1、 渝利線不同類型曲線中的坐標正反算 黃萬龍 渝利項目第三總隊項目部摘要 :隨著高速鐵路的發(fā)展,等級的提高,質量和控制要求都有所提高,特別是用牛頓迭代法在不同的曲線中的坐標反算,在幾公里的渝利線線路里程樁號的測設和判斷彭家坡隧道超欠挖情況特別簡單明了,大大的提高了工作效益,牛頓迭代法在滿足一定精度要求不同曲線中的坐標反算有較大的潛力。關鍵詞：坐標正算；圓曲線、緩和曲線、坐標反算、牛頓迭代一、 渝利線三總隊標段簡介 三總隊標段位于湖北省利川市境內，起點樁號是清江跨線雙線特大橋的0#空心橋臺的臺尾里程，其里程樁號為DK267+460,終點里程位于利川市涼霧鄉(xiāng)境內,其里程樁號為DK274+982.65

2、4。本標段以左線為設計線,曲線包括圓曲線與緩和曲線兩種類型,所處環(huán)境類別為碳化環(huán)境T1、 T2級別,地震動峰值加速度為。清江跨線雙線特大橋圓曲線（及緩和曲線）上，簡支梁按平分中矢布置。以左線為基線，線與線間按扇形布置法布置梁片，連續(xù)梁采用曲線曲作，懸灌施工。三總隊曲線要素表見附表一 。二、 多種類型曲線坐標的正算1、 直線段的坐標正算設起點坐標為X0:Y0,直線段距離為S,起點方位角為CX1= X0+Scos(C);Y1= Y0+ Ssin(C)。已知任意兩點坐標(X0,Y0): (X1，Y1)反算方位角用如下方法來判斷方位角的值。示意圖如下：A=tan-1 (Y1- Y0)( X1- X0)

3、y= Y1- Y0 ; x= X1- X0 ,當y>0; x>0C= A ; 當y>0; x<0C=180-A; 當y<0; x<0C=180+A ; 當y<0; x>0C=360-A2、 圓曲線段的坐標正算 設起點坐標為X0:Y0 ，曲線半徑為R ，轉角為 ，起點方位角為C圓曲線上任意點坐標,示意圖如下： 2.2 在圓曲線上任意一點作切線、法線，連上弦長，起點切線于弦長的夾角為A，起點切線方位角為CC弦 =C+A ，曲線外任意點偏距為E,起點歷程裝好為K0, 任意點歷程樁號為K弦長距離S=2Rsin ，A=設計圓曲線上任意點坐標X1=X0+(K

4、-K0)cos (C弦) :Y1= Y0+(K-K0)sin(C弦)。設計圓曲線外左任意坐標X2= X1+Ecos(C弦+A-90): Y2= Y1+Esin(C弦+A-90) ，設計圓曲線外右任意坐標X3= X1+Ecos(C弦+A+90): Y3= Y1+Esin(C弦+A+90)。例如清江跨線雙線特大橋DK268+500在圓曲線上，計算該里程樁號上對應的任意點的坐標計算。:Y0=447010.179:R=3500 :K-K0=301.84:C=55.55477:E=5 X1=3348900.875: : X2=3348904.996:Y2=447248.408:X3=3348896.75

5、5:Y3=447254.072。 3、緩和曲線段的坐標正算 3.1多種類型緩和曲線曲率,重點介紹高速鐵路與公路等其他各種類型緩和曲線上任意點坐標的計算,其曲率K計算公式如下： 三次拋物線：K= 五次拋物線：K=3-2 七次拋物線：K=3-15+10 七次四項式：K=5-10+10 半波正弦: K=1- cos() 全波正弦: K=1- 緩和曲線上任意點坐標正算的通用方法 以三次拋物線為例計算緩和曲線上任意點坐標(建立以緩和曲線起點為坐標圓點的直角坐標系,起點的切線方向為X軸，與X垂直方向為Y軸，采用類似的方法可以計算出其他類型緩和曲線上任意點坐標和進行精度分析，使其在實際工程中滿足要求。 根據(jù)

6、曲率定義 ，緩和曲線偏角和曲率k存在如下關系： =k=k= x、y 與偏角存在如下幾何關系： dx=cos()x=cos()= cos() dy=sin() y=sin()= sin() 最后可以由坐標的平移和旋轉，轉化為路線統(tǒng)一坐標系。 偏距法計算緩和曲線上任意點坐標 偏距法在施工中比較適用,設置起點坐標為X0:Y0,起點切線方位角為C,偏角為A,偏距為E,緩和曲線上任意點坐標為X1:Y1，緩和曲線外任意點坐標為X2:Y2，緩和曲線相對坐標為M ,N。緩和曲線起點里程為K，任意點里程為K,s=K- K ,緩和曲線段長度為L,半徑為R,其計算示意圖如下： 過所求坐標點作弦長，M=S-S(40R

7、L)+S(3456RL) N=S(6RL)-S(336RL)+S(42240RL) A=tan(NM),B=C+A ,弦長d=,垂直于法線方 向的方位角C=C+2A90 ,例如彭家坡隧道進口里程樁號為DK270+503,出口里程為DK270+846，其中DK270+710.274DK270+846屬于緩和曲線段, X0=3349490: Y0=449715.527:R=3500:L=380,假設算DK270+800對應DK270+800緩和曲線上的坐標 X1=X0+dcos (B): Y1=Y0+dsin (B) 對應點相應里程樁號偏距為E=10米的坐標 X2、3=X1+Ecos (C): Y

8、2、3=Y1+Esin (C) X2=3349501.400 : X3=3349521.373 : Y3=449426.558 三、 多種類型曲線的坐標反算1、 直線段的坐標反算設起點坐標為X0，Y0，起點里程為K，起點方位角為，反算點坐標為X1，Y1兩點之間的方位角=tan()通過4800計算器編寫程序，當J<0J=J+360該點里程K=K+cos(J) 該點距設計線距離E=sin (J)2、 圓曲線段的坐標反算設圓弧形段起點坐標為X0，Y0，起點里程為K，起點切線方位角為，反算點坐標為X2，Y2，圓心為o 半徑為R。坐標為X1，Y1。 起點方位角為半徑指向圓心方向的方位角為+90圓心

9、坐標為X1= X0+Rcos(+90), Y1= Y0+Rsin(+90) 圓心與被反算點的方位角 =tan(，根據(jù)坐標象限判斷值。圓心角A=-(-90)K = K+RA偏距E=R-。例如反算彭家坡隧道DK270+600，次里程位于圓曲線上，X0=3346016.573: Y0=449233.8654, K,R=3500: Y2=449226.1599,通過以上反算公式 K=270599.99843、 緩和曲線坐標反算 3.1 在直線、圓曲線上坐標反算相對于緩和曲線來說比較簡單，但是緩和曲線比較復雜,用牛頓迭代法來反算，在滿足一定精度要求的情況下能反算緩和曲線段。因為按照求坐標的公式變換來的求

10、曲線長的公式都是一元高次方程，要求精確解相對困難。牛頓迭代法的基本原理：以設計線坐標為例，如圖5-1所示意，o為曲線上已知 樁號上的點P為曲線上待求樁號的點，用該點與起算點的距離，起算點的切線，點P到切線的垂線構造直角三角形，用切線長作為里程迭代增量，再用求得的點作為起算點繼續(xù)迭代，當起算點的切線與P點的切線重合時，迭代收斂，切線長為0，角差=0 原理和設計線上原理一樣,同樣用該點與取算點距離,起算點的切線點P到切線的垂線構造直角三角形, 用切線長來作為里程迭代增量，再用求得的點作為起算點繼續(xù)迭代，當起算點的切線與P點的切線重合時，迭代收斂，切線長為0，角差=0,只是在非設計線里程反算坐標里程

11、時 ,有可能出現(xiàn)迭代的切線長大于設計線上對應的曲線長度,則此時迭代點就可能在任意點對應的設計曲線上的里程之后,而此時兩個方位角的夾角為鈍角,迭代增量將出現(xiàn)負值,計算結果仍然能減滿足我們得到要求,該方法可以用于各種曲線,不管是右偏還是左偏,而且不管是從前往后迭代還是從后往前迭代,都能滿足要求。其計算示意圖如下： 牛頓迭代法會出現(xiàn)任意點在圓心或離中樁距離大于圓心的情況,這種情況求得的里程也許是負里程,也許有多個解,但肯定不是所要的解,這種情況稱為無解,無解情況在工程實際中是不存在的,如到設計線的距離大于等于半徑的高速鐵路是不存在的。 對于一般情況,迭代次數(shù)越多,精度越高，迭代增量越小，結果越接近準確值，對于特殊情況，任意點離設計線的距離為D，當D/R>1就會出現(xiàn)多解或無解；當D/R=1無解；D/R1時，D/R值越大，精度越小，D/R值越小，精度越高。因此在小半徑曲線上，該方法的精度較低，而在大半徑曲線或直線上所求得的精度較高，對于坐標反算里程成果的驗證，需要將反算所求得的里程跟偏距代入正算程序里去 ，通過兩者對比來驗證結果的可靠性。四、結果及其運用 以上坐標計算思想大大的簡化了彭家坡隧道判斷超欠挖