1、則稱f (x)是該極限過程中的一個無窮小量(省去xxo , x的極限符號“ lim” 表示任一極限過程).（1定義1. 若lim f (x)=0,1、無窮小量、無窮小量一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當當函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時時的的無無窮窮小小是是當當函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時的無窮小時的無窮小是當是當數(shù)列數(shù)列 nnn注注1:1: 無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量注2：無窮小量與極限過程分不開,

2、不能脫離極限過程談無窮小量,2. 1sinlim2xxx因此，它不是.時的無窮小量小量, 但如sinx是x0時的無窮一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量（2）、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系）、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè),)(0時時的的無無窮窮小小是是當當其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量（3）、無窮小的運算性質(zhì)）、無窮小的運算性質(zhì)

3、:定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小是無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是是無無窮窮小小，時時例例如如nn1, .11不不是是無無窮窮小小之之和和為為個個但但nn一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒恒有有時時使使得得當當則則,0時時的的無無窮窮小小是是當當又又設(shè)設(shè)xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有時時

4、使使得得當當一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.,min21 取取恒恒有有時時則則當當,00 xx uuMM , .,0為無窮小為無窮小時時當當 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2時時當當例例如如都是無窮小都是無窮小一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量2、無窮大量、無窮大量在某個極限過程下在某個極限過程下,絕對值無限增大

5、的變量絕對值無限增大的變量稱為無窮大量稱為無窮大量.0lim( ),lim( )xxxf xf x 記作：一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量（1概念概念特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大0lim( )(lim( )xxxf xf x 或注意注意 （1無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim20認認為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ xfxx一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量.,1sin1,0,但但不不是是無

6、無窮窮大大是是一一個個無無界界變變量量時時當當例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大時時當當), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大時時當當 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量例例2: 試從函數(shù)圖形判斷下列極限試從函數(shù)圖形判斷下列極限.222(1) limtan , lim tan , lim tan ,xxxxxx ,lim ,lim )2(xxxxee ,lnlim ,lnlim

7、 )3(0 xxxx 一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量解：解： (1)2232xy0 xyy = tanxxy一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量從圖上可看出222limtan, lim tan, lim tan.xxxxxx 一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量 ,lim xxe從圖上看出(2) xoyxxyy ?lim ?,lim(xxxxaa一般 ).1, 10討論分aaxey . 0limxxex+x一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量 ,lnlim )3( xx ).1, 10討論分aa ?loglim ?,loglim(0 xxaxax一

8、般.lnlim 0 xx一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量,) 1(1 (nnnx例4：例4：.) 1(1 (lim nnn但.2 0 2 0 2 0642是無界數(shù)列，一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量3、無窮小與無窮大的關(guān)系、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論, ,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論小的討論. .一、一、 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量二、無窮小量與無窮

9、大量階的比較二、無窮小量與無窮大量階的比較 觀察03lim20 xxx 203limxxx 1sinlim0 xxx 兩個無窮小比值的極限的各種不同情況 反映了不同的無窮小趨于零的“快慢水平 在x0的過程中 x2比3x趨于零的速度快些 反過來3x比x2趨于零的速度慢些 而sin x與x趨于零的速度相仿 （1無窮小的階 設(shè)a 及b 為同一個自變量的變化過程中的無窮小 如果0lim 就說是比高階的無窮小 記為o() 如果lim 就說是比低階的無窮小 如果0limc 就說與是同階無窮小 如果1lim 就說與是等價無窮小 記為 二、無窮小量與無窮大量階的比較二、無窮小量與無窮大量階的比較（2階的比較舉

10、例所 以 當 x0 時 3 x 2 是 比 x 高 階 的 無 窮 小 即3x2=o(x)(x0) 所以當x3時 x2-9與x-3是同階無窮小 所以當 n時 n1是比21n低階的無窮小 因為211limnnn 例例2 例例 3 因為639lim23xxx 例例3 例例 1 因為03lim20 xxx 例例1 二、無窮小量與無窮大量階的比較二、無窮小量與無窮大量階的比較所以當x0時 1-cos x 是關(guān)于x 的二階無窮小 所以當x0時 sin x 與x是等價無窮小 即sin xx(x0) 例例 4 因為21cos1lim20 xxx 例例4 例例 5 因為1sinlim0 xxx 例例5 二、無

11、窮小量與無窮大量階的比較二、無窮小量與無窮大量階的比較定理1與是等價無窮小的充分必要條件為o()(主部) （3關(guān)于等價無窮小的定理 必要性: 證明 01lim) 1lim(lim所以b a=o(a)因為設(shè)ab 只需證b a=o(a) 01lim) 1lim(lim01lim) 1lim(lim 充分性: 設(shè)b=a+o(a) 那么 1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo 因此ab 二、無窮小量與無窮大量階的比較二、無窮小量與無窮大量階的比較所以當x0時 有 sin x=x+o(x) tan x=xo

12、(x) 1cos x )(2122xox 例例 6 因為當 x0 時 sin xx tan xx 1cos x221x 例例6 二、無窮小量與無窮大量階的比較二、無窮小量與無窮大量階的比較 設(shè) 且lim存在 則limlim 定理2(等價無窮小替換定理) limlimlimlimlimlim 證明 limlimlimlimlimlim 求兩個無窮小比值的極限時 分子及分母都可用等價無窮小來代替 可使計算簡化 二、無窮小量與無窮大量階的比較二、無窮小量與無窮大量階的比較常用等價無窮小常用等價無窮小,0時時當當 x2sin ,arcsin ,tan ,arctan ,1ln(1) ,1 ,1 cos.2(1)1(0),1ln1xxxxxxxxxxxexxxxxxxx當時，不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換. .注意注意二、無窮小量與無窮大量階的比較二、無窮小量與無窮大量階的比較例例7 7.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.