1、用平行投影修正系數(shù)法標注六方晶系晶向指數(shù)桂進秋席生岐張建勛范群成西安交通大學材料科學與工程學院摘要:介紹了采用平行投影修正系數(shù)法標注六方晶系晶向指數(shù)的新方法,并對其原理進行了論證。關鍵詞:六方晶系晶向指數(shù)Miller-Bravais指數(shù)平行投影0前言眾所周知,金屬中常見的3種晶體結構為體心立方、面心立方和密排六方,其中密排六方結構屬于六方晶系。由于其對稱性特點,在晶體學中慣用四軸坐標表示六方晶系的晶面和晶向,稱為Miller-Bravais指數(shù)1。在這種體系中對晶面指數(shù)的標注并未有什么不便,但是對晶向指數(shù)的標注卻比較麻煩,容易出錯。正如范群成2所指出,晶向1213在文獻3中被誤標為1212,而

2、在文獻4中又被誤標為1211。在一般的教科書1,4,5,6中,六方晶系Miller-Bravais晶向指數(shù)uvtw有2種主要的標注方法。一種是所謂的移步法4,選擇合適的路徑沿4個晶軸方向從待定晶向上的一點(通常是坐標原點依次移動到另一點,而合適的路徑要求滿足u+v=-t約束條件。由于這一約束條件的限制,移動路徑及距離的選取決定相當困難,不易尋找。另一種是公式法1,4,6,即先在三軸坐標系中標出UVW,再利用公式:u=(2U-V/3, v=(2V-U/3, t= -(u+v, w=W換算成uvtw。該方法不但麻煩,完全依賴于對換算公式的記憶,而且不直觀,不便于對晶向的理解和把握。為更直觀地從晶胞

3、結構圖中直接計算來標出六方晶系中的晶向指數(shù),范群成曾提出了正射投影修正系數(shù)法2。如圖1所示,這種方法是由待標晶向上任一點(常取特殊點分別向a1,a2,a3和c軸作垂直投影,求出以晶格常數(shù)為單位的投影值,并給c 軸的投影值乘以修正系數(shù)3/2,然后化為最小簡單整數(shù)。這種方法在一個晶胞中通過垂直投影來計算出晶向指數(shù),和晶胞結合,直觀性有改進,和移步法的結果有一致性,比移步法容易操作。受正射投影法的啟示,在材料科學基礎課堂討論的過程中,我們提出了另一種也較為簡便易行的來標定六方晶系Miller-Bravais晶向指數(shù)的方法平行投影修正系數(shù)法。本文就對這種新方法做一詳細介紹。1、基本方法由待標晶向上任一

4、點(常取特殊點,向底面(0000作投影,取到投影點的距離BD(以晶格常數(shù)為單位為C軸值。由在底面(0000上的投影點D 分別向作平行線,與a1,a2及a3相交得到的6個交點,求得以晶格常數(shù)為單位的交點坐標值。將每一個坐標軸上兩個交點的坐標值求和,可得3個數(shù)值,同時對C軸上數(shù)值乘以系數(shù)3,共將所得4個數(shù),然后將這4個數(shù)化為最小簡單整數(shù)即為晶向指數(shù)uvtw。例如,圖2中OA晶向指數(shù)標注,可以過OA上B點向底面作垂線交與D,BD=1,為C軸值。再過D點分別作a2和a3軸的平行線,得到六個交點D、E、D、F、O、O,在a1軸上的交點O、F在該軸上的坐標值為0,-1,對其求和后為-1;同理,在軸上的交點

5、E、O的坐標值分別為-1和0,求和為-1,而在軸上的2個交點D、D的坐標值為1和1,求和為2,給C軸值1乘以3修正后為3,最后將-1、-1、2 、3化簡為晶向指數(shù)為3、基本原理如圖3所示,OP是六方晶胞中任一晶向,如OP與(10面的交點Q在底面(0000上投影點為A(圖3(a,在底面過A點依次作a1,a2,a3軸的平行線,其交點分別為BCDEGH(圖3(b,則其晶向指數(shù)為(OF+OD/a (OC+OG/a (OB+OE /a 3AQ/c。當采用移步法時,則從O點出發(fā),依次沿a1,a2,a3和C軸移動距離OL、LH、-HA、AQ,且使OL+LH=HA,因此晶向指數(shù)為OL/a LH/a -HA/a

6、 AQ/C。 為了說明所標注的晶向指數(shù)就是Miller-Bravais指數(shù),必須證明:(1它滿足約束條件u+v=-t,即(OF+OD+(OC+OG= -(OB+OE(2 他與移步法所得晶向指數(shù)完全一致,即OF+OD=3OL,OC+OG=3OM,OB+OE=3HA3.1約束條件的滿足在圖2(b中OFG,ODE和OBC均為等邊,因而有OF=-OG OD=-OE OC=-OB故:(OF+OD+(OC+OG=-OG-OE-OB+OG=-(OB+OE3.2與移步法結果一致性在圖2(b中:OF+OD=(OL-FL+(OL+LD又FL=LH LD=HAOF+OD=2OL-LH+HA由移步法的約束條件OL+L

7、H=HA則OF+OD=3OL (1同理:OC+OG=OM+MC+OM-MG=2OM+HA-OL=2OM+LH=3OM (2OB+OE=(ON+NB+(ON+NB+BE=2NB+ON+FL+OF=2HA+LH+OL=3HA (3將式(1、(2、(3代入(OF+OD/3a(OC+OG/3a (OB+OE/3a AQ/c,變?yōu)?OL/a LH/a -HA/a AQ/C,這與移步法所得一致,故(OF+OD/a (OC+OG/a (OB+OE/a 3AQ/c化簡后即為晶向指數(shù)。由上述可知,在平行投影修正系數(shù)法中,約束條件t= -(u+v自然實現(xiàn),無需人為去滿足,從而使該方法和正射投影一樣,較移步法更為容

8、易實現(xiàn)。通過對C軸的指數(shù)修正,所得的結果與移步法異曲同工。由于不用計算正射投影值,而是通過平行投影直接在底面的三個坐標軸上交點坐標值直接加減計算后乘以系數(shù)修正來獲得指數(shù),這一方法較正射投影修正系數(shù)法較為簡便易行。由證明過程可以看到,當投影點A落在坐標軸上時,如E點,則平行于該軸的線段GF與其他2個坐標軸的交點縮至一點,為原點O,在實際使用這一方法時,2個交點的坐標值均取為0,這也是前述標注圖4種OA晶向時交點中有2個原點O的原因。結語六方晶系的晶向指數(shù)標注在晶體學研究中是一個基本技能,一般教科書中所給出的移步法實際使用中較難拼湊選取移動步驟,而公式法又不直觀,脫離了晶胞結構,通過公式直接計算,

9、不便對六方晶系中晶向正確地掌握與認識。為了更方便直觀的標注出六方晶系中晶向指數(shù),在范群成的正射投影修正系數(shù)法的啟示下,本文提出了平行投影修正系數(shù)法標注六方晶系的晶向指數(shù),并給于了理論論證,使六方晶系中晶向指數(shù)的標注方法多了一種選擇,較為簡便易行,不易出錯,因而這一新方法和正射投影法一樣具有很好的實用價值。參考文獻1 William D. Callister, Jr. Fundamentals of Materials Science and Engineering, John Wiley & Sons, Inc. New York, 2001,2 范群成,正射投影修正系數(shù)法標注六方晶系

10、晶向指數(shù),理化檢驗-物理分冊,Vol.28, No.6, 1992 pp20-213宮川大海,坂木庸晃。金屬學概論,朝倉書店,19804劉世榮,金屬學與熱處理,機械工業(yè)出版社,北京,19855胡庚祥,錢苗根,金屬學,上?？茖W技術出版社,上海,1980,96 石德珂,材料科學基礎(第2版,機械工業(yè)出版社,北京,2003Labeling Direction Indices in Hexagonal Crystal System by Parallel Projection with CorrectedCoefficient MethodGui Jinqiu Xi Shengqi Zhang Jia

11、nxun Fan QunchengState Key Laboratory for Mechanical Behavior of Materials, School of Materials Science and Engineering, Xian Jiaotong University,Xian 710049, ChinaAbstractThe new method to label Direction Indices in hexagonal crystal system has been introduced in this paper, in which the parallel projection with corrected