1、教育精選2.2.2間接證明1.理解反證法的思考過程和特點，會運用反證法證明簡單數(shù)學問題.(重點、難點)2.利用反證法證明時，對結論的假設否定.(易錯點)基礎·初探教材整理間接證明閱讀教材P49“例1”以上部分，完成下列問題.1.間接證明：(1)定義：不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種不是直接證明的方法通常稱為間接證明.(2)常用方法：反證法.2.反證法(1)基本過程：反證法證明時，要從否定結論開始，經(jīng)過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題).(2)證題步驟：1.判斷正誤：(1)反證法屬于間接證明問題的一種方法.()(2)反證法的實質是否定結論導出矛盾.(

2、)(3)反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理.()(4)用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”時，假設應該是至少兩個鈍角.()【答案】(1)(2)(3)×(4)2.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個角不大于60°”時，正確的反設是_.【解析】“至少有一個角不大于60°”的否定為“所有三角形的內(nèi)角均大于60°”.【答案】假設三個內(nèi)角均大于60°質疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型利用反證法證明否定性命題(1)用反

3、證法證明：“若方程ax2bxc0，且a，b，c都是奇數(shù)，則方程沒有整數(shù)根”，正確的假設是方程存在實數(shù)根x0為_.(2)已知三個正整數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：， ， 不成等差數(shù)列.【自主解答】(1)要證明的結論是“方程沒有整數(shù)根”，故應假設：方程存在實數(shù)根x0為整數(shù).【答案】整數(shù)(2)假設， ， 成等差數(shù)列，則2，即ac24b.又a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac，即b，所以ac24，所以ac-20，即(-)20，所以，從而abc，所以a，b，c可以成等差數(shù)列，這與已知中“a，b，c不成等差數(shù)列”相矛盾.原假設錯誤，故， ， 不成等差數(shù)列.1.用反證法證明否定性命題的適用類型

4、結論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法.2.反證法證明問題的一般步驟再練一題1.設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和.求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.【證明】假設數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1·a1(1qq2)，因為a10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾.所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.用反證法證明存在性問題已知a，b，c(0,1)，求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.【精彩點撥】“不能都大于”的含義為“至少有一個小于或等于”其對立

5、面為“全部大于”.【自主解答】假設(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于.a，b，c(0,1)，1-a>0,1-b>0,1-c>0.>.同理>，>.三式相加得>，即>，矛盾.所以(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.應用反證法常見的“結論詞”與“反設詞”當命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時，直接證明不易入手且討論較復雜.這時，可用反證法證明，證明時常見的“結論詞”與“反設詞”如下：結論詞反設詞結論詞反設詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n-1

6、個p或qp且q至多有n個至少有n1個p且qp或q再練一題2.已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù).【證明】假設a，b，c，d都是非負數(shù)，因為abcd1，所以(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，所以acbd1，這與已知acbd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一個是負數(shù).探究共研型利用反證法證明唯一性命題探究1反證法解題的實質是什么？【提示】否定結論、導出矛盾，從而證明原結論正確.探究2應用反證法推出矛盾的推導過程中，可以把下列哪些作為條件使用_.結論的反設；已知條件；定義、公理、定理等；原結論.【提示

7、】反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是從命題結論的假設(即把“反設”作為一個新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結果.【答案】已知直線m與直線a和b分別交于A，B兩點，且ab.求證：過a，b，m有且只有一個平面.【精彩點撥】“有且只有”表示“存在且惟一”，因此在證明時，要分別從存在性和惟一性兩方面來考慮.【自主解答】因為ab，所以過a，b有一個平面.又因為maA，mbB，所以Aa，Bb，所以A，B.又因為Am，Bm，所以m，即過a，b，m有一個平面，如圖. 假設過a，b，m還有一個平面異于平面，則a，b，a，b，這與ab，

8、過a，b有且只有一個平面矛盾.因此，過a，b，m有且只有一個平面.用反證法證明惟一性命題的一般思路證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和惟一性.當證明結論以“有且只有”“只有一個”“惟一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，可先證“存在性”，由于假設“惟一性”結論不成立易導出矛盾，因此可用反證法證其惟一性.再練一題3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象連續(xù)，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在a，b上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點.【證明】由于f(x)在a，b上的圖象連續(xù)，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)&

9、lt;0，所以f(x)在(a，b)內(nèi)至少存在一個零點，設零點為m，則f(m)0.假設f(x)在(a，b)內(nèi)還存在另一個零點n，即f(n)0，則nm.若n>m，則f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，則f(n)<f(m)，即0<0，矛盾.因此假設不正確，即f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點.構建·體系1.“x0且y0”的否定形式為_.【解析】“p且q”的否定形式為“綈p或綈q”.【答案】x0或y02.命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是_.【解析】“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，故結論的否定是：沒有

10、一個面是三角形或四邊形或五邊形.【答案】沒有一個面是三角形或四邊形或五邊形3.設a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：ab1；ab2；ab>2；a2b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是_(填序號).【解析】假設a，b均不大于1，即a1，b1.則均有可能成立，故不能推出“a，b中至少有一個大于1”，故選.【答案】4.用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：ABC90°90°C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設錯誤；所以一個三角形不能有兩個直角；假設ABC中有兩個直角，不妨設A90°，B90°.上述步驟的正確順序為_.【導學號：97220020】【解析】由反證法證明數(shù)學命題的步驟可知，上述步驟的順序應為.【答案】5.若a，b，c互不相等，證明：三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一個方程有兩個相異實根.【證明】假設三個方程中都沒有兩