1、余數(shù)問題【例31一個兩位數(shù)除310,余數(shù)是37,求這樣的兩位數(shù)。知識精講、帶余除法的定義及性質(zhì)一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（bM0）,若有a-b=qr，也就是a=bx q+r,0< rv b；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里: 當r =0時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商 當r HO時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型：遼本書這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了 c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數(shù)。二、三大余數(shù)定理

2、:1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以 c的余數(shù)。例如：23, 16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個余數(shù)的和3+1.當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23, 19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2。2.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a, b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：23, 16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23 X 16除以5的余數(shù)等于3X 1=3。當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求

3、的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23, 19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23 X 19除以5的余數(shù)等于3X 4除以5的余數(shù)，即2.3.同余定理若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱 a、b對于模m同余，用式子表示為：a三b （ mod m），左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b,模m由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個非常重要的推論:若兩個數(shù)a, b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a, b的差一定能被m整除。用式子表示為：如果有 a三b （ mod m），那么一定有a- b= mk k是整數(shù)，即m( a- b)【例1】用某自然數(shù)a去除1992，得到商是46,余數(shù)是r，求a

4、和r .【解析1 因為 1992 是 a 的 46 倍還多 r ,得到 1992 + 46=43.14,得 1992 = 46x43+14,所以 a =43, r =14 .【例2】 甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32，求甲、乙兩數(shù).【解析】（法1）因為 甲=乙X11+32，所以 甲+乙=乙：11+32 +乙=乙x12+32=1088；【解析】則乙=(1088-32)勺2 =88，甲=1088-乙=1000.【解析】（法2）將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關(guān)系來做：從1088中減掉32以后，1056就應(yīng)當是乙數(shù)的+ 1）倍，所以得到乙數(shù)=1056-12= 88甲數(shù)=1088

5、 - 88= 1000【解析】本題為余數(shù)問題的基礎(chǔ)題型，需要學生明白一個重要知識點，就是把余數(shù)問題-即“不整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個除數(shù)的倍數(shù)。本題中310-37=273，說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而 273=3X 7X 13,所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37大，符合條件的有39, 91.【例4】有兩個自然數(shù)相除，商是17，余數(shù)是13，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113，則被除數(shù)是多少?【解析】被除數(shù)+除數(shù)+商+余數(shù)=被除數(shù)+除數(shù)+17+13=2113,所以被除數(shù) +除數(shù)=2083，由于

6、被除數(shù)是除數(shù)的 17倍還多13,則由“和倍問題”可得：除數(shù)(2083-13 )*( 17+1) =115,所以被除數(shù)=2083-115=1968?！纠?1有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多 5人.如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠.如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠.問：第二組有多少人【解析】由48子4 =12 , 485 =9.6知，一組是10或11人.同理可知48子3 =16,48弓4 = 12知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多 5人，所以二組只能是15人,一組10人.【例61一個兩位數(shù)除以13的商是6，除以11

7、所得的余數(shù)是6,求這個兩位數(shù).【解析1因為一個兩位數(shù)除以13的商是6,所以這個兩位數(shù)一定大于13X6=78，并且小于1(191 ；又因為這個兩位數(shù)除以11余6,而78除以11余1,這個兩位數(shù)為78+5=83【例71有一個大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).【解析1這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).101-45 = 56 ,59-45 = 14 ,(56,14) =14 , 14的約數(shù)有1,2,7,14，所以這個數(shù)可能為2,7

8、,14。【例8122003與20032的和除以7的余數(shù)是【解析1找規(guī)律.用7除2, 22 , 23, 24 , 25, 26，的余數(shù)分別是2, 4, 1, 2, 4,1 , 2, 4, 1,2的個數(shù)是3的倍數(shù)時，用7除的余數(shù)為1; 2的個數(shù)是3的 倍數(shù)多1時，用7除的余數(shù)為2; 2的個數(shù)是3的倍數(shù)多2時，用7除的余數(shù)為4.因為 尹03 =23熔7平，所以22003除以7余4 .又兩個數(shù)的積除以7的余數(shù),2與兩個數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同.而2003除以7余1,所以2003除以7余1 .故22003與20032的和除以7的余數(shù)是4+1=5 .【例9】求2461x135x604711的余數(shù).【解

9、析】因為2461斗11 =223.8, 135子11 =123, 6047子11 =549.8，根據(jù)同余定理（三）,2461x135x604711 的余數(shù)等于 8x3x811 的余數(shù)，而 8x3x8=192， 192 子 11=175，所以 2461x135x6047+11 的余數(shù)為 5.【例10】 求31997的最后兩位數(shù).19973【解析】即考慮3除以100的余數(shù)由于100=4X25，由于3 =27除以25余2,所以c93除以25余8,小10小20Q3除以25余24,那么3除以25余1;又因為3除以4余1，則3除以4余1;即20 20 203 -1能被4和25整除，而4與25互質(zhì)，所以3

10、-1能被100整除，即3除以100余 1,由于1997=20x99+17，所以31997除以100的余數(shù)即等于317除以100的余數(shù)，而36 = 729除以100余29, 35 =243除以100余43,，所以才7除以100的余數(shù)等于29咒29咒43除以100的余數(shù)，而29咒29咒43二36163除以100余63,所以31997除以100余199763,即3的最后兩位數(shù)為63.【例11】22008 +20082除以7的余數(shù)是多少?3_2008 c3>669 +1,_3669_【解析】2 =8除以7的余數(shù)為1, 2008 = 3669+1，所以2=2=（2）咒2，其除以7的余數(shù)為：1669

11、咒2 =2 ； 2008除以7的余數(shù)為6,則20082除以7的余數(shù)2 2008 2等于6除以7的余數(shù)，為1;所以2 +2008除以7的余數(shù)為：2+1=3【作業(yè)11 5122除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是66,求這個兩位數(shù)?！敬鸢? 79【作業(yè)21明明在一次計算除法時， 把被除數(shù)171錯寫成117,結(jié)果商少3而余數(shù)恰恰相同, 這題中的除數(shù)是多少？【答案118【作業(yè)3】兩數(shù)相除，商4余8,被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415,則被除數(shù)是【解析1因為被除數(shù)減去 8后是除數(shù)的 4倍，所以根據(jù)和倍問題可知,除數(shù)為(415488)(4+1)= 79，所以，被除數(shù)為 79 咒 4 + 8 =324。【作業(yè)

12、4】1013除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是 12 .求出符合條件的所有的兩位數(shù).【解析】1013-12 =1001,1001=7x11x13 ,那么符合條件的所有的兩位數(shù)有11,13,77,91因為“余數(shù)小于除數(shù)”，所以舍去11，答案只有13,77,91 0【作業(yè)51求478x296351除以17的余數(shù).【解析】 先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大.可先分別計算出各因數(shù)除以17的余數(shù),再求余數(shù)之積除以17的余數(shù).478,296,351除以17的余數(shù)分別為2 , 7和11, （2咒7咒11）弓17=9【作業(yè)61 一個大于1的數(shù)去除290, 235, 200時，得余數(shù)分別為 a , a+2 , a+5，則這個

13、自然數(shù)是多少?【解析1根據(jù)題意可知，這個自然數(shù)去除290, 233, 195時，得到相同的余數(shù)（都為a ）.既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余0那么這個自然數(shù)是290-233=57的約數(shù)，又是233-195=38的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù)，因為57和38的公約數(shù)只有19和1,而這個數(shù)大于1,所以這個自然數(shù)是19.【作業(yè)71有48本書分給兩組小朋友,已知第二組比第一組多 5人.如果把書全部分給第一組，那么每人 4本，有剩余；每人5本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人 4本，書不夠.問：第二組有多少人【解析1由48子4=12 ,

14、48斗5=9.6知，一組是10或11人同理可知48子3=16,48斗4 = 12知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多 5人，所以二組只能是15人,一組10人.【作業(yè)8】某個大于1的自然數(shù)分別除442 , 297, 210,得到相同的余數(shù)，則該自然數(shù)【分析】首先要清楚一個事實：兩個數(shù)被同一個數(shù)除余數(shù)相同，則這兩個數(shù)相減（大減 ?。┠鼙贿@個數(shù)整除。知道了這個事實后我們就很容易做這個題了。因為該自然數(shù)能整 除442297 =145，也能整除442-210=232，同樣能整除297 210 = 87。所以可知這個自然數(shù)必定是145, 232, 87的公約數(shù)。而這三個數(shù)大于1的公約數(shù)只有29。所以可知這個自然數(shù)為29?！咀鳂I(yè)9】兩位自然數(shù)ab與ba除以7都余1，并且a>b，求axba .【解析】ab-ba能被7整除，即（10a+b）-（低+"=9咒（a b）能被