axayazbxbybz,方向：a,b,c符合右手規(guī)則運(yùn)算律：反交換律b

3、 x a = - a'b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S：f(x,y,z) = 02、旋轉(zhuǎn)曲面：yoz 面上曲線 C:f(y,z) = 0,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周：f(y, 文，x2 + z2f 0繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周：f( 士 Jx2 +y2,zf 03、柱面：F(x,y)= 0的柱面F(x,y) = 0表示母線平行于z軸，準(zhǔn)線為 1三z 04、二次曲面z21）橢圓錐面：ax2by2Z22）橢球面：a2x2b2c2Z2旋轉(zhuǎn)橢球面：a 2a x2c2 y23)單葉雙曲面:a2x2b2 y24)雙葉雙曲面:a2x2b2y2 一Z 2 1 c25)橢圓拋物面:a2b26)雙曲拋物面（馬鞍

4、面）：J b27）橢圓柱面：a22X8）雙曲柱面：a22 -9）拋物柱面：xay（四）空間曲線及其方程F(x,y,z) 一，般方程:G(x,y,z) 0x - x(t)0： x 巨 acos t2、參數(shù)方程：y j=y(t)如螺旋線yhasin t z - z(t)z = bt3、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影F(x,y,z) - 0H(x,y)0-，消去z,得到曲線在面 xoy上的投影G(x,y,z)- 0z0一(五)平面及其方程1、點(diǎn)法式方程：A(x x0)B(yyo)C(zz0)0法向量：n(A;B,C),過點(diǎn)(x0,y0,z0)、一般式方程：AxByCzD02.截距式方程：a b3、兩平面的

5、夾角：n1z一 1c(Ai,Bi,Ci), n2(A2,B2,C2),e cosA1A2 , BiBCiC2 a2B2C2 , A2b2c2'111.222A1A2B1B2 C1C2 - 0n /z n1/2Ai _ B1 . CiA B2 C2CzD0的踽5：4、點(diǎn) Po(xo,y0,z0)到平面 Ax BylAx0 By0 Cz0 D d -A2 B2 C2(六)空間直線及其方程AixBiyCizDi- 01、一般式方程：A2xB2yC2zD2一 02、對稱式（點(diǎn)向式）方程:xxoyyozzom np方向向量：s M（m,n,p）,過點(diǎn)（xo,yo,zo）x - xomt3、參數(shù)式

6、方程：j=y yo ntz - zopt4、兩直線的夾角： si= (mi,ni,pi), S2= (m2,n2,p2),cos+ +mim2nin2 . pip2LiL2Li/L2 二222222, mini2pi .m2n2p2mim2nin2pip20mi - ni - pim2 n2 p25、直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角,L/= Am Bn Cp - 0ABCL 一二一 一 一 一m n p第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一）基本概念i、距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開集，閉集，連通集，區(qū)域,閉區(qū)域，有界集，無界集。2、多元函數(shù)：（i）定義：設(shè)n維空間內(nèi)的點(diǎn)集

7、D是R2的一個(gè)非空子集，稱映射f: D-R為定義在D上的n元函數(shù)。當(dāng)n同時(shí)，稱為多元函數(shù)。記為U=f(X1, X2)?) Xn) ) (X1)X2)?) Xn)。3、二次函數(shù)的幾何意義：由點(diǎn)集 D所形成的一張曲面。如 z=ax+by+c的圖形 為一張平面，而z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物線。4、極限：(1)定義：設(shè)二元函數(shù)f(p)=f(x,y)的定義域D,p0(x0,y0)是D的聚點(diǎn)D,如果存在函數(shù) A對于任意給定的正數(shù)a總存在正數(shù) 8,使得當(dāng)點(diǎn)p (x,y) CD n U(p0, S)時(shí)都有f(p)-A =f(x,y)-A I喊立,那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y) 當(dāng)(x,y) Yx0,y0

8、)時(shí)的極限)記作lim f(x,y) - A(x,y) T(x0,y0)定義3設(shè)元函數(shù)/(P)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集。，P.是其聚點(diǎn)且產(chǎn)°£。，如果lim /(P) = f(PJ尸T1則稱元函數(shù)/(P)在點(diǎn)匕處連續(xù).設(shè)尸。是函數(shù)/(尸)的定義域的聚點(diǎn)，如果 /(P)在點(diǎn)P。處不連續(xù)，則稱匕 是函數(shù)/(P)的 間斷點(diǎn).多元函數(shù)的連續(xù)性與不連續(xù)的定義5、有界閉合區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：(1)在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù), 必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；(2)在有界區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值。6、偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(diǎn)

9、(x0,y。是其定義域D內(nèi)一點(diǎn)。把y固定在y0而讓x在x0有增量*,相應(yīng)地函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對x/y的偏增量)如果及與 &/Zy之比當(dāng)xH/ZyTC時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x/y的偏導(dǎo)數(shù)記作fx(xo,yo)- lim&x0 f(xo x,yo)f(xo,yo)網(wǎng)y0);叉駟仁y)f(xo,yo)y7、混合偏導(dǎo)數(shù)定理：如果函數(shù)的兩個(gè)二姐混合偏導(dǎo)數(shù)fxy(x,y)和 fyx(x,y)在 D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二姐混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。、方向?qū)?shù):8f f cos.= a 1+f cos其中，a-Il為 的方向角。l9

10、、全微分：如果函數(shù) z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量 z=f(xAx, yAy)-f(x,y)可以表示為 z=AZx+By+o( p )其中A、B不依賴于Ax, Ay,僅與x,y有關(guān),dzxy必要條件充分條件微分法ux1z7復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t記為15dxz=f(x,y) 在點(diǎn)(x,y) 處的全微分1、函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系zdyx, v)處可微分)Aax+By稱為函數(shù)當(dāng)P f0)此時(shí)稱函數(shù)z=f(x,y) 在點(diǎn)(若 z = f(u,v),u = u(x,y),v 二 v(x,y),則Vzzuzv. zzuzV，二二J.: = =-_ + . xu

11、xvxyuyvy3)隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程(組)(三)應(yīng)用1、極值1)無條件極值：求函數(shù) z-f(x,y)的極值fx = 0解方程組 I fy 一 0求出所有駐點(diǎn)，對于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0),令A(yù)fxx(x0,y0), B 二 fxy(x0,y。), Cfyy(xy。)，若ACB2 >0, A >0,函數(shù)有極小值，若AC -B2 >0, A <0,函數(shù)有極大值；若AC - B2父0 ,函數(shù)沒有極值；若AC-B2 = 0,不定。2)條件極值：求函數(shù)zf(x,y)在條件(x,y) 巧 =0下的極值令：L(x,y) - f(x,y)+ ' °

12、(x,y)Lagrange 函數(shù)Lx 一 0J-=解方程組Ly - 0(x,y) - 02、幾何應(yīng)用1)曲線的切線與法平面x 一 x(t)曲線:v'y，則 上一點(diǎn)M(x0,y0,z0)(對應(yīng)參數(shù)為t0)處的z - z(t)xxoy - yozzoff切線方程為：x(t0)y(to)z(to)法平面方程為：x(to)(x xo) y(to)(yyo)z(to)(zzo)02)曲面的切平面與法線曲面:F(x,y,z)= 0 ,則1上一點(diǎn)M(xo,yo,zo)處的切平面方程為：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,zo)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0x xoyy

13、0zz0法線方程為：-Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)第十章重積分(一)二重積分201、定義:f(x,y)d D2、性質(zhì)：(6條)3、幾何意義：曲頂柱體的體積。4、計(jì)算：1)直角坐標(biāo)I(xF ”1d=1(x,y* ：y支2(x),'ax bf(x,y)dxdy = b dx 20 f(x,y)dyal(x)0<D 一 (x,y)i(y) x 2(y) t< Mc y dd2(y)f(x,y)dxdy - dy f(x,y)dxci(y)D2)極坐標(biāo)一1（戶P筌盥名） ot < 0 <f(x,y)dxdyD犀,2（）d 1二

14、2）cos, sin ) d（二）三重積分n1、定義： Wnf(x,y,z)dvlimF' " f(Kk,k)vk- 1'網(wǎng)E! 0k 二 12、性質(zhì)：3、計(jì)算：1)直角坐標(biāo)z2(x,y)"'d f(x,yz)dv dxdy J f(x,y,z)dz “先一后二”Dz1(x,y)bHI f(x,y,z)dv - H dzf(x,y,z)dxdy“先二后aDZ2)柱面坐標(biāo) xcos. 二 P-： 一 (3口_= _ ysin陽:一轉(zhuǎn)憶 P P 金z)dddz,Q f(x,y,z)dv 口 f(cos,sin,z)dddzz z3)球面坐標(biāo)x - rsi

15、n cos >y - rsin sin -rcos%f(x，y，z)dv- f(rsin cos,rsinS sin，,rcos)仲2sindrdd（三）應(yīng)用曲面 S:z = f(x,y),(x,y)D 的面積:i(-z)2& x (_z)2dxdy y第十二章無窮級數(shù)1、定義:1）無窮級數(shù):Un Ui n 1U2 U3去Un部分和:正項(xiàng)級數(shù):交錯(cuò)級數(shù):n=：罡N： '+,Uk UiU2U3k r事乙Un, Un己0n1一oc工(1)nUn) Un0 急n-rU2）級數(shù)收斂：若3/ n .:存在，則稱級數(shù)En- 1oOUn收斂，否則稱級數(shù)En1Un發(fā)散丈3）絕對收斂：&#

16、163;UnI攵斂，則ocL Un絕對收斂;n1nF22條件收斂:E Un收斂，而 niqn1一Un慳散，則£ Un條件收斂。ni二定理：若級數(shù)o vni -Un多色對收斂）則工Un必定收斂。ni二2、性質(zhì):1）級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后，不影響級數(shù)的收斂性;2）級數(shù)£ an與工bn分別收斂于和s與（T,則ni_ni 一n1S+ (T3)在級數(shù)中任意加上、去掉或改變有限項(xiàng)，級數(shù)仍然收斂;4)5)3、（anbn）收斂且，其和為級數(shù)收斂，任意對它的項(xiàng)加括號后所形成的級數(shù)仍收斂且其和不變。必要條件：級數(shù)丈乙 UnnJ收斂即limunO.審斂法正項(xiàng)級數(shù):1)定義:.

17、3; Un,nilimSn-joenUn0二s存在;2)y U二ni收斂Sn有界;比較審斂法:工Un,-nix工Vn為正項(xiàng)級數(shù)，且n- i、 Si23,)4)比較法的推論:oCUn , kVn,而工niVn若'Vn收斂，則ni工Un, n己收斂，則Eni00£nOC工Un收斂；若ni-二y Unn力發(fā)散，則J Vn發(fā)散.-niVn為正項(xiàng)級數(shù)，若存在正整數(shù)Un收斂；若存在正整數(shù)m,當(dāng)n4 m時(shí),m,當(dāng)n, m時(shí),i2Un上kVn,而E Vn發(fā)散,則 E Un發(fā)散.n1n1一做題步驟：找比較級數(shù)（等比數(shù)列，調(diào)和數(shù)列,p級數(shù)1/np）;比較大小;是否收斂。5）比較法的極限形式：設(shè)

18、£n1二0Un, E Vn為正項(xiàng)級數(shù),n1-.-(1)若 1imHn -1n 一n Vn(2) 1imUn 0(0414+2)，而工Vn收斂，則工Un收斂;6）比值法:VnUn或 1imUTUS n Vn為正項(xiàng)級數(shù)，設(shè)n 1n - 18oC,而S Vn發(fā)散，則工Un發(fā)散.n1n11imUn= 則當(dāng)11 |(寸，級數(shù)斂；則當(dāng)11xV_ Un發(fā)散；當(dāng)n 1Un_ 1時(shí)，級1 口數(shù)n1cUUn可能收斂也可能發(fā)散.n17）根值法:0a y則當(dāng)11謝，級數(shù)Un為正項(xiàng)級數(shù),設(shè)1imn協(xié) n11時(shí),；Un發(fā)散；當(dāng)1 一數(shù)n 1*£ Un收斂;n18）極限審斂法:工Un為正項(xiàng)級數(shù)，若 nFn1Un發(fā)散；若存在P >1,使得1imnp n交錯(cuò)級數(shù):萊布尼茨審斂法：交錯(cuò)級數(shù):Idn1且1imUn 0）則級數(shù) n:(1)nUn