1、.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用一、比較大小例 1 若函數(shù) f(x)x2mxn，對(duì)任意實(shí)數(shù) x 都有 f(2x)f(2x)成立，試比較 f(1)，f(2)，f(4)的大小 .解依題意可知 f(x)的對(duì)稱軸為 x2， f(1)f(5).f(x)在2， )上是增函數(shù)， f(2)<f(4)<f(5)，即 f(2)<f(4)<f(1).評(píng)注(1)利用單調(diào)性可以比較函數(shù)值的大小， 即增函數(shù)中自變量大函數(shù)值也大，減函數(shù)中自變量小函數(shù)值反而變大；(2)利用函數(shù)單調(diào)性比較大小應(yīng)注意將自變量放在同一單調(diào)區(qū)間.二、解不等式例 2 已知 yf(x)在定義域 (1,1)上是增函數(shù)， 且 f(t1)<f

2、(12t)，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 . 1<t 1<1，2解依題意可得 1<12t<1，解得 0<t<3.t 1<12t，評(píng)注(1)利用單調(diào)性解不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，推出兩個(gè)變量的大小，然后去解不等式.(2)利用單調(diào)性解不等式時(shí)應(yīng)注意函數(shù)的定義域，即首先考慮使給出解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍.(3)利用單調(diào)性解不等式時(shí)，一定要注意變量的限制條件，以防出錯(cuò).三、求參數(shù)的值或取值范圍例 3 已知 a>0，函數(shù) f(x)x3ax 是區(qū)間 1， )上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .解任取 x1，x21， )，且 x1<x2

3、，則 xx2x1>0.33yf(x )f(x )(x ax )(xax )21221122(x2 1 1122a).x )(xx xx1x1 2212212<x ，x x x x >3.顯然不存在常數(shù)2 122a，使 (x1 2 恒為負(fù)值.x xx a)又 f(x)在1， )上是單調(diào)函數(shù)，22必有一個(gè)常數(shù) a，使 x1x1x2x2a 恒為正數(shù)，22即 x1 1 22x xx >a.當(dāng) x1， 21， 時(shí)，22112 2 ，x)x x xx >3 a3.此時(shí)， xx2x1>0，y>0，即函數(shù) f(x)在1， )上是增函數(shù)， a 的取值范圍是 (0,3.四

4、、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值例 4 已知函數(shù) f(x)x22xa，x1， ).x(1)當(dāng) a4 時(shí)，求 f(x)的最小值；.1(2)當(dāng) a2時(shí)，求 f(x)的最小值；(3)若 a 為正常數(shù)，求 f(x)的最小值 .4解(1)當(dāng) a4 時(shí)， f(x)xx2，易知， f(x)在1,2 上是減函數(shù)，在2， )上是增函數(shù)， f(x)minf(2) 6.當(dāng)a1時(shí)， f(x)x12.(2)22x易知， f(x)在1， )上為增函數(shù) .7f(x)minf(1) 2.a(3)函數(shù) f(x)xx2 在(0，a上是減函數(shù)，在a， )上是增函數(shù) .當(dāng) a>1，即 a>1 時(shí)， f(x)在區(qū)間 1， )上先減后增，f(x)mi