1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案高中數(shù)學(xué)之直線與圓的方程一、概念理解：1 、傾斜角：找：直線向上方向、x 軸正方向；平行： =0 ；范圍： 0 180 。2 、斜率：找k ： k=tan （90 ；）垂直：斜率k 不存在；范圍：斜率k R 。y1y2y2y13 、斜率與坐標(biāo)：ktanx1x2x2x1構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）；斜率 k 值于兩點(diǎn)先后順序無關(guān)；注意下標(biāo)的位置對(duì)應(yīng)。4 、直線與直線的位置關(guān)系：l1 : yk1xb1, l2 : yk2 xb2相交：斜率k1k2 （前提是斜率都存在）特例 - 垂直時(shí)： l1x軸，即 k1不存在，則 k20 ；斜率都存在時(shí)：k1 ? k21 。平行： 斜率都存在時(shí)：k1k

2、2, b1b2 ；斜率都不存在時(shí)：兩直線都與x 軸垂直。重合：斜率都存在時(shí)：k1k2 ,b1b2 ；二、方程與公式：1 、直線的五個(gè)方程：點(diǎn)斜式：yy0k(xx0 )將已知點(diǎn) ( x0 , y0 )與斜率 k 直接帶入即可；文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案斜截式： ykxb將已知截距 (0,b)與斜率 k 直接帶入即可；yy1xx1 ，其中x1 x2 , y1 y2 )將已知兩點(diǎn) (x1,y1), (x2,y2)直接兩點(diǎn)式：y1x2(y2x1帶入即可；xy1將已知截距坐標(biāo)(a,0), (0,b) 直接帶入即可；截距式：ba一般式： AxBy C0，其中 A 、 B 不同時(shí)為0用得比較多的是點(diǎn)斜式、斜截式與一般

3、式。2 、求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可3 、距離公式：兩點(diǎn)間距離： P1P2(x1 x2 )2( y1 y2 )2點(diǎn)到直線距離：dAx0By0CA2B2平行直線間距離：dC1C222AB4 、中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)A( x1 , y1), B( x2 , y2 )AB 中點(diǎn) ( x0 , y0 ) ： ( x1x2 , y1y2 )22AB 三分點(diǎn) (s1, t1 ), ( s2 ,t 2 ) ： ( 2x1x2 , 2 y1y2 ) 靠近 A 的三分點(diǎn)坐標(biāo)33( x12x2 , y12 y2 ) 靠近 B 的三分點(diǎn)坐標(biāo)33中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對(duì)稱點(diǎn)、第四章圓

4、與方程中，經(jīng)常用到。三分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用得較少，多見于大題難題。5.直線的對(duì)稱性問題已知點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱:設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P（ x0 ， y0 ）,對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為P（x， y），則pp 的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp 的中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上。三、解題指導(dǎo)與易錯(cuò)辨析：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1 、解析法（坐標(biāo)法） ：建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；依據(jù)代數(shù)關(guān)系（點(diǎn)在直線或曲線上），進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，并得出相關(guān)結(jié)果；將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。y2 、動(dòng)點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn) A 、B 的距離“最值問題” ： PAPB 的最小值：找對(duì)稱點(diǎn)再連直線，如右圖所示： PAP

5、B 的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”；ox22。 PAPB 的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱軸”3 、直線必過點(diǎn)：含有一個(gè)參數(shù) -y=(a-1)x+2a+1= y=(a-1)(x+2)+3令： x+2=0=必過點(diǎn) (-2,3)含 有 兩個(gè)參 數(shù)-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令： 3x+y=0、 2y-x-1=0聯(lián)立方程組求解=必過點(diǎn) (-1/7,3/7)4 、易錯(cuò)辨析： 討論斜率的存在性：解題過程中用到斜率，一定要分類討論： 斜率不存在時(shí)，是否滿足題意； 斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有怎樣關(guān)系。 注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯(cuò)認(rèn)為”

6、截距就是距離，會(huì)丟解；（求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見。） 直線到兩定點(diǎn)距離相等，有兩種情況：直線與兩定點(diǎn)所在直線平行；直線過兩定點(diǎn)的中點(diǎn)。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圓的方程1. 定義：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)以定長(zhǎng)繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點(diǎn)稱為圓的圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑 .2. 圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程 x2 y 2DxEy F0其中圓心 CD ,E ，22半徑 rD 2E 24F .2當(dāng) D 2E 24 F0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，當(dāng) D 2E 24F0 時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)D ,E .22當(dāng) D 2E 24 F0時(shí)，方程無圖形 .第二種：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓第三種：圓的參數(shù)方程(xa) 2

7、( yb) 2r 2 .其中點(diǎn) C(a, b) 為圓心， r 為半徑的圓的參數(shù)方程：xar cos （為參數(shù)）ybr sin注：圓的直徑方程：已知 A(x1 , y1 )B(x 2 , y2 ) (x x1 )(xx 2 )( yy1)( y y2 ) 03. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)M ( x0 , y0 ) 及圓 C : ( x a)2( yb) 2r 2 .M 在圓C內(nèi)( x 0a)M 在圓C上（ x0a)M 在圓C外( x 0a)2( y 0b) 2r 22( y 0b) 2r 22( y 0b) 2r 24. 直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)圓圓 C ： (x a) 2 (y b) 2 r 2

8、 (r0) ；直線 l ： Ax By C0( A2 B20) ；AaBbC圓心 C( a, b) 到直線 l 的距離 dA2 B2. dr 時(shí)， l 與 C 相切；文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 dr 時(shí)， l 與 C 相交；， dr 時(shí)， l 與 C 相離 .5 、圓的切線方程：一般方程若點(diǎn) (x0 ,y0) 在圓上，則 (x a)( x0 a)+( y b)( y0 b)=R2 . 特別地，過圓x2y 2 r 2 上一點(diǎn) P(x0 , y0 ) 的切線方程為x0 xy 0 y r 2 .(注 :該點(diǎn)在圓上，則切線方程只有一條)y1 y0k(x1 x0 )若點(diǎn) (x0 ,y0 )不在圓上，圓心為 (a,

9、b) 則by1 k(a x1 ) ，聯(lián)立求出 k切線方程 .（注：RR2 1過圓外的點(diǎn)引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個(gè)解，那么另外一條切線必定是垂直于X軸的直線。）6.圓系方程：過 兩 圓 的 交 點(diǎn) 的 圓 方 程 ： 假 設(shè) 兩 圓 方 程 為 ： C1:x2 +y 2 +D 1x+E 1y+F 1 =0C2 :x2+y 2+D 2 x+E 2 y+F 2 =0則過兩圓的交點(diǎn)圓方程可設(shè)為：x2 +y 2 +D 1x+E 1y+F 1 + （ x2 +y 2 +D 2x+E 2y+F 2 ） =0過兩圓的交點(diǎn)的直線方程：x2+y 2 +D 1x+E 1 y+F 1- x 2+y 2 +

10、D 2x+E 2 y+F 2=0 （兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程）7.與圓有關(guān)的計(jì)算：弦長(zhǎng)的計(jì)算： AB=2* R2 -d 2 其中 R 是圓的半徑，d 等于圓心到直線的距離AB= （1+k 2） * X1 -X 2 其中 k 是直線的斜率，X1 與 X2 是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個(gè)根過圓內(nèi)的一點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是垂直于過圓心的直線圓內(nèi)的最長(zhǎng)弦是直徑文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案8.圓的一些最值問題圓上的點(diǎn)到直線的最短距離= 圓心到直線的距離減去半徑圓上的點(diǎn)到直線的最長(zhǎng)距離= 圓心到直線的距離加上半徑假設(shè)P（x， y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（x-a ）/ （ y-b ）的最值可以轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與該

11、點(diǎn)（ a， b ）的斜率問題，即先求過該定點(diǎn)的切線，得到的斜率便是該分式的最值。假設(shè) P（ x， y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則求x+y 或 x-y 的最值可以轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y ，在圓上找到點(diǎn)(X,Y) 使得以 y=x+T或 y=x-T在 Y 軸上的截距最值化。9.圓的對(duì)稱問題已知圓關(guān)于已知的直線對(duì)稱，則對(duì)稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對(duì)稱后得到的圓心坐標(biāo)即可。若某條直線無論其如何移動(dòng)都能平分一個(gè)圓，則這個(gè)直線必過某定點(diǎn)，且該定點(diǎn)是圓的圓心坐標(biāo)圓錐曲線橢圓橢圓：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的集合uuuvuuuuvuuu

12、uvPFc1、定義： PF1PF2 2a(2aF1F2 )第二定義：e(0 e 1)dax2y21(ab 0) 或y2x21(a b0) ；2、標(biāo)準(zhǔn)方程：2b2a2b2axa cos（為參數(shù)）幾何意義：離心角3、參數(shù)方程b siny4、幾何性質(zhì)： （只給出焦點(diǎn)在x 軸上的的橢圓的幾何性質(zhì)）文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案、頂點(diǎn) (a,0),(0,b)、焦點(diǎn) (c,0)、離心率 ece 1)(0a準(zhǔn)線： xa 2（課改后對(duì)準(zhǔn)線不再要求，但題目中偶爾給出）c5、焦點(diǎn)三角形面積：SVPF Fb2 tan （設(shè) F1 PF2） (推導(dǎo)過程必須會(huì) )1226、橢圓面積：S橢a b （了解即可）7、直線與橢圓位置關(guān)系：相

13、離（0）；相交（0 ）；相切（0 ）判定方法：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式判斷根的個(gè)數(shù)8、橢圓切線的求法1 ）切點(diǎn)（ x0 y0 ）已知時(shí)，x2y21(ab0)x0 xy0 y1a2b2切線b2a2y 2x2y0yx x1(ab0)切線01a2b2b2a22 ）切線斜率 k 已知時(shí)，x2y21(ab0)切線 ykxa2 k2b2a2b2y 2x21(ab0)切線 ykx22a2a2b2b k9、焦半徑：橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離x2y21(ab0)raex0 （左加右減）a2b2y2a21(ab0)raey0 （下加上減）a2b2雙曲線文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1、定義： PF1PF22a第二定義：PF

14、ec (e1)dax2y21(a0, b0) （焦點(diǎn)在 x 軸）2、標(biāo)準(zhǔn)方程：b2a2y2x21(a0, b0) （焦點(diǎn)在 y 軸）a2b2xa secP (a sec , b tan )參數(shù)方程：b tan（為參數(shù)） 用法：可設(shè)曲線上任一點(diǎn)y3、幾何性質(zhì) 頂點(diǎn)(a,0) 焦點(diǎn)(c,0)c2a2b2c1 離心率 eea 準(zhǔn)線 xa2c 漸近線x2y21(a0, b0)yb x 或 x2y20a2b2aa2b2y2x21(a0, b0)ybxy2x20a2b2a或b2a24、特殊雙曲線、等軸雙曲線x2y21e2漸近線 yxa2a2x2y2x2y21、雙曲線b21的共軛雙曲線b2a2a2性質(zhì) 1

15、：雙曲線與其共軛雙曲線有共同漸近線性質(zhì) 2 ：雙曲線與其共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上5、直線與雙曲線的位置關(guān)系 相離（0）； 相切（0）； 相交（0）文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案判定直線與雙曲線位置關(guān)系需要與漸近線聯(lián)系一起0時(shí)可以是相交也可以是相切6、焦半徑公式x2y2a2b21(a0, b0)點(diǎn) P 在右支上rex0a （左加右減）點(diǎn) P 在左支上y2x21(a 0, b 0)點(diǎn) P 在上支上a2b2r (ex0 a) （左加右減）rey0a （下加上減）點(diǎn) P 在上支上r( ey0a) （下加上減）7 、雙曲線切線的求法 切點(diǎn) P (x0x2y21(a0, b0)切線x0 xy0 y1, y0 )

16、已知b2a2b2a2y 2x21(a0, b0)切線y0 yx0 x1a2b2a2b2x2y21ykx2k22( kb 切線斜率 K 已知2b2ab)aay2x21y kxa2b2k 2 ( kb )a2b2a8、焦點(diǎn)三角形面積： SV PF1F2 b2cot2（為F1PF2 ）拋物線1、定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一定直線的距離相等的點(diǎn)的集合（軌跡）2、幾何性質(zhì)：P 幾何意義：焦準(zhǔn)距焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離設(shè)為P標(biāo)準(zhǔn)方程：y22 px( p0)y22 px ( p0)圖像：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案范圍：x0x0對(duì)稱 軸：x 軸x 軸頂點(diǎn)： （0，0）（0，0）焦點(diǎn)： （ p ,0 ）（p ,0 ）22離心率：e1

17、e1準(zhǔn)線：xpxp22標(biāo)準(zhǔn)方程： x22 py( p 0)x22 py ( p 0)圖像：范圍： y 0y0對(duì)稱 軸：y 軸y 軸定點(diǎn)：（0， 0）（0，0）焦點(diǎn)：（0， p ）(0,p )22離心率：e 1e1準(zhǔn)線：pypy22x2 pt 220)3、參數(shù)方程（t 為參數(shù)方程）y 2 px( py2 pt4、通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦2b2橢圓：雙曲線通徑長(zhǎng)拋物線通徑長(zhǎng)2Pa5、直線與拋物線的位置關(guān)系1 ）相交（有兩個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)）2 ）相切（有一個(gè)交點(diǎn)） ；文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3）相離（沒有交點(diǎn)）6、拋物線切線的求法1）切點(diǎn) P ( x0 , y0 ) 已知： y 22 px( p0)

18、的切線； y0 y p( x x0 )2）切線斜率 K 已知： y22 px( p 0) : ykxp2ky22 px( p0) : ykxp2kx22 py( p0) : ykxpk 22x22 py( p0) : ykxpk 22此類公式填空選擇或解答題中（部分）可作公式直接應(yīng)用附加：弦長(zhǎng)公式：ykxb 與曲線交與兩點(diǎn)A、B 則uuuv1 k 21d ABx2x1y2 y11k 2解題指導(dǎo)：軌跡問題：(一 )求軌跡的步驟1、建模：設(shè)點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)p （ x， y）2、立式：寫出適條件的p 點(diǎn)的集合3、代換：用坐標(biāo)表示集合列出方程式f （ x，y ） =04、化簡(jiǎn)：化成簡(jiǎn)

19、單形式，并找出限制條件5、證明：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上（二）求軌跡的方法1、直接法：求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，按五步去直接求出軌跡2、定義法：利用已知或幾何圖形關(guān)系找到符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3、轉(zhuǎn)移代入法：適用于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一曲線上的動(dòng)點(diǎn)變化問題4、交軌法：適用于求兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡問題。用一個(gè)變量分別表示兩條動(dòng)直線，然后聯(lián)立，消去變量即可。5、參數(shù)法：用一個(gè)變量分別表示所求軌跡上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，聯(lián)立消參。6、同一法：利用兩種思維分別求出同一條直線，再參考參數(shù)法，找到軌跡方程。弦長(zhǎng)問題： |AB|=(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 。弦的中點(diǎn)問題：中點(diǎn)

20、坐標(biāo)公式-注意應(yīng)用判別式。. 求曲線的方程1 曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。例 1 （ 1994 年全國(guó)）已知直線 L 過原點(diǎn)，拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸正半軸上。若點(diǎn)A（-1 ，0）和點(diǎn) B（ 0， 8）關(guān)于 L 的對(duì)稱點(diǎn)都在C 上，求直線 L 和拋物線 C 的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L： y=kx(k 0),C:y 2 =2px(p0).設(shè) A 、 B 關(guān)于 L 的對(duì)稱點(diǎn)分別為A / 、 B/ ，則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：k 21,2k），B/（16k8(k 21)A /（2121k 2,21kk1 k）。因?yàn)?A

21、/ 、B/ 均在拋物線上，代入，消去p ，得： k2 -k-1=0.1525解得： k=2,p=.51545所以直線 L 的方程為： y=2x,拋物線 C 的方程為 y2=x.52 曲線的形狀未知-求軌跡方程文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 3 （ 1994 年全國(guó)）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2 ，0）和圓 C：x2 +y 2=1,M動(dòng)點(diǎn) M 到圓 C 的切線長(zhǎng)與 |MQ| 的比等于常數(shù)（0 ）,N求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè) MN 切圓 C 于點(diǎn) N ，則動(dòng)點(diǎn)M 組OQ成的集合是：P=M|MN|=|MQ| ，由平面幾何知識(shí)可知：|MN| 2=|MO| 2 -|ON| 2=|MO

22、|2-1 ，將 M 點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得： ( 2-1)(x 2+y 2 )-42x+(1+42)=0.當(dāng) =1 時(shí)它表示一條直線；當(dāng)1 時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。. 研究圓錐曲線有關(guān)的問題B1 有關(guān)最值問題C例 6 (1990年全國(guó) )OA x設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x 上，離心率，已知點(diǎn) P（ 0 ， 3 ）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7 ，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到2點(diǎn) P 的距離等于7 的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：最值問題，函數(shù)思想。關(guān)鍵是將點(diǎn)P 到橢圓上點(diǎn)的距離表示為某一變量是函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識(shí)求其最大值。x 2y213設(shè)橢圓方程為2b2，則由 e=a2得： a2 =4b 2 ，所以 x2=4b 2-4y 2.設(shè) Q(x,y) 是橢圓上任意一點(diǎn)，則:文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案|PQ|=x2( y3) 2= 4b 24 y2( y3 )23y 23 y4b29(-byb)