1、飛機存儲隔間最優(yōu)化問題摘要本文研究某航空公司空運存儲在飛機存儲隔間的貨物問題，為了充分利用飛機存儲隔間，來運三種重量及體積不同的貨物。為了給航空公司提供一種最優(yōu)方案，本文本著為航空公司設(shè)計一種最大限度使用飛機存儲隔間體積的原則，以空運三種貨物的年總收入的最大值為目標函數(shù)。運用線性規(guī)劃的相關(guān)知識，建立相應的數(shù)學模型，并通過Matlab和Lingo軟件對模型進行求解，遞出了一種符合題目要求的最優(yōu)分配方案。再對這些最優(yōu)解進行分析與討論，確定其為有效最優(yōu)解。并以此作為公司對三種貨物運輸安排方式。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃、Lingo的軟件應用、Lagrange乘子法、影子價格、靈敏度分析一、問題的重述考慮一個航

2、運公司空運存儲在飛機存儲隔間的貨物問題。該公司的空運能力是100噸/天，空運費用是250美元/噸。由于飛機存儲隔間體積的限制，公司每天只能移動50000ft3(1ft=304.8mm)的貨物。表1給出了A、B、C三種貨物運輸情況：貨物體積（ft3）重量（噸）ABC550800400304050問題一：基于約束優(yōu)化問題建立數(shù)學模型，并利用Lagrange乘子技術(shù)解決該問題。使用這種方法確定不同貨物每天應各自空運多少，才能讓航空公司收入最大化？問題二：計算每個約束的影子價格，并解釋這些結(jié)果的意思。問題三：考慮如下延伸問題：該公司有能力重新配置它的一些老飛機，以增大儲貨區(qū)域體積。每架舊飛機的改造將花

3、費200000美元，增加2500ft3儲貨區(qū)域。重量限制不改變。假設(shè)飛機每年飛行250天，舊飛機剩余使用壽命大約是5年。從經(jīng)濟角度考慮作此改變是否值得？如果值得，應投入多少架舊飛機？問題四：使用合適的軟件包求解上面線性規(guī)劃問題，驗證上面的結(jié)果。二、問題的分析本題研究的是充分利用飛機存儲隔間來運輸不同重量及體積的貨物，從而使得公司的利潤達到最大值。題目已知各種貨物的體積及重量和相關(guān)約束條件。為了保證每天運載的貨物重量體積大致相同，且能保證該方案能保證公司年收入最大。由此必須得出每天的貨物安排方案。在以上假設(shè)的條件下，我們需要建立多變量有約束條件的數(shù)學函數(shù)模型，達到利潤最優(yōu)化最大化。三、模型假設(shè)與

4、約定假設(shè)1：飛機每天最多只能運輸50000ft3的貨物。假設(shè)2：飛機飛機每天最多只能運100t貨物。假設(shè)3：每天都要運30噸貨物A。假設(shè)4：每天都要運40噸貨物B。假設(shè)5：每天都要運50噸貨物C。假設(shè)6：飛機飛行時不會出現(xiàn)故障，保證正常飛行。假設(shè)7：保證每噸貨物的運費保持不變。假設(shè)8：忽略航空公司飛機的燃料費用及修理維護費用。四、符號說明及名詞定義符號意義單位公司利潤美元公司最大利潤美元貨物A的利潤美元貨物B的利潤美元貨物C的利潤美元運輸貨物A的噸數(shù)噸（t）運輸貨物B的噸數(shù)噸（t）運輸貨物C的噸數(shù)噸（t）飛機倉儲隔間容積立方英尺（ft3）飛機載重噸（t）五、模型的建立及求解5.1問題一的模型5

5、.1.1問題一模型的分析根據(jù)數(shù)據(jù)分析，需要根據(jù)線性規(guī)劃的知識建立利潤最大的數(shù)學模型，使航空公司運載貨物的利潤實現(xiàn)最大化。5.1.2問題一模型的建立5.1.2.1目標函數(shù)的建立由以上分析，得到運載貨物的利潤最大化的規(guī)劃模型，則有目標函數(shù)為：根據(jù)利潤計算方法及所給數(shù)據(jù)，目標函數(shù)中各項表示為：5.1.2.2約束條件的建立由題知，要求每天貨物安排達到最大利潤。則在飛機存儲隔間體積的限制下，有：且航空公司的運載能力有限，有：再則，每天運載三種貨物同樣有重量上限，有：則約束條件可表示為：簡化為：5.1.3問題一模型的求解5.1.3.1問題一模型求解方法Lagrange乘子法這是一個帶有多個約束條件的多變量

6、最優(yōu)化問題，可以使用Lagrange乘子法求解。第1步：確定目標函數(shù)的可行域S目標函數(shù)的可行域S（見圖1）為：圖1 目標函數(shù)的可行域圖第2步：作拉格朗日函數(shù)：第3步：求其對的偏導數(shù)，并使之為零，得到：求解得：5.1.4問題一模型結(jié)果的分析由結(jié)果可以得到當運輸航空公司每天運輸貨物30噸、貨物7.5噸、貨物50，每年得到的利潤最大美元。即公司應按照以上的為30噸，為16.875噸，為50噸的運輸安排運輸貨物。5.2問題二模型5.2.1問題二模型的分析在其它條件不變的情況下，單位資源變化所引起的目標函數(shù)的最優(yōu)值的變化，這是基于線性規(guī)劃中的合理利用有限資源以求得最好的經(jīng)濟效果的規(guī)劃問題。即本題要求A、

7、B、C種貨物每增運1噸時，利潤的增加量。5.2.2問題二模型的建立同問題一的模型相同，即為：5.2.3問題二模型的求解：將應用程序輸入到Lingo軟件中，得到的部分結(jié)果為：ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2） 0.000000 0.1388893）12.500000 0.0000004） 0.000000173.6111155）32.500000 0.0000006） 0.000000194.444443NO.ITERATIONS=1最優(yōu)解下資源增加1“單位”時“效益”的增量：飛機運載空間每增加1立方英尺時，利潤增加0.138889美元，飛機運載能力的增加對利潤不影

8、響，A種貨物每增運1噸時，利潤增加173.611115美元。B種貨物的增運對利潤不影響。C種貨物每增運1噸時，利潤增加194.444443美元。5.2.4問題二模型結(jié)果的分析：5.2.4.1靈敏度分析（以下為部分輸出結(jié)果）RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX1250.00000INFINITY173.611115X2250.00000568.181824250.000000X3250.00000INFI

9、NITY194.444443最優(yōu)解不變時目標函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍（約束條件不變）：的系數(shù)變化范圍（173.61，250）的系數(shù)變化范圍（0，818.2）的系數(shù)變化范圍（55.6，250）RIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250000.00000022500.00000013500.0000003 100.000000 INFINITY 12.5000004 30.000000 18.000000 30.0000005 40.000000 INFINITY 32.5000006 50.0000

10、00 16.071428 50.000000飛機的運輸貨物體積最多增加222500立方英尺，A貨物最多每增運18噸。C貨物最多每增運16噸。5.3問題三模型5.3.1問題三模型的分析由問題二可以得出以下結(jié)論：每增加1立方英尺，利潤就增加0.138889；當增加2000立方英尺時每天增加利潤2000×0.138889=277.778美元；每架飛機增加的利潤277.78×250×5=347225美元。改造一架飛機的凈利潤=347225-200000=147225美元。5.3.2問題三模型的建立同問題一的模型相同，即為：5.3.3問題三模型的求解輸出部分結(jié)果為：LP O

11、PTIMUM FOUND AT STEP3OBJECTIUE FUNCTION VALUE1）22152.78VARIABLEVALUEREDUCED COST X1 30.000000 0.000000 X2 8.611111 0.000000 X3 50.000000 0.000000所以由于對結(jié)果的檢驗航空運輸公司應該值得改裝，應該改裝1架飛機。5.4問題四的解決（見附錄）六、模型檢驗在對模型進行穩(wěn)定性分析的時候，我們常用靈敏度分析來研究原始數(shù)據(jù)不準確或發(fā)生變化時最優(yōu)解的穩(wěn)定性。在研究問題二的模型時，進行了靈敏度分析，得到了以下結(jié)論：最優(yōu)解不變時目標函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍（約束條件不變）

12、的系數(shù)變化范圍（173.61，250）的系數(shù)變化范圍（0，818.2）的系數(shù)變化范圍（55.6，250）、三個變量的系數(shù)在約束條件不變下可在一定范圍內(nèi)變化。顯然，若改變某一參數(shù)，目標函數(shù)的最優(yōu)解變化不大。七、模型的改進與推廣在解決如何安排空運貨物使公司利潤最大化的問題上，我們采用的是線性規(guī)劃的方法。線性規(guī)劃的理論和方法都比較成熟，如果一個問題的限制條件可以寫出某些決策變量的線性方程組或線性不等式組，那我們就可以應用LINGO軟件將該線性規(guī)劃方程解出來得到最優(yōu)解。對于模型二，通過靈敏性分析發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的改變對于最優(yōu)的結(jié)果沒有太大的影響。但是我們的模型還是存在一些缺點，比如我們認定運輸每種貨物的難易程

13、度是一樣的，不會增加其成本。以上建立的模型，在解決最優(yōu)化問題上方便簡單快捷，不僅適用于貨物的運輸問題上，也適用于鋼管的下料問題，投資的收益和風險，奶產(chǎn)品的生產(chǎn)與銷售等一系列問題等。編程運用LINGO軟件，節(jié)約計算時間。八、參考文獻1 全國大學生數(shù)學建模競賽 優(yōu)秀論文匯編。中國物價出版社，20022 宋兆基，徐流美等。MATLAB6.5在科學計算中的應用。清華大學出版社，20053 耿素云.集合論與圖論(理算數(shù)學二分冊)M.北京：北京大學出版社，1997.4 趙可培.運籌學M.上海：上海財經(jīng)大學出版社，2000.九、附錄附錄一：（詳述問題四）用MATLAB軟件包來處理模型一：程序如下：編寫M文件xxgh1.m如下：c=-250 -250 -250;A=550 800 400;1 1 1;1 0 0;0 1 0;0 0 1;b=50000;100;30;40;50Aeq=;beq=;vlb=0 0 0vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)maxZ=-fval運行結(jié)果：Untitledb = 50000 100 30 40 50vlb = 0 0 0Optimization terminated.x = 30.0000 16