1、習(xí)題解答:解：根軌跡有3個(gè)分支，分別起始于2終止于無窮遠(yuǎn)。0“ =180。,60。實(shí)軸上的根軌跡是(-8,_2及-1,0。d(s+ 352+2s)八-=Uds可得，51= -0.422 ,s2=-1.578 ； = -0.422是分離點(diǎn)。根軌跡見圖4-28o跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益 KG和開壞增益K 解：若點(diǎn)鞋在根軌跡上,則點(diǎn)S應(yīng)滿足相角條件ZG(s)H(s) = (2k + l),如圖4-29所 示。4-1負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)尸(s) =KGS(S+ 1X$ +2)試?yán)L制閉壞系統(tǒng)的根軌跡。圖4 對于亠=一1+j 羽,由相角條件ZG(&)H(s)=O-Z(-1 + jV

2、3 + l)-Z(-l+ jV3 + 2)-Z(-l+ M + 4)236滿足相角條件，因此=-1+八療在根軌跡上。將亠代入幅值條件:-1+八療+1 -1+八療+2 -1+八療+4所以,K 小 2, K備|4-3己知開環(huán)零點(diǎn)極點(diǎn)p，試概略畫出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。(2)p = 0,-2, g=-4J4；(3)P1=-1, P2 3= -2jl:(4)p = 09 1, 5 z = 4, 6解：=10 4-30 (1)圖4 30 (3)0 4-30 (4)44設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(滬心_S(S+ 1XS+ 3 5X$ + 3+2JXS+ 3-J2)試概略繪出其閉環(huán)根軌跡圖（要求確定根

3、軌跡的分離點(diǎn)，起始角和與虛軸的交點(diǎn)）。解：系統(tǒng)有五個(gè)開壞極點(diǎn)：1 人=1,”3 =_3 5,4=一3 +)2,5 =_3_)21.實(shí)軸上的根軌跡：-OO-3.5J-L0b _-1-3 5 +(-3+)2) +(-3-)2)2漸近線:= -2.13分離點(diǎn):1 1 1 1 1+-+-+-+-dd + 1 d + 3 5d + 3 j2d + 3+J2di=_0 45, d2-2.4(舍去)，=-3.25土兒904.與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為D(s)= s(s + l)($ + 3.5)(s + 3+ J2)(s + 3 j2) + K* =0把5=jCD代入上方程，整理，令實(shí)虎部分別為零得:jRe

4、(jTy) = K* +10.5獷-79.5/ = 0lm(jQ)=co5-43.5y3+45.5y = 0可得，Q = 0co= 1.02co= 6.52K、0/C=7L9。 一&46舍去)5根軌跡的起始角為：&廠180-75.96 -90-135-146.3、92.74由對稱性得，另一起始角為92.74,根軌跡如圖習(xí)題4 31所示。4-5己知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試作出以b為參量的根軌跡圖。1實(shí)軸上的根軌跡：-40.-02.分離點(diǎn)：幾 +40 解得：6/= -20根軌跡如圖4 32所示。JO一10.11 -40-30-8 -100(J1-10圖4-324-6單位反

5、饋系統(tǒng)的開壞傳遞函數(shù)為解：作等效開壞傳遞函數(shù)Gs)=30b5(5+ 40)(5+ 2)(5-0.5)試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 KG值范|韋|。解：根軌跡繪制如下：1實(shí)軸上的根軌跡：-2,0.52.分離點(diǎn)：1 1 1 1-1-=-1-d 0.5 d + 2d-l+ j2 d j2可得： =-0.413.與虛軸交點(diǎn)：D(s)= (s + 2)(s - 0.5) + K (s + 2s + 5) = 0把S=J血代入上方程，令Re()( jTy) = -(1 +KG)co2+5K&-1 = 0 VIm()OQ)=(1.5_2KG)Q=0Q=0fa)=l.25KG=0.2KG=0.7

6、5根軌跡如圖4 6所示。由圖可知系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為0.2KG0.75；又K = 5KG,所以系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為1 vK 0時(shí)，需繪制常規(guī)根軌跡。1實(shí)軸上的根軌跡：-3-2, - L02漸近線:6 =(Pa =-2-3+13-1Qk+1)龍7t-=i 3分離點(diǎn)：1111+-+-=-dd+2d+3d+1解得d= -2.47根據(jù)以上計(jì)算，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖4-35(1)所示。當(dāng)0時(shí)，需繪制0根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段為：(一8,-3, 2,-1, 0,oo)o由圖435(2)可以看出，當(dāng)GV0時(shí)，多項(xiàng)式的根全為實(shí)數(shù)。因此所求參數(shù)a的范圍為07 0.4147或a 0因此所求參數(shù)a 0的范I韋1為

7、05a 50.41474-9己知負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程K + (s +14)(/ + 2$ + 2) = 01.繪制系統(tǒng)根軌跡圖(0K8)：2.確定使復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼系數(shù)纟=0.5的值。 解：1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(1)根軌跡的起點(diǎn)為：A,2=-1J,幾=-14,終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處(無有限零點(diǎn))。分支數(shù)=3。實(shí)軸上根軌跡為(-8,_14區(qū)段。(4)漸近線為fi fjj =3條。(5)根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)的出射角G($) =(5 + 14)(52+25 + 2)-.-5,333(2k+1)龍n一m(2R + l)180。360V = 0)= 180V = l)300?；?2)nmn一mn由公式級(jí)=

8、180-工 +工0,=180 -(90+ 4) = 86您=-86。根軌跡如圖4-37所示用幅值條件可得g_l+ J1.6):K】=p（s :H（S）|=I一 卅卜】-P2I卜1- 加=0.6x3.2x 13.1心25.14-10系統(tǒng)的特征方程為s2(s + a) + k(s + l) = 01.曲出c/ = 2，c/ = l，a = 6，67 = 9 c/ = 10時(shí)的根軌跡。2.求出根軌跡在實(shí)軸上沒有非零分離會(huì)合點(diǎn)時(shí)值的范圍。解：1) 4 = 1時(shí),特征方程為(S + l)(S2+k) = 0根軌跡是-1及整個(gè)虛軸，見圖4-38)。工1，特征方程可寫為1 +卑匕_ =0ss + a)開環(huán)傳

9、遞函數(shù)G(字斗$(s + d)+-3支根軌跡，起于0, 0,止于和無窮遠(yuǎn)。漸近線與實(shí)軸交角是一2,交點(diǎn)為亠，為所求之閉環(huán)極點(diǎn)2. 0 = aTccos$o5-_a+lf/0；a9cra s(2s2+ (a + 3)5 +2a)= 0解得$i = 0asds_ (ci+ 3)土J (a - a)(a - 9)4a=2 +1= 1 5當(dāng)a= 2時(shí)，實(shí)軸上根軌跡是-1,2,入2-(-2 + 3)J(-3X-11)3 _452= 1.186, 53=-1.686 (不在根軌跡上，舍去)分離點(diǎn)是1.186,對應(yīng)的 =0.524根軌跡見圖4-38(b) = 6，實(shí)軸上根軌跡是-61_-(6 + 3)丁(5

10、)(-3)*-歸是復(fù)數(shù)，不是實(shí)軸上的分離會(huì)合點(diǎn)。根軌跡見圖4 38(c) d= 9，實(shí)軸上根軌跡是-9,-152,3 = _3對應(yīng)的R = 27。 根軌跡見圖4-38(d) d =10，實(shí)軸上根軌跡是-101唁如“4.5“ 2=-(10 + 3)顧，片一e4J對應(yīng)的k2= 31.25 ,人=32 根軌跡見圖4.38(e)4-11已知某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2 )當(dāng)分離會(huì)合點(diǎn)上3不是實(shí)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)沒有非零分離會(huì)合點(diǎn)(a_l)(c/_9) 1 9圖338(c)圖3.38(d)K52(5 + 1)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖，說明其穩(wěn)定性。如果在負(fù)實(shí)軸上增加一個(gè)零點(diǎn)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有何影響，試仍以根軌跡圖

11、來說明。 解：(1)根軌跡起始于0, 0,終止于三個(gè)零點(diǎn)(為無限零點(diǎn)):(2)根軌跡分支數(shù)=3；實(shí)軸上的根軌跡位于(-8,區(qū)段；(4)漸近線斤加=3條。nmO- =-1aon一rn3由圖4 39 (1)可見，三條根軌跡分支，有兩條位于f右半平面。當(dāng)K從0-時(shí)，三個(gè)閉 環(huán)極點(diǎn)中有兩個(gè)位于S右半平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。c3_(2比 +1)龍_+臂由圖4-39 (2 )可見，根軌跡漸近線“一 ，“一2 ，由三條變?yōu)槎?條。根軌跡向左半S平面變化，閉環(huán)極點(diǎn)全部處于左半s平面，K從0-8時(shí)，控制系統(tǒng)是 穩(wěn)定的。4-12設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為1.G($) =K52(5 + 1)時(shí),Oa =Qk +

12、 l)7Tn一m(2k+ 1)180。3j60J80o300k =0,1,22增加負(fù)實(shí)零點(diǎn)(-。)時(shí),5(5 + 1)(0 6T 1) o解得523=-2.05丿4351.繪制系統(tǒng)的根軌跡圖(不要求求出分離點(diǎn))；2.已知系統(tǒng)的一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為-0.9,試求出其余的閉環(huán)極點(diǎn)；3.該系統(tǒng)是否可以用低階系統(tǒng)來近似？若能，則求出它的閉壞傳遞函數(shù)：若否，則給出理 由解：1.繪制系統(tǒng)的根軌跡(K=0TOO),步驟如下：(1)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)0, -2, -3；終止于開環(huán)零點(diǎn)-1和兩個(gè)無限零點(diǎn) 8。(2)根軌跡的分支數(shù)77 = 3條。實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為-3,-2, -1.0o(4)根軌跡的漸近線，有 n

13、-m = 2 條,與實(shí)軸的交點(diǎn)o“、交角Q為：nmV廠孕_2_3 +1CT =_=2=-27?-in2 & = (2k + l)J(2k +1)180。=90。 n -m3(5)根軌跡的分離點(diǎn)位于-3r2E段內(nèi)。繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖440所示。2.已知門=0,p2= -2 ,卩3=一3，Z = -l;= -0.9 ,設(shè)其余二個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為S2/3。用幅值條件可以求得K_|久_門卜氏-加J必_加_0.9x1.1x2.1將其代入系統(tǒng)特征方程l + G(5)= 0,即5(5 + 2)(5 + 3) + 20.79(5 + 1) = 0(5 + 0.9)( + 4.15 + 23.1) = 0= 20.793由$嚴(yán)-0 9和z = 1構(gòu)成一對閉環(huán)偶極子，故系統(tǒng)可以降階為二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為y(s) _20.79(5 + 1)u(s) (s + 0.9)(s + 2.05 + J4.35Xy + 2.05一 丿435)4-13單位負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4 27所示。1.求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；2設(shè)計(jì)補(bǔ)償器，使系