1、再保險最優(yōu)分配中的數(shù)學(xué)模型系 別：數(shù)學(xué)系專 業(yè)：信息與計算科學(xué)指導(dǎo)教師：沈純理學(xué)生姓名：王曉雨（B00112805）摘要：本文將討論保險公司的最優(yōu)再保險策略，其中風(fēng)險由復(fù)合泊松過程描述。并在Borch再保險市場模型基礎(chǔ)上討論任何一種風(fēng)險在再保險市場上進(jìn)行交易時，市場上總的風(fēng)險達(dá)到最優(yōu)分配的定義及充要條件。Abstract: In this paper, with fuzzy theory as a tool, the author has discussed the optimum strategy for reinsurance company, and basing on the mode

2、l of reinsurance market by Borch in 1990, the sufficient and necessary conditions for the tactics of optimal reinsurance is given, the application of utility theory in insurance and the nature of the optimal reinsurance tactics is discussed in this article.目錄引 言： 3一、再保險最優(yōu)分配的定義 4二、再保險最優(yōu)分配的充分條件 5三、再保險

3、最優(yōu)分配的必要條件 7參考文獻(xiàn) 9引 言：保險公司通過出售保險而集中了一定的風(fēng)險。隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，一次事故可能造成的物質(zhì)損毀和人身傷亡的損失程度不斷擴(kuò)大，這樣的損失若由單個保險人來履行賠償責(zé)任，很可能導(dǎo)致保險人的財務(wù)困難，甚至因此而倒閉破產(chǎn)。為避免一些偶發(fā)事件對公司的打擊，維持穩(wěn)定的經(jīng)營，保險公司必須購買再保險來分散一部分風(fēng)險。再保險(Reinsurance也稱分保，是保險人將其承擔(dān)的保險業(yè)務(wù)，以承保形式，部分轉(zhuǎn)移給其他保險人的行為。作為“保險的保險”，再保險對于分散保險經(jīng)營風(fēng)險，控制保險責(zé)任，穩(wěn)定業(yè)務(wù)經(jīng)營，擴(kuò)大保險公司承保能力，促進(jìn)保險業(yè)的健康發(fā)展具有非常重要的作

4、用。然而，原保險公司減少了承擔(dān)風(fēng)險的同時，保費(fèi)收入也因支付再保險費(fèi)用而減少。如何權(quán)衡利潤和風(fēng)險這兩者的關(guān)系，引出了對最優(yōu)再保險策略的研究。另一方面，保險公司按照預(yù)先設(shè)定的投資收益率和理賠發(fā)生的概率分布計算保費(fèi)，當(dāng)實際收益較高或?qū)嶋H理賠少于預(yù)先給定的水平時，保險公司的盈余會比預(yù)期多，這多出的一部分將以紅利(dividend的形式由保險公司或投保人分享。但紅利的發(fā)放若超過一定的限制，必然會影響公司的償付能力，因此如何確定合適的紅利支付，也是一個最優(yōu)分問題。下面我們就將用數(shù)學(xué)的方法解決實際問題中關(guān)于再保險最優(yōu)分配的若干問題：假設(shè)市場有家保險公司，分別承擔(dān)了種風(fēng)險，用定義在概率空間上的隨機(jī)變量表示。假

5、定保險費(fèi)由市場決定，而非保險公司的決策，并且任何一次的交易行為都不會影響保費(fèi)的確定。即保費(fèi)代表保險公司在再保險市場上將風(fēng)險轉(zhuǎn)讓時，其他保險公司所愿意接受的價格。在再保險市場上，保險公司可以購買或接受關(guān)于的再保險合同，并利用Proportional合同的線性組合構(gòu)造再保險策略。用效用函數(shù)描述保險公司對風(fēng)險的態(tài)度。具有形式：，其中隨機(jī)變量表示財富，為嚴(yán)格單調(diào)遞增的凸函數(shù)。我們將在Borch再保險市場模型基礎(chǔ)上討論任何一種風(fēng)險在再保險市場上進(jìn)行交易時，市場上總的風(fēng)險在家保險公司中達(dá)到最優(yōu)分配的定義及充要條件。一、再保險最優(yōu)分配的定義在保險決策中，人們常常愿意支付比風(fēng)險所帶來的平均損失多得多的保險費(fèi)去

6、購買保險。這種令人費(fèi)解的現(xiàn)象可用效用理論來進(jìn)行解釋。購買保險或分出保險業(yè)務(wù)的人，一般都是厭惡風(fēng)險的，因此本文設(shè)所討論的效用函數(shù)滿足：且；Borch再保險市場模型如下:1. 設(shè)在個保險公司，每個公司擁有一筆業(yè)務(wù)，第個保險公司所擁有業(yè)務(wù)的風(fēng)險狀況由以下兩個因素確定：(1 風(fēng)險分布, 是第個保險公司業(yè)務(wù)中索賠額不超過的概率。(2 資金，是指第個保險公司可以用來支付索賠的基金。假設(shè)是相互獨(dú)立的，為第個保險公司作為原保險人所面臨的索賠額。2. 設(shè)是各保險公司業(yè)務(wù)索賠額分別為時，第個保險公司的賠償額，顯然 =設(shè)為第家保險公司的效用函數(shù)。 (實際上表示了家保險公司之間的再保險合同，在此再保險合同之下，第家保

7、險公司的效用為： （1）為簡單起見，令表示向量，為的聯(lián)合分布，y表示,則表達(dá)式(1變?yōu)椋?若對任意的，滿足 ；則稱為最優(yōu)再保險策略。如果保險公司的行為規(guī)范合理，則保險公司一定不會簽訂效用低的再保險合同。下面討論最優(yōu)再保險合同的充分條件和必要條件，并討論特殊情形下最優(yōu)再保險合同的具體形式。二、再保險最優(yōu)分配的充分條件定理：是最優(yōu)再保險合同的充分條件是:存在個正數(shù)使得= 證明：令 = + 對任意x，的絕對值任意小，且 =0因此 =即 = 是任意一種再保險合同。=而，的絕對值任意小，所以= （2）(2式兩邊同時除以，并對求和，得=其中= 1；因為 =0，所以 =0 （3）由于> 0， .只有=

8、0 時，(3式左邊每項才是非負(fù)的。因此，即 = ，是最優(yōu)再保險策略。設(shè)某再保險合同滿足：= （4）其中> 0, ,則是最優(yōu)再保險合同.顯然= （5）(4、(5兩式分別對求偏導(dǎo)，則= （6）(6式兩邊同時除以并對求和，則 (7(7式右邊與無關(guān)，因此，對任意值=因此是單變量z =的標(biāo)量函數(shù)，即所以最優(yōu)再保險合同的這一性質(zhì)說明，如果保險公司的行為規(guī)范合理，則保險公司之間經(jīng)談判之后所達(dá)到的最優(yōu)策略是一個與總索賠額有關(guān)的函數(shù)，與每一筆索賠分量無關(guān)。三、再保險最優(yōu)分配的必要條件定 理:若是最優(yōu)再保險合同,則必存在個正數(shù)，使 證 明:這里用反證法證明上述結(jié)果，即假設(shè)不存在個正數(shù)使： 我們將證明:必存在不全為0 的函數(shù)使： 并對至少一個是嚴(yán)格不等式，即不是最優(yōu)再保險合同。設(shè)其它 既為再保險合同，并且有：其中、均非空集,這是由效用函數(shù)的性質(zhì)決定的；因為若是空集，則對所有的x有：由于效用函數(shù)關(guān)于線性變換是唯一確定的，在之間的關(guān)系只差一個倍數(shù)c，但是，除非 否則可找到c，使；所以我們可選擇及滿足；則及均為正，且 所以不是最優(yōu)策略。上面兩部分結(jié)論我們實際上證明了為最優(yōu)再保險策略的充要條件是: 存在個正數(shù)，使 如果保險公司的效用函數(shù)為：，則可證明最優(yōu)再保險策略為：其中，；參考文獻(xiàn)2Borch, K., Economics of Insurance, North-Hollom