機(jī)密★啟用前

2025年無(wú)錫市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)

本試卷分試題和答題卡兩部分，所有答案一律寫在答題卡上，試卷滿分150分，考試時(shí)間

120分鐘。

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必用0?5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡的相

應(yīng)位置上；認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)是否與本人的相符合。

2.答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的正確選項(xiàng)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后

再選涂。

3.答主觀題必須用0?5毫米黑色墨水簽字筆作答，答案寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位

置上。如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按

以上要求作答的答案無(wú)效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號(hào)涂黑.）

1.計(jì)算-2+3的結(jié)果為（）

A-5B.-1C.1D.5

2.2025年春節(jié)期間，無(wú)錫市65家備案博物館接待游客總數(shù)約819000人次.數(shù)據(jù)819000用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.8.19xl05B.81.9xl04C.0.819xl05D.0.819xl06

3.下列運(yùn)算正確的是()

A.a2+a4=a6B.a2-a4=a6

C(a2)=abD./

4.?組數(shù)據(jù)：13,14,14,16,18,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是()

A.15,14B.14,15C.14,14D.15,15

5.在V/8C中，D、E分別是48、4C的中點(diǎn).若DE=4,則BC的長(zhǎng)為（)

A.2B.4C.6D.8

6.已知圓弧所在圓的半徑為6,該弧所對(duì)的圓心角為90。，則這條弧的長(zhǎng)為()

A.2兀B.3兀C.4兀D.6幾

7.分解因式/一4。的結(jié)果是()

AQ(/+4)B.a(a-4)

C.a(a+2)(〃-2)D.a^a2-1)

8.小亮與小紅周末去十里明珠堤的環(huán)湖綠道上騎行，小亮的速度是小紅速度的1.2倍，兩人各自騎行了6km,

小亮騎行時(shí)間比小紅少用了4min.設(shè)小紅的騎行速度為xkm/h,則可列方程為()

6466,6

A.---------1-------——B.---+4=一

L2x60x1.2xx

6.6

c.J—D.-----4=—

\2x60x\.2xx

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，RSOA4的直角邊03在x軸上，40、力8分別與反比

例函數(shù)y="(〃>0,x>0)的圖象相交于點(diǎn)。、D,且C為彳。的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作％軸的垂線，垂足為E,

A

連接。E.若V3OE的面積為?，則人的值為(

)

55

A.-B.-C.5D.10

42

io.若函數(shù)弘的圖象上存在點(diǎn)函數(shù)必的圖象上存在點(diǎn)。，且2、。關(guān)于y軸對(duì)稱，則稱函數(shù)必和為

具有“對(duì)偶關(guān)系”，此時(shí)點(diǎn)戶或點(diǎn)。的縱坐標(biāo)稱為“對(duì)偶值”.下列結(jié)論：

①函數(shù)%=2x+3與函數(shù)%=一工+1不具有“對(duì)偶關(guān)系”；

②函數(shù)%=2x+3與函數(shù)歹2=一工+1的“對(duì)偶值”為一1;

③若1是函數(shù)M=去+3與函數(shù)為=’的“對(duì)偶值”，則〃=2：

x

IG

④若函數(shù)%二-2t+力（-2?%0-1）與函數(shù)刈=一">0）具有“對(duì)偶關(guān)系”，則30力

?XZ

其中正確的是（）

A.①@B.②③C.①③④D.②③@

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填

寫在答題卡相應(yīng)的位置上.）

11.卜3|=---------.

12.函數(shù)y=—!—中的自變量x的取值范圍_________.

x-4

13.請(qǐng)寫出單項(xiàng)式/人的一個(gè)同類項(xiàng)：.

14.請(qǐng)寫出命題“若則+的逆命題：.

15.正七邊形的內(nèi)角和為度.

16.如圖，48與。。相切于點(diǎn)8,連接4。，過點(diǎn)。作40的垂線OC,交。。于點(diǎn)C,連接力C,交線

17.如圖，菱形49C。的邊長(zhǎng)為2,ZABC=60°,對(duì)角線彳。、B。相交于點(diǎn)過點(diǎn)。作/C的平行

線交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接MN.則MN的長(zhǎng)為.

18.在平行四邊形紙片43C。中，ZABC=60°,AB=4,=8.現(xiàn)將該紙片折疊，折痕與紙片為

的兩邊交于點(diǎn)￡、F.若E與A重合，F(xiàn)在3c上,且EF1BC,則被折痕分成的△E5廠與四邊形

EFCQ的面積的比為：若折痕￡尸將紙片4BCQ分成兩個(gè)四邊形，且被分成的兩個(gè)四邊形的

面積的比為1:3,則折痕后尸長(zhǎng)的取值范圍是

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查的樣本容量為,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整：（畫圖后請(qǐng)標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）

（2）若該校七年級(jí)共有1000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)計(jì)劃參加“機(jī)器人”社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)；

（3）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)分析情況，請(qǐng)你為該?？萍忌鐖F(tuán)活動(dòng)的順利開展給出一條合理建議.

24.如圖，4c為正方形43CQE勺對(duì)角線.

（1）尺規(guī)作圖：作4。的垂直平分線/交力。于點(diǎn)E,在/上確定點(diǎn)尸，使得點(diǎn)9到/8/C的兩邊距離

相等；（不寫作法，保留痕跡）

（2）在（1）的條件下.求D/TRI的度數(shù).（請(qǐng)音接寫出DE〃的度數(shù)）

25.如圖，48是。。的直徑，Z）是弦4C延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CO=C4的延長(zhǎng)線交OO于點(diǎn)E.

（2）若4B=3,cos^ABE=—,求月。的長(zhǎng).

3

26.某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)鼠物體的高度，開展了如下綜合與實(shí)踐活動(dòng).

【活動(dòng)主題】測(cè)量物體的高度

【測(cè)量工具】卷尺、標(biāo)桿

【活動(dòng)過程】

活動(dòng)1：測(cè)量校內(nèi)旗桿的高度

該小組在校內(nèi)進(jìn)行了旗桿高度的測(cè)量活動(dòng)（示意圖1）.在點(diǎn)尸處豎立標(biāo)桿功，直立在點(diǎn)。處的小軍從點(diǎn)P

處看到標(biāo)桿頂石、旗桿頂/在同一條直線上.已知旗桿底端M與歹、。在同一條直線上，EF=2.8m,

尸°=1.4m,QF=2m,FN=16m.

（圖1）

（1）求旗桿MN的高度.

活動(dòng)2：測(cè)量南禪寺妙光塔的高度

南禪寺妙光塔，簡(jiǎn)稱'‘妙光塔"，始建于北宋雍照年間，是無(wú)錫著名的文物保護(hù)單位之一、該小組為全面了

解本土歷史文物，決定走出校園去測(cè)量妙光塔的高度.他們到達(dá)妙光塔后，發(fā)現(xiàn)塔頂A和塔底中心4均無(wú)

法到達(dá).經(jīng)研究，設(shè)計(jì)并實(shí)施了如下測(cè)量活動(dòng)（示意圖2）.在地面一條水平步道上的點(diǎn)尸處豎立標(biāo)桿Eb,

直立在點(diǎn)。處的小軍從點(diǎn)尸處看到標(biāo)桿頂E、塔頂A在同一條直線上.小軍沿尸。的方向走到點(diǎn)。'處，此

時(shí)標(biāo)桿￡尸豎立于尸處，從點(diǎn)P處看到標(biāo)桿頂E'、塔頂A在同一條直線上.已知EF、PQ.E'F'

和在同一平面內(nèi)，點(diǎn)&F、0、F\0'在同一條直線上，EF=E'F'=28m,PQ=P'Q=1.4m,

/0=1.2m,尸。'=2.2m,QQ=30m.

（2）求妙光塔48的高度.

27.已知二次函數(shù)y=--i%2+mx+m（mwO）圖象的頂點(diǎn)為A,

與J'軸交于點(diǎn)4,對(duì)稱軸與x軸交于

點(diǎn)C.

（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,6），求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；

⑵若加＜3,點(diǎn)尸（2,凹）和。［4,%）在該函數(shù)圖象上，證明：%＞必；

（3）若V力〃。是等腰三角形，求〃，的值.

28.【數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)】

某校數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下探究：以V力內(nèi)部任意一點(diǎn)。為中心，畫出與VABC成中心對(duì)稱的

△力'8'C'.當(dāng)點(diǎn)。處于不同位置時(shí)，從“形”的角度發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形的重疊部分只可能有兩種情況如圖I

所示的平行四邊形，如圖2所示的有三組對(duì)邊分別平行的六邊形（稱為“平行六邊形”）；從“數(shù)”的角度

發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形重疊部分的面積在不斷變化.

組員小明選擇面積為1的V45C,以其內(nèi)部任意一點(diǎn)。為中心，畫出與之成中心對(duì)稱的△/力'。'，探究了

下列問題，請(qǐng)你幫他解答.

（1）如圖3,BC=2,當(dāng)點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)H落在邊8C上時(shí)，兩個(gè)三角形重疊部分為

aAQAP.

①若4H_L8C,求4。的長(zhǎng)；（請(qǐng)直接寫出答案）

②若口ZQ47的面積為:，求4c的長(zhǎng).

（2）如圖4,點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，點(diǎn)。在力。上，若兩個(gè)三角形的重疊部分為“平行六邊形”

EFGHMN,求“平行六邊形"￡FGH肋V面積的最大值，并指出此時(shí)點(diǎn)。的位置.

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號(hào)涂黑.）

1.計(jì)算一2+3的結(jié)果為（）

A.-5B.-1C.1D.5

【答案】C

【解析】

【分析】本題考皆有埋數(shù)的加法運(yùn)算.絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用

較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值，由此可解.

【詳解】解:-2+3=1,

故選：C.

2.2025年春節(jié)期間，無(wú)錫市65家備案博物館接待游客總數(shù)約819000人次.數(shù)據(jù)819000用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.8.19xl05B.81.9xl04C.0.819xl05D.0.819xl06

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定。與〃值是關(guān)鍵.科學(xué)記數(shù)法的表示

形式為axio”的形式，其中1wa<io,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)

了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值210時(shí)，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值

<1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：819000=8.19xl05.

故選:A

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.a24-1/4=a6B.a2-a4=a（'

C.（cJ）=ac'D.a4-i-a=a4

【答案】B

【解析】

【分析】此題考杳了幕的運(yùn)算和合并同類項(xiàng)，根據(jù)尋的運(yùn)算法則和合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、/與不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、故本選項(xiàng)符合題意：

C、（/）4=/=。6,故本選項(xiàng)不符合題意；

D、故本選項(xiàng)不符合題意.

故選:B.

4.一組數(shù)據(jù)：13,14,14,16,18,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.15,14B.14,15C.14,14D.15,15

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查平均數(shù)和眾數(shù)，根據(jù)平均數(shù)和眾數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：平均數(shù)為：（13+14+14+16+18）x-=75x1=15,

5個(gè)數(shù)據(jù)中，14出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，因此眾數(shù)為：14,

故選：A.

5.在VZ8C中，D、E分別是4B、4C的中點(diǎn).若DE=4,則8c的長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是

解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示，

B乙------------------XC

?：。、E分別為4?、NC的中點(diǎn)，

???DE是YABC的中位線，

BC-2DE—8.

故選：D.

6.已知圓弧所在圓的半徑為6,該弧所對(duì)的圓心角為90。，則這條弧的長(zhǎng)為（）

A.2兀B.3兀C.4兀D.6九

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，利用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式計(jì)算即可.弧長(zhǎng)公式：/=繇（弧長(zhǎng)為/,圓心

角度數(shù)為〃，圓的半徑為廠），熟記公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：/=需^=3幾，

1o（）

故選:B.

7.分解因式/-4〃的結(jié)果是()

A.4(Q、4)B.

C.a(a+2)(c/-2)D.a^a--1)

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：/-4〃=4(/-4)=。(〃+2)(〃-2).

故選：C

8.小亮與小紅周末去十里明珠堤的環(huán)湖綠道上.騎行，小亮的速度是小紅速度的1.2倍,兩人各自騎行了6km,

小亮騎行時(shí)間比小紅少用了4min.設(shè)小紅的騎行速度為xkm/h,則可列方程為()

64666

A.----+...——B.---+4=-

1.2x60x\.2xx

646工-46

C.--------——D.

\.2x60xx

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.設(shè)小紅的騎行速度為

xkm/h,則小亮的速度為1.2xkm/h,根據(jù)“兩人各自騎行了6km,小亮騎行時(shí)間比小紅少用了

4min”列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)小紅的騎行速度為xkm/h,則小亮的速度為1.2xkm/h,

646

根據(jù)題意，可得一^+力

1.2x60x

故選：A.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，RSO44的直角邊。8在x軸上，AO.44分別與反比

k

例函數(shù)歹=一(2>0/>0)的圖象相交于點(diǎn)。、。，且。為4。的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作X軸的垂線，垂足為E,

連接OE.若VBOE的面積為之，則左的值為()

4

42

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握反比

例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

J\（女、

設(shè)ca,-,可證明則OB=2Q,BE=a,那么。2a,—,再由

kaJk2aJ

11kk5

S^DE=-BExBD=-ax—=-=-,即可求解,

222a44

【詳解】解：設(shè)c（"，g）

由睡意得ZCEO=NABO=90°,

??.CE〃AB,

:.AOCEsAOAB,

???c為力。的中點(diǎn)，

.CE_OCOE\

a1

----=一

OB2

OB=2。，BE=a

（k\

：.D2a,—,

I2a

：,S,,BDE=-BExBD=-ax—=-=-t

△BDE222〃44

k=5,

故選:C.

10.若函數(shù)必的圖象上存在點(diǎn)P,函數(shù)為的圖象上存在點(diǎn)。，且P、O關(guān)于）'軸對(duì)稱，則稱函數(shù)必和為

具有“對(duì)偶關(guān)系”，此時(shí)點(diǎn)尸或點(diǎn)。的縱坐標(biāo)稱為“對(duì)偶值”.下列結(jié)論：

①函數(shù)y=2x+3與函數(shù)%=一工+1不具有“對(duì)偶關(guān)系”；

②函數(shù),=2x+3與函數(shù)為=一工+1的“對(duì)偶值”為一1：

③若1是函數(shù)乂=〃%+3與函數(shù)為二,的“對(duì)偶值”，則々=2：

X

1Q

④若函數(shù)必=-2%+6（-2?工工一1）與函數(shù)%=一（1>0）具有“對(duì)偶關(guān)系”，則306?弓.

其中正確的是（）

A.①?B.②③C.①③④D.②?④

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查新定義展開，圍繞“對(duì)偶關(guān)系”和“對(duì)偶值”的定義逐一求解即可；

根據(jù)尸、。關(guān)于J'軸對(duì)稱，稱函數(shù)必和先具有“對(duì)偶關(guān)系”，貝J尸、。橫坐標(biāo)是相反數(shù)關(guān)系，縱坐標(biāo)相

等，逐一分析即可.

【詳解】解：①設(shè)函數(shù)%=2x+3上點(diǎn)p坐標(biāo)軸為（見2〃?+3）,

；P、。關(guān)于，軸對(duì)稱

???。點(diǎn)坐標(biāo)為（-〃7,m+1）

若點(diǎn)尸或點(diǎn)。的縱坐標(biāo)稱相等，

1m+3=m+l解得：m--2，

則存在這樣的點(diǎn)Q、。，使得他們關(guān)于y軸對(duì)稱，

???函數(shù)乂=2x+3與函數(shù)歹2=一工+1具有“對(duì)偶關(guān)系”

所以①錯(cuò)誤；故不符合題意：

②當(dāng)必=必=-1時(shí)，則—l=2x+3,解得X=—2；-l=-x+l,解得x=2；橫坐標(biāo)是相反數(shù)，所以②

正確，故符合題意；

③當(dāng)弘=%=1時(shí)，則1=’,解得了=1：

X

因?yàn)槭呛瘮?shù)乂=h+3與函數(shù)必二’的“對(duì)偶值”，

x

所以函數(shù)必二丘+3的工=一1,代入得：1=一4+3,解得4=2,所以③正確，故符合題意；

④設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為（嘰-2加+力），則點(diǎn)。坐標(biāo)為（一嘰一，,

???P、。橫坐標(biāo)是相反數(shù)關(guān)系，縱坐標(biāo)相等

；?一2〃?+b=,整理彳導(dǎo)b—2訓(xùn),

nirn

v-2</w<-l,對(duì)于函數(shù)y=2切一~-,y隨〃?的增大而增大，

m

117

當(dāng)加=_2時(shí)，h=2x（-2）------=-4+—=—；

''-222

當(dāng)〃1二-1時(shí)，b=2x（-1）——=-2+1=-1；

—1

79

A—</?<-1,而不是3WAW-,所以④錯(cuò)誤，故不符合題意：

22

故選:B.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填

寫在答題卡相應(yīng)的位置上.）

11.卜3|=-

【答案】3

【解析】

【分析】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，根據(jù)絕對(duì)值的含義可得答案.

【詳解】解：卜3|=3,

故答案為：3

12.函數(shù)y=」一中的自變量x的取值范圍_________.

x-4

【答案】xw4

【解析】

【分析［根據(jù)分式的意義，分母不等于0,可以求出x的范圍.

【詳解】解:根據(jù)題意得：x-4翔，

解得：x/4.

故答案為X*.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，函數(shù)自變量的范圍i般從三個(gè)方面考慮：

（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變最可取全體實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；

（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù).

13.請(qǐng)寫出單項(xiàng)式/人的一個(gè)同類項(xiàng)：.

【答案】—2/6（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題主要考查的是同類項(xiàng)的定義：“所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)”，據(jù)

此求解即可，掌握同類項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?jiǎn)雾?xiàng)式/b的一個(gè)同類項(xiàng)：-2a2b（答案不唯一），

故答案為：-2/b（答案不唯一;.

14.請(qǐng)寫出命題“若a>b,則。+1〉6+1”的逆命題：.

【答案】若。+1>6+1,則

【解析】

【分析］此題考查逆命題，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)

論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另?一個(gè)命題的逆命題.由此

即可解答.

【詳解】解：“若a>b,則。+1〉力+1”的逆命題為：若。+1>6+1,則。>力，

故答案為：若+則”>6.

15.正七邊形的內(nèi)角和為度.

【答案】900

【解析】

【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)多邊形內(nèi)角和

公式5-2）x180。計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：正七邊形的內(nèi)角和為（7-2卜180。=900。，

故答案為：900.

16.如圖，43與。。相切于點(diǎn)4,連接80,過點(diǎn)。作80的垂線OC,交。。于點(diǎn)C,連接4C,交線

段OB于點(diǎn)D.若力8=3,。。=2,則tag的值為

【解析】

【分析】利用平行線的判定與性質(zhì)證明△OQCS48ZX4,再求得BQ,再利用直角三角形的邊角關(guān)系解答

即可.

【詳解】解：???43與0。相切于點(diǎn)8,

???0B工AB,

???OCAOB,

???OC//AB,

???AODCs^BDA,

.OPOC

??訪一而‘

???0B=0C=2,

,2-BD=2

**BD~3'

??.BD=-.

5

6

故答案為：—.

J

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握上述定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，菱形45co的邊長(zhǎng)為2,AABC=60°,對(duì)角線NC、3。相交于點(diǎn)過點(diǎn)。作力C的平行

線交4C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接MN.則MN的長(zhǎng)為

【答案】布

【解析】

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先證明△片。。為等邊三角形，進(jìn)而

得到4。二2,三線合一求出的長(zhǎng)，證明四邊形力CN。為平行四邊形，進(jìn)而得到。N=/C=2,推

出4MDN=90°,再利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???菱形44co的邊長(zhǎng)為2,AABC=60°,

AAC1BD,NADC=ZABC=60。,NADB=NCDB=-ZADC=30°,AD=DC=2,AD//BC,

2

???力CO為等邊三角形，

AAC=AD=2,ZACD=60°,

VACJLBD,

：.AM=^AC=\,DM=dAD?-AM?=5

■:DN//AC,

，四邊形4CM9為平行四邊形，/CDN=/ACD=60。,

：.DN=AC=2,/MDN=4CDB+4CDN=90°,

???MN=JQM+DM2=不；

故答案為：J7.

18.在平行四邊形紙片48CQ中，^ABC=60°,AB=4,8c=8.現(xiàn)將該紙片折疊，折痕與紙片48co

的兩邊交于點(diǎn)E、F.若E與A重合，尸在8c上，且則被折痕分成的aEB尸與四邊形

“CO的面積的比為；若折痕?將紙片48co分成兩個(gè)四邊形，且被分成的兩個(gè)四邊形的

面積的比為1:3,則折痕所長(zhǎng)的取值范圍是.

【答案】①.1:7##；?.<46或2^<EF<25

【解析】

【分析】若七與A重合，”在8c上，目EFJ.BC,則/8/￡=90°,由30°角所對(duì)直角邊與斜邊的關(guān)

系，可得4/，根據(jù)勾股定理可得4b,從而可得3b的面積和平行四邊形紙片48CO的面積，相減

可得四邊形的面積，進(jìn)而可得AEB尸與四邊形石尸。的面積的比：取力。的中點(diǎn)用，BC的中

點(diǎn)N,連接MV,連接8M,AN,交于點(diǎn)K,取彳B的中點(diǎn)尸，CO的中點(diǎn)。，連接P。，連接

A0tDP,交于點(diǎn)「，當(dāng)ER過點(diǎn)K或當(dāng)過點(diǎn)T時(shí)，折痕Eb將紙片48C。分成兩個(gè)四邊形，且

被分成的兩個(gè)四邊形的面積的比為1:3,分別求出每種情況對(duì)應(yīng)的EF的取值范圍即可.

【詳解】解：若E與A重合，F(xiàn)在BC上,且EFJ.BC,則NB/花=90。,

VZABC=60°,

??./8跖=90。-60。=30。，

：.BF=LAB,

2

48=4,

：.BF=4x[=2,

2

.-.￡F=A/42-22=2-73-

A

S平行四邊形718co84EBF,

S四成形EFCD=1—2>/3=14j3?

S、EBF-S四邊形EFCD=2百：\4yf3=1:7,

???叢EBF與四邊形EFCD的面積的比為1:7.

A(E)D

若折痕EF將紙片ABCD分成兩個(gè)四邊形，且被分成的兩個(gè)四邊形的面積的比為1:3,

如圖2—1,取力。的中點(diǎn)M,8C的中點(diǎn)N,連接

???匹邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD\\BCfAD=BC,

AM||BN,AM=LAD=>BC=BN,DM||CN,DM=-AD=-BC=CN,

2222

；?四邊形ABNM是平行四邊形，四邊形CZM/N是平行四邊形,

???平行四邊形N8NM的面積與平行四邊形CQVN的面積的比為1:1,

連接AN,交于點(diǎn)K,當(dāng)叱過點(diǎn)K時(shí)，四邊形的面積與四邊形EEVM的面積的比為

1:1,

???匹邊形ABFE的面積與四邊形EFCD的面積的比為1:3,

當(dāng)M_LBC時(shí)，所取最小值，由①可知，的最小值為2JJ，

作交D4延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，則/a=90°,

：AD\\BC,

.-.z775C=180o-90°=90°,

??Z8C=60。，

??.//8〃=90。-60。=30。，

AH=—AB=4x—=2,

22

?-57/=V42-22=273?

???BC=8,AM=-AD=-BC

22t

.?.4W=8x1=4,

2

.-./VW=4+2=6,

BM=J(26『+62=46，

：?2&WEF<44，

如圖2—2,取力B的中點(diǎn)P,CO的中點(diǎn)Q,連接P。,

?.?匹邊形ABCD是平行四邊形，

■,AB\\CD,AB=CD,

1

-

：.AP\\DQ,AP=-AB=-CD=DQ,4PliCQ,2-CP

.??匹邊形APQD是平行四邊形，四邊形P8C0是平行四邊形，

.?/。||力。，PQ=AD=BC=8,平行四邊形的面積與平行四邊形。8。。的面積的比為1:1,

連接力。，DP,交于點(diǎn)7,當(dāng)叱過點(diǎn)了時(shí)，四邊形力。立1的面積與四邊形的面積的比為

1：1,

.??匹邊形ADFE的面積與四邊形EFCB的面積的比為1:3,

作交D4延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,作力SJ.P。于點(diǎn)S,則NH=N4SP=N4S1。=90。,

/R4B=NB=61,

.?.ZJP/?=90°-60o=30°,

:.AR――AP,

2

AB-4,AP=—AB,

2

4。=4x—=2,

2

AR=2x—=1,

2

-PR=>j22-l2=V3-

"2IM。，

.??NR+NRPS=180。，

.?.NRPS=180?！?0。=90。，

.■那邊形4sPH為矩形，

.?.AS=RP=BRA=PS=\,

...25=8-1=7,RO=8+1=9,

.FQ“網(wǎng)2”=2而,PZ)=^(V3)2+92=2>/H>

???2屈<EF<2后,

???折痕EF長(zhǎng)的取值范圍是2百4E/7<40或2Ji?<EF<2721.

故答案為：1:7；264EF<46或2岳<EF<25.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形，勾股定理，矩形的

判定和性質(zhì).

三、解答題（本大題共10小題，共96分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字

說(shuō)明、證明過程或演算步驟等.）

19.（1）解方程：X2-2X-2=0;

2x<6

（2）解不等式組：

3x-l>x+l

【答案】（1）x,=1+V3,x2=1->/3；（2）l<x<3

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式組的解法.

（1）把方程化為（x-l『=3,再進(jìn)一步解方程即可.

（2）分別解不等式組中的兩個(gè)不等式.再確定解集的公共部分即可.

【詳解】解：（1）X2-2X-2=0.

方程移項(xiàng)得：X2-2X=2，

配方得：X2-2X+1=3?即（x-了=3,

開方得：x-l=土6，

解得：2=1+6，x2=1-^3-

2x<6①

（2）?

3x-\>x+\?

由①得：x<3,

由②得：%>1,

則不等式組的解集為IWX<3.

20.先化簡(jiǎn)，再求值：—-2"其中加=3.

m-1in-1

【答案】〃7-1,2

【解析】

【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值；先計(jì)算同分母分式加法，將分子進(jìn)行因式分解，再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，然

后代俏計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：」—+優(yōu)-2”

m-1m-1

nr-2m+1

m-1

（加-if

m-\

=陽(yáng)一1,

將加=3代入，得：

原式=3-1=2.

21.如圖，在矩形中，點(diǎn)石在C8延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在3C延長(zhǎng)線上，且BE=CF,連接4E、

DF.

AD

求證：

（1）LABE出ADCF；

（2）NEAD=/FDA.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：

（1）結(jié)合矩形的性質(zhì)，根據(jù)“邊角邊”證明△力BEgZXQC尸；

（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得NA4E=NC。/，結(jié)合/CDA=/BAD=900,可得

ZEAD=AFDA.

【小問1詳解】

證明：.??四邊形力8CO是矩形，

.../ABC=4DCB=ZCDA=ZBAD=90°，AB=DC,

，Z.ABE=NDCF=90°,

在qBE和△。。/中，

AB=DC

<NABE=ZDCF,

BE=CF

△4BE也△OCQ（SAS）:

【小問2詳解】

證明：???△48E四△QC7L

，/BAE=/CDF,

又「ZCDA=ZBAD=90°,

/./BAE+/BAD=ZCDF+ZCDA,

???/EAD=NFDA.

22.一個(gè)不透明的袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)球，這些球除標(biāo)號(hào)外都相同.

（1）將球攪勻.從中仟意摸出1個(gè)球,摸到標(biāo)號(hào)為2的球的概率是：

（2）將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，記錄標(biāo)號(hào)后不放何，再?gòu)拇又腥我饷?個(gè)球，記錄標(biāo)號(hào).求

兩次摸到的球標(biāo)號(hào)均小于3的概率.（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）

【答案】⑴

4

1

（2）-

6

【解析】

【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵.

（1）直接由概率公式求解即可；

（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即

可.

【小問1詳解】

解：???一個(gè)不透明的袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)球，這些球除標(biāo)號(hào)外都相同，

???將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，摸到標(biāo)號(hào)為2的球的概率是!，

4

故答案為：J;

4

【小問2詳解】

解：畫樹狀圖如下：

開始

234

小小小小

234134124123

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球標(biāo)號(hào)均小于3的結(jié)果有2種，

???兩次摸到的球標(biāo)號(hào)均小于3的概率為;1?=’.

126

23.2025年1月14日，教育部辦公廳印發(fā)了《中小學(xué)科學(xué)教育工作指南》（以下簡(jiǎn)稱《指南》），旨在推動(dòng)中

小學(xué)科學(xué)教育更加重視激發(fā)學(xué)生好奇心、想象力、探求欲，培育具備科學(xué)家潛質(zhì)、愿意獻(xiàn)身科學(xué)研究事業(yè)

的青少年群體.某校為落實(shí)《指南》要求，準(zhǔn)備在七年級(jí)開設(shè)“3。打印”“航模”“機(jī)器人”“無(wú)人機(jī)”

共四類科技社團(tuán)（每名學(xué)生必選且僅選一個(gè)社團(tuán)）.為了解學(xué)生參加各社團(tuán)的意向，現(xiàn)隨機(jī)抽取七年級(jí)部分

學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并對(duì)問卷數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：

計(jì)劃參加四類科技社團(tuán)人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)劃參加四類科技社團(tuán)人數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)隆

（1）本次調(diào)查的樣本容量為,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（畫圖后請(qǐng)標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）

（2）若該校七年級(jí)共有1000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)計(jì)劃參加“機(jī)器人”社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)；

（3）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)分析情況，請(qǐng)你為該?？萍忌鐖F(tuán)活動(dòng)的順利開展給出一條合理建議.

【答案】（1）50,畫圖見解析

（2）320A

（3）見解析

【解析】

【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用圖中的數(shù)據(jù)，求出所求問

題的答案.

（1）由3D打印人數(shù)及其所占百分比可得樣本容量，再根據(jù)各組人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出無(wú)人機(jī)社團(tuán)人數(shù)

即可補(bǔ)全圖形；

（2）總?cè)藬?shù)乘以樣本中參加“機(jī)器人”社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)所占百分比即可；

（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的信息提出合理建議即可.

【小問1詳解】

解：本次調(diào)查的樣本容量為11?22%=50,

無(wú)人機(jī)社團(tuán)人數(shù)為50-（11+8+16）=15（人）,

補(bǔ)全圖形如下:

【小問2詳解】

解：1000x32%=320(人),

答：估計(jì)計(jì)劃參加“機(jī)器人”社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)約為320人.

【小問3詳解】

解：建議升展形式多樣的航模與33打印活動(dòng)（答案小唯一）.

24.如圖，/C為正方形力BC。的對(duì)角線.

（1）尺規(guī)作圖：作/O的垂直平分線/交力。于點(diǎn)七，在/上確定點(diǎn)尸，使得點(diǎn)R到/8/C的兩邊距離

相等；（不寫作法，保留痕跡）

（2）在（1）的條件下，求BEE4的度數(shù).（請(qǐng)直接寫出DEFZ的度數(shù)）

【答案】（1）畫圖見解析

(2)22.5°

【解析】

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖及角的計(jì)算，角平分線的性質(zhì)定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

（1）由題意先作4。的垂直平分線/,再根據(jù)點(diǎn)/到的兩邊距離相等可知點(diǎn)/在4C的角平

分線上，據(jù)此作圖即可.

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的定義求得/8力/，然后由/歷1/+/切尸=90。和

NEFA+/EAF=90。，得到NEF/l=NB4F,即可求解.

【小問1詳解】

解.：如圖，直線/，點(diǎn)廠即為所求.

!/

木

I

【小問2詳解】

解：???四邊形44co是正方形，4C是對(duì)角線,

???ABAC=ACAD=45°,/BAD=ZBAF+ZEAF=90°,

??F尸平分/A4C,

???/BAF=-ABAC=-x45°=22.5°,

22

???直線/_L4。，即/[七/二9。。,

???Z.EFA+ZEAF=90°,

...ZEFA=NBAF=22.5°.

25.如圖，是。。的直徑，O是弦力。延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CO=C408的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)E.

(2)若/8=3,cus/ABE==,求力。的長(zhǎng).

3

【答案】（1）見解析（2）2面

【解^5]

【分析】本題考杳圓周角定理，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，余弦函數(shù)：

（1）由直徑所對(duì)的圓周角為90度，可證8cl4。，進(jìn)而可得8C垂直平分力。，即可證明48=80：

(2)連接力上，則/4E8=90。，結(jié)合cos/Z8E=；可得3￡=1,進(jìn)而可得。￡=80+5E=4,再由

勾股定理計(jì)算4。即可.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接3C,

??..48是G）。的直徑,

???/LACB=90°,

???BCLAD.

又，;CD=CA,

???BC垂直平分力。，

/.AB=BD；

【小問2詳解】

解：如圖，連接力E,

.../AEB=90°,

,c°s/“g變二好」

4833

BE=T,

AE2=AB2-BE2=32-\2=S^

由(1)得4B=BD=3,

DE=BD+BE=3+l=4,

?*-AD=>]AE2+DE2=>/8+42=25/6?

26.某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量物體的高度，開展了如下綜合與實(shí)踐活動(dòng).

【活動(dòng)主題】測(cè)量物體的島度

【測(cè)量工具】卷尺、標(biāo)桿

【活動(dòng)過程】

活動(dòng)1:測(cè)最校內(nèi)旗桿的高度

該小組在校內(nèi)進(jìn)行了旗桿高度的測(cè)量活動(dòng)(示意圖1).在點(diǎn)尸處豎立標(biāo)桿EP,直立在點(diǎn)。處的小軍從點(diǎn)夕

處看到標(biāo)桿頂E、旗桿頂M在同一條直線上.己知旗桿底端N與產(chǎn)、。在同一條直線上，EF=2.8m,

PQ=1.4m,QF=2m,FN=16m.

A

FQ

（圖D

(1)求旗桿MN的高度.

活動(dòng)2：測(cè)量南禪寺妙光塔的高度

南禪寺妙光塔，簡(jiǎn)稱“妙光塔”，始建于北宋雍熙年間，是無(wú)錫著名的文物保護(hù)單位之一、該小組為仝面了

解本土歷史文物，決定走出校園去測(cè)量妙光塔的高度.他們到達(dá)妙光塔后，發(fā)現(xiàn)塔頂A和塔底中心8均無(wú)

法到達(dá).經(jīng)研究，設(shè)計(jì)并實(shí)施了如下測(cè)量活動(dòng)(示意圖2).在地面一條水平步道上的點(diǎn)E處豎立標(biāo)桿律,

直立在點(diǎn)。處的小軍從點(diǎn)尸處看到標(biāo)桿頂E、塔頂A在同一條直線上.小軍沿尸。的方向走到點(diǎn)。'處，此

時(shí)標(biāo)桿七戶'豎立于9處，從點(diǎn)。處看到標(biāo)桿頂E'、塔頂A在同一條直線上.已知48、EF、PQ、EF

和P'。'在同一平面內(nèi),點(diǎn)&F、0、尸、0'在同一條直線上,EF=EF=2.8m,00=P'。'=1.4m.

F0=1.2m,FQ=22m,QQ'=30m.

(2)求妙光塔48的高度.

【答案】(1)14m；(2)43.4m

【解析】

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）PH工MN于前H,交EF于點(diǎn)、G,得矩形。。9G,PQNH,證明根據(jù)對(duì)應(yīng)邊

\4J-IHP

成比例得r=k，代入數(shù)據(jù)求解即可；

EGGP

（2）PH于點(diǎn)H,交EF于點(diǎn)M,交上戶'于點(diǎn)〃'，同（I）證明△/"PsaA/EP,推出

AH_HPAHup，HPHP'

同理可得77777=77777,推出7777=T77U，代入數(shù)值計(jì)算出狼=36m，再代入

MEMPMPMP

AH_HP

~ME=~MP求出AH-42m，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：（1）如圖，PH上MN于點(diǎn)H,交E/于點(diǎn)G,

FQ

（圖1）

則四邊形PQ/G,PQNH均為矩形,

HN=GF=PQ=\Am,GP=QF=2m,HP=NQ=NF+FQ=\6+2=18（m）,

EG=EF-GF=2.8-1.4=L4（m）,

由題意知E產(chǎn)〃MN,

:、乙M=4E、EMHP=NEGP，

/.MMHPS^EGP,

MHHPMH18

----=——，即lin-----=——，

EGGP1.42

解得"H=12.6,

.,.MN=M"+=12.6+1.4=14（m）,

即旗桿MN的高度為14m.

（2）如圖，P'H上AB于點(diǎn)、H,交EF于點(diǎn)、M,交E'F'于點(diǎn)、M',

（圖2）

?/PQ=P,Q,=\Am,

點(diǎn)尸在線段P'〃上，四邊形尸0FACPQBH,PQF'M'：PQZ"均為矩形,

:.HP=BQ,MP=F0=1.2m,M'P'=FQ=22m,HB=MF=MF'=PQ=P。=L4m,

/.EM=￡"=2.8-1.4=1.4m,

由潁煮知EF〃/IB,