1、三角函數的計算和公式的作圖問題三角函數的計算求證：三角函數用MATLAB的符號計算驗證，再用曲線驗證。解析利用三角公式可得cos3 = cos2cos = 證畢。程序MATH1_1.m%三角函數的計算和驗證clear %清除變量theta=-180:5:180; %角度向量th=theta*pi/180; %化為弧度數figure %開創(chuàng)圖形窗口plot(theta,cos(th).3,theta,(3*cos(th)+cos(3*th)/4,'.')%畫線和點 syms x %定義符號變量y=1/4*cos(3*x)+3/4*cos(x) %三角函數的展開式expand(y)

2、 %展開三角函數y=cos(x)3 %三角函數simple(y) %展開三角函數M1圖練習：驗證問題1.2 曲線族的畫法根據麥克斯韋速率分布率律，求最概然速率？氧氣分子在300K到600K溫度區(qū)間(溫度間隔為100K)，速率分布曲線有什么異同？最概然速率是多少？氫氣、氦氣、氖氣、氮氣、氧氣和氟氣分子的分子量分別為2、4、20、28、32和38，這些氣體分子在300K時的速率分布曲線有什么異同？最概然速率是多少？ 解析麥克斯韋速率分布函數為 (1.2.1)其中，k×10-23J/K是玻爾茲茲常數，m是分子質量，v是分子速率。當v = 0時，f(v) = 0；當v時，f(v)0。由于f(

3、v)不小于零，因此f(v)必有極大值。令df(v)/dv = 0，即可得 (1.2.2)這個速率稱為最概然速率。在相同的速率間隔之內，最概然速率附近的分子數最多。分子向著各個方向運動時，在很大或很小的速率附近，分子數都很少。分布函數的極大值為 (1.2.3)溫度越高或分子質量越小，最概然速率就越大，分布函數的極大值就越小。質量一定的分子，溫度是參數，麥克斯韋速率分布的函數曲線會隨參數不同而有所改變；在溫度一定的情況下，不同分子的質量是參數，函數曲線會隨參數而有所改變。算法將麥克斯韋速率分布函數定義為速率、質量和溫度的內線函數。在質量一定的情況下，取溫度為參數向量，取速率為自變量向量，化為矩陣，

4、計算分布函數，用矩陣畫線法畫以溫度為參數的速率分布曲線族。在溫度一定的情況下，取質量為參數向量，取速率為自變量向量，化為矩陣，計算分布函數，用矩陣畫線法畫以質量為參數的速率分布曲線族。用內線函數還能計算峰值坐標，畫峰值桿圖和峰值線。程序MATH.m如下。%麥克斯韋速率分布律clear %清除變量f=inline('4*pi*(m/2/pi/1.38E-23./T).1.5.*v.2.*exp(-m.*v.2/2/1.38E-23./T)',. 'v','T','m'); %內線函數k=1.38E-23; %玻爾茲曼常數u=1.66

5、E-27; %原子質量單位m=32*u; %氧分子質量t=(3:6)*100; %熱力學溫度向量l=length(t); %向量長度v=0:20:1600; %速率向量T,V=meshgrid(t,v); %溫度和速率矩陣F=f(V,T,m); %速率分布函數矩陣figure %創(chuàng)建圖形窗口plot(v,F','LineWidth',2) %畫曲線族grid on %加網格h=legend(repmat('itTrm=',l,1),num2str(t'),repmat('K',l,1);%圖例取句柄fs=16; %字體大小set(

6、h,'FontSize',fs) %放大圖例title('溫度不同的麥克斯韋速率分布曲線的比較','FontSize',fs)%標題xlabel('速率itvrm/mcdots-1','FontSize',fs)%橫坐標ylabel('速率分布函數itfrm(itvrm)/scdotm-1','FontSize',fs)%縱坐標text(0,max(F(:),'氧氣O_2:32u','FontSize',fs)%顯示文本vp=sqrt(2*k*t/m)

7、; %最概然速率向量fp=f(vp,t,m); %峰值函數hold on %保持圖像stem(vp,fp,'-','filled') %畫直桿圖text(vp,fp,num2str(vp',4),'FontSize',fs)%顯示最概然速率t=250:1000; %溫度向量vp=sqrt(2*k*t/m); %最概然速率向量fp=f(vp,t,m); %峰值函數plot(vp,fp,'LineWidth',2) %畫峰值曲線 m=2,4,20,28,32,38*u; %分子量向量l=length(m); %向量長度n=&#

8、39;氫氦氖氮氧氟' %氣體分子名t=300; %熱力學溫度M,V=meshgrid(m,v); %質量和速率矩陣F=f(V,t,M); %速率分布函數矩陣figure %創(chuàng)建圖形窗口plot(v,F,'LineWidth',2) %畫曲線族grid on %加網格h=legend(n',repmat('氣:',l,1),num2str(m'/u);%圖例取句柄set(h,'FontSize',fs) %放大圖例title('分子質量不同的麥克斯韋速率分布曲線的比較','FontSize',

9、fs)%標題xlabel('速率itvrm/mcdots-1','FontSize',fs)%橫坐標ylabel('速率分布函數itfrm(itvrm)/scdotm-1','FontSize',fs)%縱坐標vp=sqrt(2*k*t./m); %最概然速率向量fp=f(vp,t,m); %峰值函數hold on %保持圖像stem(vp,fp,'-','filled') %畫直桿圖text(vp,fp,num2str(vp',4),'FontSize',fs)%顯示最概然

10、速率m=(2:45)*u; %質量向量vp=sqrt(2*k*t./m); %最概然速率向量fp=f(vp,t,m); %峰值函數plot(vp,fp,'-','LineWidth',2) %畫峰值曲線text(0,max(F(:),'itTrm = ',num2str(t),'K','FontSize',fs)%顯示文本M1.2a圖 M圖示(1)如Ma圖所示，氧氣分子在300K時的最概然速率約為395m/s，在600K時的最概然速率約為558m/s。對于分子質量一定的氣體，溫度升高則峰值降低，說明：在相同的速率間隔內，向著各個方向運動的速率小的分子數量減少了，速率大的分子數量增加了，分子運動得更劇烈了。(2)如Mb圖所示，氫氣分子的分子量是2，是氧氣分子質量的1/16，在300K的溫度下，最概然速率是氧氣分子的4倍，達到1579m/s。氟氣分子的分子量是38，在相同的溫度下的最概然速率